資源簡介

第2課時　用代入消元法解稍復雜的二元一次方程組
教學目標
課題 第2課時　用代入消元法解稍復雜的二元一次方程組 授課人
素養目標 會用代入消元法求稍復雜的二元一次方程組的解，進一步體會“消元”思想．
教學重點 用代入消元法解稍復雜的二元一次方程組．
教學難點 方程組中未知數的系數都不為1(或－1)時，如何用一個未知數表示另一個未知數從而實現代入消元的靈活運用.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：舊知回顧，新課導入 【設計意圖】 通過回憶上節課所學，引出稍復雜的二元一次方程組的形式，為新課進行鋪墊. 【問題引入】 (1)什么是二元一次方程組？ 方程組中含有兩個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組． (2)①②③是二元一次方程組嗎？①②和③有什么不同？ 都是二元一次方程組．①②的兩個方程中有一個未知數的系數為1或－1，③的兩個方程中未知數的系數都不為1或－1. (3)如何用代入法解方程組①②？試著做一做． 解方程組①，得解方程組②，得 像③這樣的方程組也可以用代入法求解嗎？這就是我們這節課將要學習的內容． 【教學建議】 教師提問，學生代表進行回答，重點在于引導學生觀察方程組中未知數的系數特征．也可在進入正課之前給學生時間自行嘗試仿照上節課的代入法解一解，有助于體會方程形式上的特點，并對于解題難度上的區別有一個初步認知．
活動二：交流合作，探究新知 【設計意圖】 通過例題逐步設問，引導學生利用代入法解稍復雜的二元一次方程組． 探究點1　用代入法解稍復雜的二元一次方程組 例1　(教材P93例3)用代入法解方程組 問題1　類比上節課所學，用代入法求解這種未知數的系數都不為1或－1的二元一次方程組時，第一步應做些什么？ 應對某個方程進行變形，把一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，并注意將被表示的未知數的系數化為1. 問題2　對于這個方程組，選擇表示出哪個方程中的哪個未知數會使計算更簡便？為什么？ 由于方程①中的x的系數的絕對值最小，所以在方程①中用含y的式子表示x會使計算更簡便． 問題3　根據你在問題2中的結論，寫出解答過程． 解：由①，得x＝y－.③(1)變形把③代入②，得9(y－)＋7y＝39.(2)代入解這個方程，得y＝3.(3)求解把y＝3代入③，得x＝2.(4)回代所以這個方程組的解是 (5)寫解
問題4　解這個方程組時，可以先消去y嗎？試試看. 可以. 解：由①，得y＝x＋.③ 把③代入②，得9x＋7(x＋)＝39. 解這個方程，得x＝2. 把x＝2代入③，得y＝3. 所以這個方程組的解是 【對應訓練】 教材P95練習第1題. 【教學建議】 這部分采用上節課的教學模式，將例題分解成多個小問，學生分組討論，合作完成解答，感悟探究過程中所蘊含的化歸思想，教師適時予以提示或指導．由于本節課涉及的方程組的系數較為復雜，學生在解答完畢后可將解代回進行檢驗．教師也可對學生提問不同的變形方式會不會改變方程的解，鼓勵學生用不同的方式去解方程，并讓學生從中自行感悟緣由．
【設計意圖】 通過運用代入法解決實際問題，提高解方程組的能力和應用意識. 探究點2　代入法解二元一次方程組的實際應用 例2　(教材P94例4)快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件．某快遞員星期一的送件數和攬件數分別為120件和45件，報酬為270元；他星期二的送件數和攬件數分別為90件和25件，報酬為185元．如果這名快遞員每送一件和每攬一件貨物的報酬分別相同，他每送一件和每攬一件的報酬各是多少元？ 問題1　寫出題中所包含的相等關系． 相等關系1：送120件的報酬＋攬45件的報酬＝270元； 相等關系2：送90件的報酬＋攬25件的報酬＝185元． 問題2　設這名快遞員每送一件的報酬是x元，每攬一件的報酬是y元，請用含x，y的式子表示你在問題1中得到的相等關系． 120x＋45y＝270，90x＋25y＝185. 問題3　請根據你在問題2中的設元，及本節課學過的用代入法解稍復雜的二元一次方程組，完成本題的解答． 解：根據問題2中的設元，列得方程組 由①，得x＝－y.③ 把③代入②，得90(－y)＋25y＝185. 解這個方程，得y＝2. 把y＝2代入③，得x＝1.5.所以這個方程組的解是 答：這名快遞員每送一件的報酬是1.5元，每攬一件的報酬是2元． 【對應訓練】 教材P95練習第2題． 【教學建議】 教師引導學生分析題中的兩個相等關系，從而列出方程組，并獨立完成解答過程．教師可引導學生對用代入法解二元一次方程組的實際問題的一般步驟進行總結：①審題，找出題中的相等關系；②設元，設出兩個未知數；③列式，根據兩個相等關系列出二元一次方程組；④求解，解方程組；⑤檢驗：有些情況下要檢驗方程組的解是否符合實際意義；⑥作答：最后要寫出實際問題的答案．
活動三：變式訓練，鞏固提升 【設計意圖】 考查構造稍復雜的二元一次方程組并進行計算，強化本節課所學內容． 例3　對于實數x，y，定義新運算x*y＝ax＋by＋1，其中a，b為常數，等式右邊為通常的加法和乘法運算．若3*5＝15，4*7＝28，求5*9的值． 解：根據題意得 即 解這個方程組，得 所以5*9＝5×(－37)＋9×25＋1＝41. 【對應訓練】 若|3a＋2b＋7|＋＝0，求a，b的值. 解：根據題意，得 解這個方程組，得 所以a的值為－，b的值為－. 【教學建議】 解決此類求值問題，通常是根據式子中隱含的相等關系構造二元一次方程組，然后解方程組得到未知數的值，再代入所要求的式子中求值．形式多樣，包括但不限于例題中的新定義運算與對應訓練中的利用非負性列方程組.
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練. 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1.你能用代入法解稍復雜的二元一次方程組嗎？如何變形方程能使計算更簡便？舉例說明. 2.你能用代入法解決與二元一次方程組有關的實際問題嗎？ 【知識結構】 【作業布置】 1.教材P99習題10.2第1，2(3)(4)，11題. 2.相應課時訓練．
板書設計 第2課時　用代入消元法解稍復雜的二元一次方程組 1.用代入法解未知數的系數都不為1(或－1)的二元一次方程組. 2.基本思想：消元. 3.一般步驟：(1)變形，(2)代入，(3)求解，(4)回代，(5)寫解. 4.代入法解二元一次方程組的實際應用．
教學反思 　　本節課是上節課的擴充和延續，通過類比用代入法解簡單的二元一次方程組來解決稍復雜的二元一次方程組問題．課堂中采用引導式的教學方法，通過具體實例讓學生主動思考、嘗試，從而更深刻地領悟代入法，進一步體會消元思想在解決數學問題中的應用.
解題大招一　用代入法解稍復雜的二元一次方程組
當方程組中未知數的系數都不是1或－1時，一般選擇未知數系數的絕對值較小的方程進行變形，這樣可使計算較為簡便．
例1　用代入法解下列方程組：
(1)　　　(2)
解：(1)由②，得x＝－y－.③
把③代入①，得4(－y－)＋5y＝－7.解這個方程，得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝－3.
所以這個方程組的解是
(2)整理方程①，得3x－2y＝4.③
由③，得x＝y＋.④
把④代入②，得5(y＋)＋8y＝1.解這個方程，得y＝－.
把y＝－代入④，得x＝1.
所以這個方程組的解是
解題大招二　用代入法解決與二元一次方程組有關的實際問題
未知數的系數都不是1或－1的二元一次方程組在實際問題中，往往以“總總問題”的形式出現，即兩個相等關系式都可簡化為某部分＋(或－)某部分＝總的某數量．需要注意在某些特殊情況下，需要檢查方程組的解是否符合實際(如正整數解等)．
例2　有大、小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨15.5 t，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨35 t.
(1)一輛大貨車和一輛小貨車一次分別可以運貨多少噸？
(2)若有41 t貨物需要運輸，計劃安排大、小兩種貨車(兩種都有)恰好一次性運完，每輛貨車均滿載，則共有幾種運貨方案？
解：(1)設一輛大貨車一次可以運貨x t，一輛小貨車一次可以運貨y t.
根據題意，得解這個方程組，得
答：一輛大貨車一次可以運貨4 t，一輛小貨車一次可以運貨2.5 t.
(2)設安排m輛大貨車，n輛小貨車．
根據題意，得4m＋2.5n＝41.變形，得m＝.
因為m，n都是正整數，所以或
所以共有兩種運貨方案：
方案1：安排大貨車4輛，小貨車10輛；方案2：安排大貨車9輛，小貨車2輛．
培優點　用代入法解稍復雜二元一次方程組中的整體思想
例　閱讀材料：
小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：
解：將方程②變形為4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5.③
把①代入③，得2×3＋y＝5.解這個方程，得y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.所以這個方程組的解為
請你解決以下問題：
(1)模仿小軍的“整體代換”法解方程組
(2)已知x，y滿足方程組，求x2＋4y2的值．
分析：(1)將方程②變形為3x＋6x－4y＝19，即3x＋2(3x－2y)＝19.③把①代入③，求得x的值，再代入①求出y的值．
(2)將方程②變形，把xy用含x2和y2的式子表示出來，再將其代回方程①并化簡，即可不解方程組，直接整體得到式子x2＋4y2的值．
解：(1)將方程②變形為3x＋6x－4y＝19，即3x＋2(3x－2y)＝19.③
把①代入③，得3x＋2×5＝19.解這個方程，得x＝3.
把x＝3代入①，得y＝2.所以這個方程組的解為
(2)將方程②變形為xy＝36－2x2－8y2.③
把③代入①，得3x2－2(36－2x2－8y2)＋12y2＝47.化簡，得7x2＋28y2＝119.所以x2＋4y2＝17.

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