資源簡介

第十章　二元一次方程組
10．1　二元一次方程組的概念
教學目標
課題 10.1　二元一次方程組的概念 授課人
素養目標 1.認識二元一次方程和二元一次方程組，體會二元一次方程和二元一次方程組都是反映數量關系的重要數學模型． 2．了解二元一次方程和二元一次方程組的解，會檢驗所給的一對未知數的值是否為二元一次方程或二元一次方程組的解． 3．會求二元一次方程的正整數解.
教學重點 理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的意義．
教學難點 1.感知二元一次方程解的不確定性和二元一次方程組解的確定性． 2．求二元一次方程的正整數解.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：舊知回顧，新課導入 【設計意圖】 回顧方程知識，為突破本課時重難點做準備. 【回顧導入】 同學們，在七年級上冊，我們學習了一元一次方程，你還記得什么是一元一次方程嗎？“元”“次”分別表示什么含義？請舉例說明． 一般地，如果方程中只含有一個未知數(元)，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數都是1，這樣的方程叫作一元一次方程．如：2x＋3＝5，y＋6＝8. 用一元一次方程可以解決許多實際生活問題．請大家思考教材P87引言中的問題，對于此類含有兩個未知量的問題，我們能否根據題意設出兩個未知數，并列出方程解決問題呢？ 本節課我們將對該問題進行探究與學習． 【教學建議】 學生代表獨立回答，教師提示并總結，引出二元一次方程(組)的有關知識．
活動二：問題引入，自主探究 【設計意圖】 以實際問題為例，進行分析探究，引入二元一次方程(組)的概念． 探究點1　認識二元一次方程(組) 某種棉大戶租用6臺大、小兩種型號的采棉機，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉機1 h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉機1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么這個種棉大戶租用了大、小型采棉機各多少臺？ 問題1　問題中包含了哪些必須同時滿足的相等關系？ ①大型采棉機臺數＋小型采棉機臺數＝總臺數； ②大型采棉機1 h采摘面積＋小型采棉機1 h采摘面積＝1 h采摘總面積． 問題2　設這個種棉大戶租用了x臺大型采棉機，y臺小型采棉機，你能用方程把這些相等關系表示出來嗎？ 這兩個相等關系可以分別用方程x＋y＝6，2x＋y＝8表示． 問題3　上面的兩個方程有什么特點？它們與一元一次方程有什么不同？ 這兩個方程都含有兩個未知數，左邊都是整式，所含未知數的項的次數都是1. 與一元一次方程的不同點：比一元一次方程多一個次數為1的未知數，即有兩個未知數． 概念引入： 一個方程中含有兩個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫作二元一次方程． 上面的問題中包含兩個必須同時滿足的相等關系，也就是未知數x，y必須同時滿足方程x＋y＝6和2x＋y＝8.把這兩個方程合在一起，寫成 就組成了一個方程組． 【教學建議】 學生獨立思考并完成相應的問題，教師引導學生一起得出二元一次方程和二元一次方程組的概念．在識別二元一次方程(組)時，應提醒學生注意二元一次方程(組)的三個特征：①“二元”，即方程(組)中含有兩個未知數；②(方程組中的兩個)方程的兩邊都是整式；③“一次”，即方程(組)所含未知數的項的次數都是1.
概念引入： 一個方程組中含有兩個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組． 【對應訓練】 下列方程中，是二元一次方程的是（D） A.3x－2y＝4z B．6xy＋9＝0 C.＋4y＝6 D．4x＝ 2．下列方程組中，是二元一次方程組的是(A)
【設計意圖】 結合問題中未知數的實際意義，列舉出所有滿足方程的未知數的值，引入二元一次方程(組)的解的概念. 探究點2　二元一次方程(組)的解 下面我們繼續來探究上個探究點中的問題． 問題1　滿足方程x＋y＝6，且符合問題的實際意義的x，y的值有哪些？把它們填在表中． 結合問題的實際意義，采棉機臺數均為正整數． x12345y543212x＋y7891011
如果不考慮方程x＋y＝6與前面實際問題的聯系，那么x＝－1，y＝7；x＝0.1，y＝5.9；…也都是這個方程的解． 概念引入： 一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解． 問題2　一個一元一次方程有幾個解？一個二元一次方程呢？ 一個一元一次方程只有一個解，一個二元一次方程有無數對解． 問題3　結合在上表中填入的x，y的值，計算2x＋y的值并填在表中．上表中哪對x，y的值同時滿足方程2x＋y＝8. x＝2，y＝4同時滿足方程2x＋y＝8. x＝2，y＝4既滿足方程x＋y＝6，又滿足方程2x＋y＝8.也就是說，x＝2，y＝4是方程x＋y＝6與方程2x＋y＝8的公共解. 我們把x＝2，y＝4叫作二元一次方程組的解，這個解通常記作 概念引入： 一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫作二元一次方程組的解． 問題4　請聯系上面的問題，確認這個種棉大戶租用了多少臺大、小型采棉機． 這個種棉大戶租用了2臺大型采棉機，4臺小型采棉機． 【對應訓練】 1．教材P90習題10.1第1題． 2．若是關于x，y的方程kx－2y＝－2的一個解，則k的值為4. 【教學建議】 學生獨立思考并完成表格，教師引導學生得出二元一次方程(組)的解的概念，加深對該概念的理解． 二元一次方程組的解的特點： ①是一對數值，即 ②同時滿足方程組中的每一個方程．
活動三：重點突破，提升探究 【設計意圖】 以實際問題為例，讓學生獨立完成由實際問題建立方程模型，并結合實際意義求方程組的解的過程. 例　觀察小紅與小明的對話，列出二元一次方程組，并根據問題的實際意義，確定成人、兒童的人數． 解：設成人的人數為x，兒童的人數為y.根據題意，得 因為x，y均表示人數，所以x，y都是非負整數． 在方程①中，滿足條件的x，y的值有 x012345678y876543210
經驗證，也是方程②的解．則二元一次方程組的解是 答：他們去了5個成人，3個兒童． 【對應訓練】 教材P89練習． 【教學建議】 學生分小組討論解答．教師適時引導學生根據問題的實際意義確定未知數的取值．通常此類問題中未知數是非負整數(或正整數)，要具體問題具體分析．
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練． 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1．如何判斷一個方程(組)是不是二元一次方程(組) 2．如何判斷一對數值是不是二元一次方程(組)的解？ 【知識結構】 【作業布置】 1．教材P90習題10.1第2，3，4，5題． 2．相應課時訓練．
板書設計 10.1　二元一次方程組的概念 1．二元一次方程與二元一次方程組： 特點：①有兩個未知數；②含有未知數的式子都是整式；③含有未知數的項的次數都是1. 2．二元一次方程的解：有無數對． 3．二元一次方程組的解：兩個方程的公共解．
教學反思 本節課從實際問題入手，通過自主探究和合作交流，建立二元一次方程的數學模型，引出二元一次方程(組)及其解的概念，提煉出概念的特點，找出相關概念的區別與聯系，方便學生理解．
解題大招一　二元一次方程(組)的判別方法
二元一次方程必須滿足的條件：①含有兩個未知數；②含有未知數的式子都是整式；③含有未知數的項的次數都是1.
而對于二元一次方程組，組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數，例如 也都是二元一次方程組．
例1　已知下列方程，其中是二元一次方程的有①④⑤⑦(填序號)．
①2x－5＝y；②x－1＝4；③xy＝3；④x＋y＝6；⑤2x－4y＝7；⑥5x＋＝3；⑦x＋y＝1；⑧x2－8y＝0.
解析：①④⑤⑦滿足二元一次方程的概念；②是一元一次方程，方程中只含有一個未知數；③⑧中含有未知數的項的次數最高為2；⑥不是整式方程．
解題大招二　求二元一次方程的整數解的方法
1．(1)首先用一個未知數表示另一個未知數；
(2)給定x的一個值，求出y的一個對應值，就可以得到二元一次方程的一組解(也可給定y的一個值，再求出x)．
例2　寫出二元一次方程x＋3y＝14的一組整數解：(答案不唯一)．
解析：因為x＋3y＝14，所以x＝14－3y，當y＝0時，x＝14－3×0＝14，
所以二元一次方程x＋3y＝14的一組整數解可以是(答案不唯一)
2．二元一次方程組的解一般情況下是唯一的，但是有的方程組有無數多解或無解．
如：方程組有無數多解，方程組無解．
注意：二元一次方程組的解是一組數對，它同時滿足方程組中的每一個方程，一般寫成的形式．
培優點　二元一次方程的整數解的探究與應用
例　【閱讀理解】我們知道方程3x＋2y＝14有無數多解，但在實際問題中往往只需求出其正整數解．
例如：由3x＋2y＝14，得y＝＝7－x(x，y為正整數)．要使y＝7－x為正整數，則x為小于7的整數．
可知x為2的倍數，從而x可取2，4，分別代入y＝7－x，得y的值分別為4，1.
所以3x＋2y＝14的正整數解為和
【類比探究】請根據材料求出方程2x＋3y＝9的正整數解．
【拓展應用】學校需要給一個班52名學生安排宿舍，現有四人間和六人間兩種規格的宿舍，在不造成資源浪費的情況下，共有幾種分配方法？
解：【類比探究】根據例題方法，由2x＋3y＝9，得y＝3－x.要使y為正整數，則x為小于3的整數．可知x是3的倍數，從而x只能取3.易得該方程的正整數解為
【拓展應用】設分配四人間x間，六人間y間．根據題意，得4x＋6y＝52.整理得x＝13－y.同理可得y只能取0，2，4，6，8.
易得該方程的正整數解為
故在不造成資源浪費的情況下，共有五種分配方法：①1間四人間，8間六人間；②4間四人間，6間六人間；③7間四人間，4間六人間；④10間四人間，2間六人間；⑤13間四人間．

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