資源簡介

10.2.2　加減消元法
第1課時　用加減消元法解簡單的二元一次方程組
教學目標
課題 第1課時　用加減消元法解簡單的二元一次方程組 授課人
素養目標 1.體驗加減消元法，在此基礎上學習加減消元法的概念，理解加減消元法． 2．會運用加減消元法求二元一次方程組的解， 掌握用加減消元法解簡單的二元一次方程組的一般步驟.
教學重點 掌握用加減法解簡單的二元一次方程組．
教學難點 對于運用加減消元法，把“二元”轉化為“一元”，從而正確求解二元一次方程組的理解.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：舊知回顧，新課導入 【設計意圖】 復習等式的性質，方便引入加減消元法. 【回顧導入】 在前面的課時，我們研究了用代入法解二元一次方程組，這種方法的基本思想是消元，即把二元一次方程組轉化為一元一次方程． 除了用代入法消元外，還有沒有其他的方法消元呢？大家看下面3個問題： ①如果a＝b，那么a±c＝b±c. ②如果a＝b，那么ac＝bc. ③如果a＝b，c＝d，那么a±c＝b±d成立嗎？為什么？ 以上這些性質運用在方程上，是否有助于解方程組呢？本節課我們將對該問題進行探討． 【教學建議】 教師帶領學生一起回顧等式的性質，引出方程的變形、加減法解二元一次方程組有關知識．
活動二：問題引入，自主探究 【設計意圖】 通過探究的方式，讓學生初步體會到用加減消元法解二元一次方程組的思想、方法和步驟． 探究點　用加減消元法解簡單的二元一次方程組 1．同一未知數的系數相等——兩個方程相減 (教材P95上方的思考)前面我們用代入法求出了方程組 的解．除此之外，還有沒有別的方法呢？ 問題1　這個方程組的兩個方程中，y的系數有什么關系？利用這種關系并結合“活動一”中的問題，你能發現新的消元方法嗎？ 這兩個方程中未知數y的系數相等，我們可以通過兩個方程相減，即②－①(或①－②)來消去未知數y. 問題2　②－①的意義是什么？為什么要②－①？ ②－①就是用方程②的左邊減去方程①的左邊，方程②的右邊減去方程①的右邊．解二元一次方程組需要“消元”，通過②－①可以消去未知數y，得到關于x的一元一次方程． 問題3　②－①的理論依據是什么？ 等式的性質．等式兩邊都加(或減)相等的量，結果仍相等． 問題4　請用②－①的方式解方程組． 解：②－①，得x＝2. 把x＝2代入①，得y＝4. 所以這個方程組的解是 問題5　①－②也能消去未知數y，求得x嗎？(請學生上臺板演) 能．①－②，得－x＝－2，即x＝2.把x＝2代入①，得y＝4. 所以這個方程組的解是 2.同一未知數的系數互為相反數——兩個方程相加 (教材P95下方的思考)聯系前面的探索過程，想一想怎樣解方程組 問題1　這個方程組的兩個方程中，y的系數有什么關系？該如何消元？ 兩個方程中未知數y的系數互為相反數，則兩個方程相加即可消去未知數y. 問題2　根據你的消元思路解方程組． 解：①＋②，得18x＝10.8，x＝0.6. 把x＝0.6代入①，得3×0.6＋10y＝2.8，y＝0.1. 所以這個方程組的解是 概念引入： 當二元一次方程組的兩個方程中某個未知數的系數互為相反數或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解．這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法，簡稱加減法． 例1　(教材P96例5)用加減法解方程組 解：①＋②，得5x＝15，x＝3. 把x＝3代入①，得3×3＋＝0，y＝－18. 所以這個方程組的解是 問題　把x＝3代入例1中的方程②，可以解得y嗎？ 可以．把x＝3代入②，得2×3－＝15，y＝－18. 【對應訓練】 教材P96練習. 【教學建議】 學生分組討論完成加減法的探究過程．教師適時予以提示或指導，最終引導學生得出加減消元法的概念，并結合“活動一”說明加減法的理論依據就是等式的性質．初學加減法時，涉及的方程中未知數的系數或者相等，或者互為相反數，對于不是這兩種的稍復雜情形，在下節課再進行深入學習．
活動三：強化訓練，鞏固提升 【設計意圖】 設置利用加減法解方程組求參數的值或取值范圍的題目，強化學生學以致用的能力. 例2　已知x＋y＝0，且x，y滿足二元一次方程組 求k的值． 解：根據題意，可得 解這個方程組，得 把x＝3，y＝－3代入方程2x＋5y＝k，得k＝2×3＋5×(－3)＝－9. 例3　已知關于x，y的方程組 的解滿足x－y＝4，求a的值． 解：①－②，得x－y＝a＋2. 又關于x，y的方程組 的解滿足x－y＝4， 所以a＋2＝4，所以a＝2. 【對應訓練】 已知關于x，y的方程組 的解滿足3m－2n＝4，求a的值． 解：①＋②，得3m－2n＝7a－3. 因為3m－2n＝4，所以7a－3＝4，所以a＝1. 【教學建議】 教師講解例題，重點關注學生對于解題思路的把握．在例2中學生可能采用先解原方程的方法，但這樣的解題過程會比較煩瑣，應啟發學生構建新的方程組從而簡化解題過程．例3同樣如此，若把x，y用含a的式子表示出來再代入會比較復雜，可引導學生觀察，把x－y看成整體，用加減法得到用參數表示的相關形式的式子，即可進一步得到參數值．
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時【隨堂訓練】． 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1．用加減法解二元一次方程組的一般步驟是什么？ 2．如果直接用加減消元法解方程組，未知數的系數應滿足什么條件？ 【知識結構】 【作業布置】 1．教材P99習題10.2第3(1)(2)，5，9題 2．相應課時訓練．
板書設計 第1課時　用加減消元法解簡單的二元一次方程組 加減法解二元一次方程組的一般步驟： (1)變形；(2)加減；(3)求解；(4)回代；(5)寫解.
教學反思 本節課從二元一次方程組中未知數的系數關系入手，引入加減消元法，通過解法的對比讓學生切實體會到加減法在解二元一次方程組中的作用，然后引導學生歸納加減法解方程組的一般步驟，進而運用加減法解二元一次方程組解決問題．
解題大招一　用加減法解簡單的二元一次方程組
用加減法解某個未知數的系數相等或互為相反數的二元一次方程組時，有時需先將某個方程變形，步驟如下：
步驟 具體 做法 目的
① 變形 對某個方程進行去括號或者去分母等運算，將其化為ax＋by＝c(a，b，c是常數)的形式 使兩個方程中某一個未知數的系數相等或互為相反數
② 加減 當相同未知數的系數相等時，把兩個方程相減；當相同未知數的系數互為相反數時，把兩個方程相加 消去一個未知數，將二元一次方程組轉化為一元一次方程
③ 求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一個未知數的值
④ 回代 把求得的未知數的值代入方程組中某個較簡單的方程中 求出另一個未知數的值
⑤ 寫解 把兩個未知數的值用大括號聯立起來 表示為 的形式
例1　用加減法解下列方程組：
(1)　　　　　　　(2)
解：(1)把②變形，得2x－y＝5.③
③－①，得x＝6，x＝4.把x＝4代入①，得y＝.所以這個方程組的解是
(2)由①，得3x－2y－2＝6，即3x－2y＝8.③
②＋③，得6x＝18，x＝3.把x＝3代入②，得y＝.所以這個方程組的解是
解題大招二　與加減法有關的簡單實際問題
建立二元一次方程組模型解決實際問題，其關鍵是找到兩個相等關系，根據相等關系列方程組，發現滿足某個未知數的系數相等或互為相反數，從而利用加減法解方程組，最后不要忘記作答．
例2　某工廠生產A，B兩種產品，每塊甲種板材可生產3件A產品和1件B產品；每塊乙種板材可生產2件A產品和2件B產品，現要生產46件A產品，26件B產品，需要甲、乙兩種板材各多少塊？
解：設需要甲種板材x塊，乙種板材y塊．根據題意，得解這個方程組，得
答：需要甲種板材10塊，乙種板材8塊．
培優點　利用“換元法”巧解二元一次方程組
例　【閱讀材料】善于思考的樂樂同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的方法：把m＋5，n＋3看成一個整體，設m＋5＝x，n＋3＝y，則原方程組可化為解這個方程組，得所以解這個方程組，得
(1)【學以致用】模仿樂樂同學的“整體換元”的方法，解方程組
(2)【拓展提升】若關于x，y的方程組的解為請求出關于m，n的方程組的解．
分析：(1)根據題意所給材料可令m＝，n＝，則原方程組可化為解出m，n，代入m＝，n＝，再解出關于x，y的方程組即可．(2)根據題意所給材料可得出再解出這個方程組即可．
解：(1)令m＝，n＝，則原方程組可化為解這個方程組，得所以即解這個方程組，得所以原方程組的解為
(2)把關于m，n的方程組看作關于未知數為2m＋7n和2m－n的二元一次方程組．因為關于x，y的方程組的解為所以解這個方程組，得所以原方程組的解為

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