資源簡介

10.2　消元——解二元一次方程組
10．2.1　代入消元法
第1課時　用代入消元法解簡單的二元一次方程組
教學目標
課題 第1課時　用代入消元法解簡單的二元一次方程組 授課人
素養目標 1.了解解二元一次方程組的“消元”思想，體會學習數學中的“化未知為已知”，“化復雜為簡單”的化歸思想． 2．了解代入消元法的概念，掌握代入法的基本步驟． 3．會用代入消元法求簡單的二元一次方程組的解.
教學重點 了解代入法的一般步驟，會用代入法解簡單的二元一次方程組．
教學難點 對代入消元法解方程組的過程的理解.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：回顧舊知，新課導入 【設計意圖】 回顧上節課的內容，為引入新課做準備. 【回顧導入】 在上節課中，我們探究了教材P87的問題，通過設租用的大型采棉機的臺數為x，小型采棉機的臺數為y，結合問題中的相等關系，列出了二元一次方程組 之后我們又結合未知數的實際意義，通過逐一嘗試的方法，找出了方程組的解． 很明顯這種方法較為受限且求解過程比較煩瑣，那有沒有一種簡單的方法解方程組呢？ 這節課我們繼續研究怎樣解二元一次方程組． 【教學建議】 教師直接列舉不適合列表求公共解的實際問題，激發學生探究方程組其他解法的興趣．
活動二：問題引入，自主探究 【設計意圖】 將解二元一次方程組與解一元一次方程相比較，引入將“二元”轉化為“一元”的“消元”思想，總結出用代入消元法解二元一次方程組的步驟． 探究點　用代入法解簡單的二元一次方程組 問題1　對于教材P87的租用大、小型采棉機問題，你能否列一元一次方程求解？ 設這個種棉大戶租用了大型采棉機x臺，則租用了小型采棉機(6－x)臺． 根據題意，得2x＋(6－x)＝8.③ 解得x＝2. 則6－x＝4. 這個種棉大戶租用了大型采棉機2臺，小型采棉機4臺． 問題2　對于教材P87的問題，采用不同的設未知數的方法，由問題中的相等關系，可以分別列出二元一次方程組和一元一次方程③.你能由所列出的二元一次方程組得到所列出的一元一次方程③嗎？ 方程①可以寫為y＝6－x，因為方程①②中的y都表示租用小型采棉機的臺數，所以可以通過等量代換，把方程②中的y換為6－x，即可得到方程③.解方程③，得x＝2.把x＝2代入y＝6－x，得y＝4，從而得到這個方程組的解． 概念引入： 將未知數的個數由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想． 把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解. 這種解二元一次方程組的方法叫作代入消元法，簡稱代入法． 例1　(教材P92例1)用代入法解方程組 　問題1　選擇哪個方程進行變形會比較簡便，為什么？ 選擇方程①進行變形會比較簡便，因為方程①中x，y的系數的絕對值都是1. 問題2　用含y的式子表示x，寫出解答過程． 問題3　問題2中的方程③可以代入方程①嗎？為什么？ 不能．把方程③代入方程①后，會得到不含未知數的恒等式3＝3，無法繼續求解．方程③由方程①變形得到，不能代入原方程. 問題4　問題2中的y＝－1代入方程①或方程②，能求得x的值嗎？ 能．代入方程①，②還需要進一步變形才能求得x的值，代入方程③更簡便. 問題5　方程①能否用含x的式子表示y來求解？試試看. 能. 解：由①，得y＝x－3.③ 把③代入②，得3x－8(x－3)＝14.解這個方程，得x＝2. 把x＝2代入③，得y＝－1.所以這個方程組的解是 例2　(教材P92例2)用代入法解方程組 分析：方程②中y的系數是－1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比較簡便. 解：由②，得y＝2x－16.③ 把③代入①，得3x－5(2x－16)＝3. 解這個方程，得x＝11. 把x＝11代入③，得y＝6. 所以這個方程組的解是 【對應訓練】 教材P93練習第1，2題. 【教學建議】 學生分組討論合作完成問題，感悟探究過程中所蘊含的化歸思想．教師適時予以提示或指導，最終引導學生得出代入消元法的概念． 【教學建議】 教師注意規范學生的解題格式，并強調二元一次方程組的解是一對，應寫成的形式. 在用代入法解二元一次方程組時，若未知數的系數比較復雜，可將求得的解回代入方程組進行檢驗．
活動三：重點突破，提升探究 【設計意圖】 將二元一次方程組的解與解二元一次方程組結合，加深對概念的理解，強化解方程組的方法的應用. 例3　已知是二元一次方程組的解，求m，n的值． 解：把代入原方程組中， 得到關于m，n的二元一次方程組 由②，得m＝2n－1.③ 把③代入①，得2(2n－1)＋n＝8.解這個方程，得n＝2. 把n＝2代入③，得m＝3. 所以這個方程組的解為 所以m的值為3，n的值為2. 【對應訓練】 已知是二元一次方程組的解，求a－b的值. 解：把代入原方程組中， 得到關于a，b的二元一次方程組 解這個方程組，得 所以a－b＝2－3＝－1. 【教學建議】 學生獨立思考完成，教師提醒學生，方程組的解必定滿足方程組中每一個方程，故將方程組的解回代，即可得到關于其他字母的方程(組)．
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練. 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1.解二元一次方程組的基本思想是什么？ 2.用代入法解二元一次方程組的一般步驟是怎樣的？ 3.用代入法解二元一次方程組時，有哪些技巧？(以變形和代入兩方面為例) 【知識結構】 【作業布置】 1.教材P99習題10.2第2(1)(2)，4，8題. 2.相應課時訓練．
板書設計 第1課時　用代入消元法解簡單的二元一次方程組 1.設租用的大型采棉機的臺數為x，小型采棉機的臺數為y，得 設租用的大型采棉機的臺數為x，得2x＋(6－x)＝8.③ 2.基本思想：消元. 3.一般步驟：(1)變形，(2)代入，(3)求解，(4)回代，(5)寫解.
教學反思 本節課從實際問題入手，讓學生分別列一元一次方程和二元一次方程組解同一個問題，從而觀察兩種方法所列式子之間的區別與聯系，引入代入消元法．經過練習，讓學生自己總結用代入消元法解二元一次方程組的步驟．
解題大招一　用代入法解簡單的二元一次方程組
使用代入法解簡單的二元一次方程組的幾種技巧：
①當方程組中含有一個未知數表示另一個未知數的代數式時，可以直接利用代入法求解；
②若方程組中有未知數的系數為1(或－1)的方程，則選擇系數為1(或－1)的方程進行變形比較簡便；
③有時還可以用“整體代入法”消元解二元一次方程組(詳見后面培優計劃例2)．
例1　用代入法解下列方程組：
(1)　　(2)
解：(1)把①代入②，得2×2y＋y＝5.解這個方程，得y＝1.
把y＝1代入①，得x＝2.所以這個方程組的解是
(2)由②，得y＝5－3x.③
把③代入①，得3x＋2(5－3x)＝7.解這個方程，得x＝1.
把x＝1代入③，得y＝2.所以這個方程組的解是
解題大招二　用代入法解簡單的二元一次方程組的實際應用
解答二元一次方程組的應用題時，找準相等關系，正確列出方程組是解題的關鍵．
例2　當下電子產品更新換代速度加快，廢舊智能手機數量不斷增加．科學處理廢舊智能手機，既可減少環境污染，還可回收其中的可利用資源．據研究，從每噸廢舊智能手機中能提煉出的白銀比黃金多760 g．已知從2.5 t廢舊智能手機中提煉出的黃金，與從0.6 t廢舊智能手機中提煉出的白銀克數相等．從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金與白銀各多少克？
解：設從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金x g，白銀y g.
根據題意，得解這個方程組，得
答：從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金240 g，白銀1 000 g.
培優點一　用代入法解二元一次方程組的糾錯題
例1　判斷方程組的解法是否正確，如果不正確，請寫出正確的解法．
解法1：由①，得y＝7－2x.③
把③代入①，得2x＋(7－2x)＝7.所以x可以為任意實數，從而y也為任意實數，所以這個方程組有無數組解．
解法2：由①，得y＝7－2x.③
把③代入②，得6x－7－2x＝17.解這個方程，得x＝6.把x＝6代入③，得y＝－5.所以這個方程組的解為
解：解法都不正確．正確的解法如下：
由①，得 y＝7－2x.③
把③代入②，得6x－(7－2x)＝17.解這個方程，得x＝3.
把x＝3代入③，得y＝1.所以這個方程組的解為
或由②，得y＝6x－17.③
把③代入①，得2x＋(6x－17)＝7.
解這個方程，得x＝3.把x＝3代入③，得y＝1.
所以這個方程組的解為
培優點二　用“整體代入法”解二元一次方程組
例2　閱讀材料并解決問題．
小亮在解方程組時，發現了一種新的方法，他把這種方法叫作“整體代入法”，解題過程如下：
解：由①，得x－y＝1.③
把③代入②，得……
(1)請你替小亮補全完整的解題過程；
(2)請你用這種方法解方程組
解：(1)由①，得x－y＝1.③
把③代入②，得4×1－y＝5.解這個方程，得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝0.所以這個方程組的解為
(2)由①，得3x－y＝2.③
把③代入②，得＋3y＝10.解這個方程，得y＝3.
把y＝3代入③，得x＝.所以這個方程組的解為

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