資源簡介

第2課時　用加減消元法解稍復雜的二元一次方程組
教學目標
課題 第2課時　用加減消元法解稍復雜的二元一次方程組 授課人
素養目標 會用加減消元法求稍復雜的二元一次方程組的解，進一步體會“消元”思想. 2.能運用合適的方法解二元一次方程組，體驗先觀察，再選擇合適的方法是做數學題的重要技巧.
教學重點 用加減消元法解稍復雜的二元一次方程組．
教學難點 方程組中未知數的系數既不相等，也不互為相反數時，如何運用等式的性質對方程進行適當變形，從而實現加減消元的靈活運用.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：懸疑設置，新課導入 【設計意圖】 引出稍復雜的二元一次方程組的形式，為新課中學習用加減法求解進行鋪墊. 【問題引入】 (1)觀察方程： ①②③ ①②和③有什么不同？ ①②的兩個方程中都有一個未知數的系數相等或互為相反數，③的兩個方程中未知數的系數不具備這種特征． (2)如何用加減法解方程組①②？試著做一做． 解方程組①，得解方程組②，得 像③這樣的方程組也可以用加減法求解嗎？這就是我們這節課將要學習的內容． 【教學建議】 與學習用代入法求解稍復雜的二元一次方程組時類似，以設問的方法導入新課，教師提問，學生代表進行回答，重點在于引導學生觀察方程組中未知數的系數特征．
活動二：交流合作，探究新知 【設計意圖】 通過例題逐步設問，引導學生利用加減法解稍復雜的二元一次方程組． 探究點1　用加減法解稍復雜的二元一次方程組 例1　(教材P96例6)用加減法解方程組 問題1　觀察方程組兩個方程中未知數的系數，這個方程組能否直接加減消元？ 這兩個方程中沒有同一個未知數的系數相等或互為相反數，直接加減這兩個方程不能消元． 問題2　怎樣對方程①②變形，才能使得這兩個方程中某個未知數的系數相等或互為相反數，從而用加減法求解呢？ 觀察這兩個方程中未知數y的系數之間的關系，將①×2可以使兩個方程中y的系數互為相反數． 問題3　根據你在問題2中的結論，寫出解答過程． 解：①×2，得6x－4y＝8.③(1)變形②＋③，得13x＝26，(2)加減x＝2.(3)求解把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1.(4)回代所以這個方程組的解是 (5)寫解
　　問題4　如果用加減法消去x，應該怎樣解？解得的結果一樣嗎？與消去y相比，哪個計算更簡便？ 如果用加減法消去x，需要對兩個方程都進行變形，使兩個方程中x的系數相等，可以①×7，②×3. 解：①×7，得21x－14y＝28.③ ②×3，得21x＋12y＝54.④(1)變形④－③，得26y＝26，(2)加減y＝1.(3)求解把y＝1代入①，得3x－2×1＝4，x＝2.(4)回代所以這個方程組的解是 (5)寫解
解得的結果一樣．用加減法消去y比用加減法消去x計算更簡便. 歸納總結：解方程組時，先消去哪個未知數都可以，結果是確定的，不會因為先消去哪個未知數而產生變化．一般地，先消去哪個未知數簡便就先消去哪個. 【對應訓練】 教材P98練習第1題. 【教學建議】 這部分采用上節課的教學模式，將例題分解成多個小問，學生分組討論，合作完成解答，感悟探究過程中所蘊含的化歸思想，教師適時予以提示或指導，要使學生理解加減消元的本質是利用等式的性質，將未知數的系數化為相等或互為相反數，從而將方程組演變為上節課所學的形式．通過整個探究過程，使學生發現規律：消去哪個未知數，就找尋兩個方程中該未知數系數的最小公倍數．
【設計意圖】 通過運用加減法解決實際問題，強化解方程組的技巧和應用意識. 探究點2　加減法解二元一次方程組的實際應用 例2　(教材P97例7)我國古代數學著作《九章算術》中記載了這樣一道題： 今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？ 意思是：假設5頭牛、2只羊，共值金10兩；2頭牛、5只羊，共值金8兩．那么每頭牛、每只羊分別值金多少兩？你能解答這個問題嗎？ 問題1　寫出題中所包含的相等關系． 相等關系1：5頭牛的價格＋2只羊的價格＝10兩金； 相等關系2：2頭牛的價格＋5只羊的價格＝8兩金． 問題2　設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，請用含x，y的式子表示你在問題1中得到的相等關系． 5x＋2y＝10，2x＋5y＝8. 問題3　請根據你在問題2中的設元，及本節課學過的用加減法解稍復雜的二元一次方程組，完成本題的解答． 解：根據問題2中的設元，列得方程組 ①×2，得10x＋4y＝20.③ ②×5，得10x＋25y＝40.④ ④－③，得21y＝20，y＝. 把y＝代入①，得x＝. 所以這個方程組的解是 答：每頭牛和每只羊分別值金兩和兩． 【對應訓練】 教材P98練習第2題． 【教學建議】 教師引導學生分析題中的兩個相等關系，從而列出方程組，并獨立完成解答過程．注意提醒學生，在用加減消元法解方程組時，通常要先將得到的二元一次方程組整理成的形式，再求解．在關于例題的教學中，也可讓學生上臺板演，自己嘗試用加減法消去y，并計算出結果，看是否一致．
活動三：交流新知，靈活運用 【設計意圖】 強化學生對二元一次方程組解法的認識，能夠選擇合適的方法解方程組. (教材P98思考)(1)怎樣解下面的方程組？ 問題1　觀察上面的兩個方程組，你分別選擇用什么方法求解？為什么？ 方程組Ⅰ中方程①中y的系數是1，選擇用代入法；方程組Ⅱ中y的系數互為相反數，選擇用加減法． 問題2　方程組Ⅰ能直接用加減法求解嗎？若不能，要如何變形才能使用加減法？ 不能．如果要消去x，可以②×5－①×2；如果要消去y，可以①×3－②×5. 問題3　求出方程組的解． 解：(Ⅰ)由①，得y＝1.5－2x.③ 把③代入②，得0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，－0.4x＝0.4，x＝－1. 把x＝－1代入③，得y＝3.5. 所以這個方程組的解是 (Ⅱ)①＋②，得4x＝8，x＝2. 把x＝2代入①，得2＋2y＝3，y＝0.5. 所以這個方程組的解是 (2)選擇你認為簡便的方法解習題10.1的第4題(“雞兔同籠”問題)． 解：設籠中有雞x只，兔子y只．根據題意，得 ①×2，得2x＋2y＝70.③ ②－③，得2y＝24，y＝12. 把y＝12代入①，得x＋12＝35，x＝23. 所以這個方程組的解是 答：籠中有雞23只，兔子12只． 【對應訓練】 1．用合適的方法解下列方程組： (1) 　　　(2) 解：(1)由①，得y＝3x－2.③ 把③代入②，得6x－3(3x－2)＝5，x＝. 把x＝代入③，得y＝－1.所以這個方程組的解是 (2)①×2，得4x－10y＝－42.③ ②－③，得13y＝65，y＝5. 把y＝5代入②，得4x＋15＝23，x＝2. 所以這個方程組的解是 2．某商場第一次用10 000元購進甲、乙兩種商品共180件，其中甲種商品每件進價60元，乙種商品每件進價50元．該商場購進甲、乙兩種商品各多少件？ 解：設該商場購進甲種商品x件，乙種商品y件． 根據題意，得 解這個方程組，得 答：該商場購進甲種商品100件，乙種商品80件． 【教學建議】 學生獨立思考作答，教師統一答案．加減法和代入法都是通過消元解方程組，對一個方程組用哪種方法解都可以，但是不同的解法在難度上會有差異，應根據方程組的具體情況，選擇適合它的解法．當方程組中任意一個未知數的系數的絕對值不是1，且相同未知數的系數不成整數倍關系時，一般經過變形，利用加減法會使過程更簡便．
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時【隨堂訓練】． 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1．你能用加減法解稍復雜的二元一次方程組嗎？你能用加減法解決與二元一次方程組有關的實際問題嗎？ 2．對于一個二元一次方程組，你能選擇最適合它的解法嗎？ 【知識結構】 【作業布置】 1．教材P99習題10.2第3(3)(4)，6，7，10，12題． 2．相應課時訓練．
板書設計 第2課時　用加減消元法解稍復雜的二元一次方程組 1．用加減法解同一未知數的系數都不相等或都不互為相反數的二元一次方程組． 2．一般步驟：(1)變形；(2)加減；(3)求解；(4)回代；(5)寫解． 3．加減法解二元一次方程組的實際應用． 4．選擇合適的方法解二元一次方程組．
教學反思 　　本節課是上節課的擴充和延續，通過類比用加減法解簡單的二元一次方程組來解決稍復雜的二元一次方程組問題．課堂中采用引導式的教學方法，通過具體實例讓學生主動思考、嘗試，從而更深刻地領悟加減法，進一步體會消元思想在解決數學問題中的應用．在本節課最后，要對代入法和加減法解二元一次方程組進行總結，讓學生在練習中學會利用合適的方法解決問題.
解題大招一　用加減法解稍復雜的二元一次方程組
(1)當二元一次方程組中有系數成倍數關系的相同未知數時，可適當變形后消去這個未知數．這種情況一般只需對其中一個二元一次方程的系數乘相應倍數即可，不需要對兩個二元一次方程都進行變形．
例1　解方程組：
解：①×4，得8x＋20y＝48.③
③－②，得23y＝46，y＝2.
把y＝2代入①，得x＝1.
所以這個方程組的解是
(2)當二元一次方程組中沒有系數成倍數關系的相同未知數時，觀察同一未知數系數的絕對值，看哪一組的最小公倍數更小．比如下面這個例題，未知數x的系數的絕對值為2，3，其最小公倍數是6，而y的系數的絕對值為2，5，其最小公倍數是10，所以選擇x作為“消元”目標更簡便些．
例2　解方程組：
解：①×2，得6x－4y＝10.③
②×3，得6x＋15y＝48.④
④－③，得19y＝38，y＝2.
　　把y＝2代入①，得3x－4＝5，x＝3.
所以這個方程組的解是
(3)對于未知數系數“互換”的情形，可直接采用兩方程相加減來簡化系數．
例3　解方程組：
解：①＋②，得60x＋60y＝180.
即60(x＋y)＝180，x＋y＝3.③
②－①，得14x－14y＝－14，
即14(x－y)＝－14，x－y＝－1.④
③＋④，得2x＝2，x＝1.
把x＝1代入③，得1＋y＝3，y＝2.
所以這個方程組的解是
解題大招二　二元一次方程組的同解問題
若兩個含有字母系數的方程組同解，則可以將不含所求字母的兩個方程聯立，組成新的方程組，求出新方程組的解，再將解代入另外兩個含有字母系數的方程組成的方程組中，求出字母的值．
例4　已知關于x，y的方程組
與
的解相同，求a，b的值．
解：解方程組
得
代入方程組
可得
解這個方程組，得
所以a的值為2，b的值為3.
注意：本題考查方程組同解的性質，掌握“同解方程組中的方程重新組合為新方程組時，新方程組與原方程組的解相同”是解題關鍵．當遇到有關含字母系數的二元一次方程組的解的問題時，通常要運用二元一次方程組的解的概念，將解代入原方程組，再求解方程中的字母系數．
培優計劃　二元一次方程組中的看錯問題
例　已知關于x，y的方程組小明在解方程組時看錯a，解得小紅在解方程組時看錯b，解得
求原方程組正確的解．
分析：小明看錯方程①中的a，則
是方程②的解；小紅看錯方程②中的b，則
是方程①的解．據此得到a，b的值，代入原方程組再求解即可．
解：把代入方程②，得－10＋7b＝4.解這個方程，得b＝2，即正確的b的值為2.
把代入方程①，得5a－3＝17.解這個方程，得a＝4，即正確的a的值為4.
所以原方程組為，解這個方程組得
所以原方程組正確的解為

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