資源簡介

第2課時　幾何圖形與圖文信息問題
教學目標
課題 第2課時　幾何圖形與圖文信息問題 授課人
素養目標 1.進一步經歷用方程組解決實際問題的過程，體會方程組是刻畫現實世界中含有多個未知數的問題的有效數學模型． 2．實際問題與圖形相關時，則可以繪制出簡圖，根據圖形特點尋找相等關系，列出方程組.
教學重點 借助幾何圖形分析題目中的各個量之間的關系．
教學難點 借助圖形分析問題中所蘊含的數量關系.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：創設情境，新課導入 【設計意圖】 以圖形問題為例，引出本節課所要學習的內容. 【實踐導入】 1．把長方形紙片折成面積相等的兩個小長方形，有哪些折法？ 2．把長方形紙片折成面積之比為1∶2 的兩個小長方形，又有哪些折法？ 在實際生活中，經常會遇到像上面這樣如何對幾何圖形進行分割的問題，本節課我們一起來探討下． 【教學建議】 通過折疊長方形紙片，按要求分配長方形的面積，引入本節課對幾何圖形問題的探究．
活動二：問題引入，自主探究 【設計意圖】 以教材探究題為例，引入幾何圖形問題，探究如何分析、解答此類問題． 探究點　幾何圖形問題 例1　(教材P102探究2)據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1∶2.現要把一塊長200 m、寬100 m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4 我們一起來分析探討下： 問題1　把一個大長方形分割成兩個小長方形，可能有哪些劃分方案？ 可能有如圖所示的兩種劃分方案． 問題2　如果是按如圖所示方案來劃分，兩種作物的總產量大小與哪些量有關系？ 總產量的大小與種植面積、單位面積的產量有關． 問題3　以圖①為例，要表示種植面積需設哪些量？要表示單位面積產量呢？ 可設這兩塊地的長AE，BE分別為x m，y m. 可設甲種作物每平方米產量為a(a≠0)，則乙種作物每平方米產量為2a. 問題4　結合問題3中所設的未知數，找出相等關系并列方程組求解． 如圖，設甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形AEFD和長方形EBCF. 根據題意可找出下列相等關系： ①AE＋BE＝AB，即x＋y＝200. 　②產量＝單位面積產量×種植面積，則甲種作物總產量為a·AE·AD，即100ax；乙種作物總產量為2a·BE·AD，即200ay. ③甲種作物的總產量∶乙種作物的總產量＝3∶4，即100ax∶200ay＝3∶4. 根據題意，得 整理，得解這個方程組，得 問題5　如何表述你的種植方案？ 過長方形土地的長邊上離一端120 m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．較大一塊土地種植甲種作物，較小一塊土地種植乙種作物． 問題6　(教材P103練習T1)如果利用第二種劃分方案，分別在長方形DMNC和MABN土地中種植甲、乙兩種作物，那么AM的長度是多少？ 解：如圖，設DM＝x m，AM＝y m. 可得方程組 整理，得 解這個方程組，得 所以AM＝40 m. 答：AM的長度是40 m. 【對應訓練】 1．教材P103練習第2題． 2．小明在探究完上面的例題后，提出這樣一個想法：如果把原題中“分為兩塊小長方形土地”改為“分為兩塊梯形土地”，其他條件不變，還能否通過劃分土地使甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4 小明作出如下探究：如圖，若甲、乙兩種作物的種植區域分別為梯形AEFD和梯形BEFC，DF＝CF＝100 m．如何劃分AB，可使甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4 解：設甲種作物每平方米產量為a，則乙種作物每平方米產量為2a. 設AE＝x m，BE＝y m．根據題意，可列方程組 整理，得解這個方程組，得 因此，過AB上距離A端140 m的E處，連接EF，將這塊土地分為兩塊梯形土地，可使甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4. 【教學建議】 由學生按問題順序分析題目，確定未知數及相等關系，厘清解題思路．在尋找相等關系時，問題4中的相等關系①與兩個小長方形的面積之和＝大長方形的面積是等效的．在一些較復雜的問題中，部分條件未明確給出時，可嘗試設輔助元(如例1問題3中所設的a)以表示出相關量，之后對方程進行整理化簡即可消去輔助元．幾何類問題通常在邊長或者面積上存在一個相等關系．
活動三：知識延伸，舉一反三 【設計意圖】 以實際問題為例，引入圖文信息問題. 例2　根據圖中提供的信息，解答后面的問題： (1)求水瓶和水杯的單價； (2)王老師購買了6只水瓶和20只水杯，商家給予八折優惠，則王老師共需付款多少錢？ 問題1　觀察上圖，你能獲得哪些信息？ ①1只水瓶和1只水杯共需48元； ②3只水瓶和4只水杯共需152元． 問題2　設每只水瓶的價格為x元，每只水杯的價格為y元，請將獲取的信息表示成含未知數的等式． ①1×水瓶單價＋1×水杯單價＝48元，即x＋y＝48； ②3×水瓶單價＋4×水杯單價＝152元，即3x＋4y＝152. 問題3　第(2)小問中的付款金額應如何求解？ 根據(1)中求得的水瓶與水杯的單價，計算6只水瓶和20只水杯的總價后乘以0.8即可． 問題4　請寫出完整的解答過程． 解：(1)設水瓶的單價為每只x元，水杯的單價為每只y元． 根據圖中水瓶、水杯的價格關系，列方程組 解這個方程組，得 答：水瓶的單價為每只40元，水杯的單價為每只8元． (2)(6×40＋20×8)×0.8＝320(元)． 答：王老師共需付款320元． 【對應訓練】 1．教材P103練習第3題． 2．王老師為學校購買運動會的獎品后，回學校向后勤處趙主任交賬，以下是兩人的對話： 趙主任為什么說他記錯了，請你用方程組的知識給予解釋． 解：設單價為8元的書購買了x本，單價為12元的書購買了y本． 根據題意，得解這個方程組，得 因為x，y作為書本的數量，必須是正整數，所以趙主任說王老師記錯了. 【教學建議】 學生獨立思考作答，解決此類問題的關鍵是正確理解題意，從圖中找出相等關系，分析出數量關系并列出方程組.
活動四：強化訓練，學以致用 【設計意圖】 列舉具體圖形的例子，強化學生解決幾何問題的能力. 例3　如圖，寬為50 cm的長方形圖案由10個相同的小長方形拼成，則每個小長方形的長和寬分別是多少？ 解：設每個小長方形的長為x cm，寬為y cm. 根據圖中長度的相等關系，列方程組 解這個方程組，得 答：每個小長方形的長為40 cm，寬為10 cm. 【對應訓練】 小東在拼圖時，發現8個一樣大小的長方形，恰好可以拼成如圖①所示的一個大的長方形．小林看見了說：“我也來試一試．”結果小林七拼八湊，拼成了如圖②所示的正方形，中間還留下了一個恰好是邊長為3 mm的小正方形．你能求出這些長方形的長和寬嗎？ 解：設長方形的長和寬分別為x mm和y mm.根據圖中長度的相等關系，列方程組解這個方程組，得 答：這些長方形的長為15 mm，寬為9 mm. 【教學建議】 學生獨立思考作答，教師統一答案．在此類問題中，拼成的大長方形的長、寬可用小長方形的長、寬表示，然后再通過已知量或把大長方形的長、寬作為中間量，即可得到相應的相等關系．對應訓練中學生可能會由圖②中面積的和差關系得到關于x，y的二次方程，教師應注意引導學生轉而觀察線段間的關系．
活動五：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練． 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1．如何從幾何圖形或圖文對話中提取有效信息，獲取相等關系？ 2．如何用畫圖或列表的方法分析數量關系？ 【作業布置】 1．教材P105習題10.3第5，6題． 2．相應課時訓練．
板書設計 第2課時　幾何圖形與圖文信息問題 1．幾何圖形問題(例1)． 2．圖文信息問題.
教學反思 本節課通過利用方程組解決幾何圖形和圖文對話形式的實際問題，使學生進一步認識數學與現實世界的密切聯系．通過列方程組解決實際問題，在建模過程中強化了方程思想，培養了學生列方程組解決實際問題的意識和應用能力，更進一步強化了學生解方程組的技能．
解題大招　幾何圖形與圖文信息問題
1．幾何圖形問題：解決這類問題經常會用到有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式，這類性質、公式一般都是隱含的，解題時要注意挖掘．
例如，下面這道題就要注意正方形邊長相等這一隱含條件：
例1　一個長方形的長減少3 cm，寬增加2 cm，就成為一個正方形，并且這兩個圖形的面積相等，這個長方形的長、寬各是多少？
解：設這個長方形的長為x cm，寬為y cm.
由題意可得
解這個方程組，得
答：這個長方形的長為9 cm，寬為4 cm.
2．圖文信息問題：常見的圖文信息題，主要包括圖景信息題、圖表信息題、圖象信息題三大類．由于構成每類題的圖和文都有其自身一定的特點，所以相應的指導策略自然各有側重．
注意：在解決以圖為主的圖景信息題時，要引導學生學會整體觀察，了解圖意，將圖的信息轉譯為文字信息，并整理所有信息，使得圖文問題轉化為學生相對熟悉的純文字問題．
例如，下面這道題中，第(2)問需要考慮水槽的容積，當大球和小球排出的水的體積大于水槽的容積時，超出部分的水便會溢出，這個需要結合圖以及生活經驗仔細揣摩．
例2　如圖是用“排水法”測量物體體積的裝置，右側是一個長10 cm，寬5 cm，高12 cm的長方體水槽(水槽壁的厚度忽略不計)．分兩次將若干規格相同的大球和小球放入左側容器中，水槽中收集到的水的高度如圖所示．
(1)請根據圖中信息，求出大球和小球的體積；
(2)若在左側容器中放入4個大球和5個小球，水槽中收集到的水的體積是多少？
解：(1)設大球的體積為x cm3，小球的體積為y cm3.
根據圖中涉及個數、體積的數量關系，列方程組
解這個方程組，得
答：大球的體積為125 cm3，小球的體積為25 cm3.
(2)4個大球和5個小球的體積為4×125＋5×25＝625(cm3)，
長方體水槽的容積為10×5×12＝600(cm3)．
因為625 cm3>600 cm3，所以超出部分的水會溢出．
故在左側容器中放入4個大球和5個小球，水槽中收集到的水的體積是600 cm3.
培優點　稍復雜的幾何圖形與圖文信息問題
例1　現要在長方形草坪中規劃出3塊大小、形狀一樣的小長方形(圖中陰影部分)區域種植鮮花．
(1)如圖①，大長方形的相鄰兩邊長分別為60 m和45 m，求小長方形的相鄰兩邊長．
(2)如圖②，設大長方形的相鄰兩邊長分別為a和b，小長方形的相鄰兩邊長分別為x和y.
①1個小長方形的周長與大長方形的周長的比值是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．
②若種植鮮花的面積是整塊草坪面積的，求x和y滿足的關系式(不含a，b)．
解：(1)設小長方形的長為y m，寬為x m.
依題意，得解這個方程組，得
故小長方形的相鄰兩邊長分別是10 m，25 m.
(2)①因為1個小長方形的周長為2(x＋y)，
大長方形的周長為2(a＋b)＝2(2x＋y＋x＋2y)＝6(x＋y)，
所以2(x＋y)∶2(a＋b)＝＝.
故1個小長方形的周長與大長方形的周長的比值是定值.
②依題意有(2x＋y)(x＋2y)＝4×3xy，整理，得2x2－7xy＋2y2＝0.
故x和y滿足的關系式為2x2－7xy＋2y2＝0.
例2　【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”(如圖①)，是世界上最早的矩陣，又稱幻方．用今天的數學符號表示，洛書就是一個三階幻方(如圖②)．
(1)觀察圖②，根據九宮圖中各數字之間的關系，我們可以總結出幻方需要滿足的條件是每一橫行、每一豎列、每一對角線上三個數的和相同；
(2)若圖③是一個幻方，則圖中m＝6，n＝0.
解析：(2)由幻方的條件，得解這個方程組，得

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