資源簡介

12.2.2　直方圖
教學(xué)目標(biāo)
課題 12.2.2　直方圖 授課人
素養(yǎng)目標(biāo) 1.能畫頻數(shù)分布直方圖，能利用頻數(shù)分布直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息． 2．通過小組合作與交流，經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集與處理的過程，學(xué)會分析數(shù)據(jù)的方法.
教學(xué)重點(diǎn) 畫頻數(shù)分布直方圖的步驟．
教學(xué)難點(diǎn) 畫頻數(shù)分布直方圖，從頻數(shù)分布直方圖中讀取正確的信息.
教學(xué)活動
教學(xué)步驟 師生活動
活動一：舊知回顧，導(dǎo)入新課 【設(shè)計意圖】 回顧前面學(xué)過的統(tǒng)計圖，引出新的統(tǒng)計圖. 【回顧導(dǎo)入】 在前面我們學(xué)習(xí)了哪幾種描述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖？它們各自的優(yōu)點(diǎn)是什么？ 前面學(xué)習(xí)的描述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖主要有條形圖、扇形圖、折線圖．其中，條形圖易于比較每組數(shù)據(jù)之間的差別，扇形圖易于顯示每組數(shù)據(jù)占總體的百分比，折線圖易于顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢． 今天我們要學(xué)習(xí)一種新的統(tǒng)計圖：直方圖． 【教學(xué)建議】 先給學(xué)生展示一幅直方圖，形成一定的直觀印象．
活動二：引入新知，探究學(xué)習(xí) 【設(shè)計意圖】 計算數(shù)據(jù)的變化范圍，適當(dāng)分組，做好繪制直方圖的前期準(zhǔn)備工作．引導(dǎo)學(xué)生整理數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確列出頻數(shù)分布表．學(xué)習(xí)頻數(shù)分布直方圖的繪制，感受它的特點(diǎn)，鞏固學(xué)生對頻數(shù)分布直方圖的掌握． 探究點(diǎn)　頻數(shù)分布直方圖 閱讀教材P165的問題1. (1)為了解決教材上的問題，選擇一個合適的身高范圍，我們要知道什么？ 要知道63名同學(xué)的身高分布情況． (2)你能用前面學(xué)過的統(tǒng)計圖解決這個問題嗎？ 不能．一共有63個數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)較多，直接用前面學(xué)過的統(tǒng)計圖來描述數(shù)據(jù)，難以看出數(shù)據(jù)分布的特征和規(guī)律． 為了更好地描述這些數(shù)據(jù)的分布情況，我們可以通過對這些數(shù)據(jù)適當(dāng)分組來進(jìn)行整理．今天要學(xué)習(xí)的直方圖，正是在此基礎(chǔ)上繪制的． 下面我們按步驟介紹直方圖的繪制過程． 步驟1：計算最大值與最小值的差 最大值－最小值＝172－149＝23，說明身高的變化范圍是23. 步驟2：決定組距和組數(shù) 分組時，每個小組的兩個端點(diǎn)間的距離(組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍)稱為組距．根據(jù)問題的需要，各組的組距可以相同或不同．在本問題中，我們作等距分組，即令各組的組距相同．如果從最小值起每隔3作為一組，那么由于＝＝7，所以要將數(shù)據(jù)分成8組：149≤x＜152，152≤x＜155，…，170≤x＜173，其中x表示身高值，這里組距和組數(shù)分別為3和8. 補(bǔ)充說明：組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，要憑借經(jīng)驗(yàn)和所研究的具體問題來決定．將一批數(shù)據(jù)分組，一般數(shù)據(jù)越多，分的組數(shù)也越多．當(dāng)數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5～12組． 步驟3：列頻數(shù)分布表 對落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行累計，得到各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫作頻數(shù)．整理可以得到后面的頻數(shù)分布表： (1)根據(jù)表格，你知道該從身高在哪個范圍的同學(xué)中挑選儀仗隊(duì)隊(duì)員嗎？ 從表中可以看出，身高在155≤x＜158，158≤x＜161，161≤x＜164三個組的人數(shù)最多，共有12＋19＋10＝41(人)．因此，可以從身高在155 cm至164 cm(不含164 cm)范圍的同學(xué)中挑選儀仗隊(duì)隊(duì)員. (2)上面對數(shù)據(jù)進(jìn)行分組時，組距取3，把數(shù)據(jù)分成8組．如果組距取2或4，那么數(shù)據(jù)分成幾個組？這樣能否選出需要的40名同學(xué)呢？ 組距取2時，分成12個組，能選出需要的40名同學(xué)；組距取4時，分成6個組，不能很好地選出需要的40名同學(xué). 步驟4：畫頻數(shù)分布直方圖 前面對63名同學(xué)的身高做了數(shù)據(jù)的整理，并且也列出了頻數(shù)分布表，為了更直觀形象地看出頻數(shù)分布的情況，可以根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)分布直方圖，如圖所示. 觀察頻數(shù)分布直方圖，圖中以什么來表示各組頻數(shù)的大小？ 頻數(shù)分布直方圖中，以小長方形的面積來表示各組頻數(shù)的大小．如圖，以155～158對應(yīng)的小長方形為例說明： 小長方形的面積＝底×高＝組距×＝頻數(shù). 等距分組時，各小長方形的面積(頻數(shù))與高的比是常數(shù)(組距)．因此，畫等距分組的頻數(shù)分布直方圖時，為畫圖與看圖方便，通常直接用小長方形的高表示頻數(shù)．前面的各組數(shù)據(jù)可按如圖的方式表示. 注意： 例1　閱讀教材P168例3，將下面的過程補(bǔ)充完整. (1)在樣本數(shù)據(jù)中，最大值是7.4，最小值是4.0，它們的差是3.4. (2)取組距為0.3，則組數(shù)為12. (3)列頻數(shù)分布表. 　(4)畫頻數(shù)分布直方圖. 從頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖可以看到，麥穗長度大部分落在5.2 cm至7.0 cm(不含7.0 cm)的范圍，落在其他范圍的較少．長度在5.8≤x＜6.1范圍的麥穗根數(shù)最多，有28根，而長度在4.0≤x＜4.3，4.3≤x＜4.6，4.6≤x＜4.9，7.0≤x＜7.3，7.3≤x＜7.6范圍的麥穗根數(shù)很少，總共只有7根．由此可以估計這種大麥穗長主要分布在5.2 cm至7.0 cm(不含7.0 cm)的范圍，其中穗長在5.8 cm至6.1 cm(不含6.1 cm)范圍的大麥最多. 【對應(yīng)訓(xùn)練】 1.一組數(shù)據(jù)有90個，其中最大值為141，最小值為40，取組距為10，則可以分成(C) A.9組　　　　B．10組　　　　C．11組　　　D．12組 某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了20根棉花纖維進(jìn)行測量，其長度x(單位：mm)的數(shù)據(jù)分布如下表所示，則棉花纖維長度在16≤x＜32這個范圍的占比為70%. 3.教材P170練習(xí)第1，2題. 【教學(xué)建議】 給學(xué)生說明，數(shù)據(jù)分組時，可以先確定組距，再根據(jù)組距確定組數(shù)；也可以先確定組數(shù)，再根據(jù)組數(shù)確定組距． 【教學(xué)建議】 數(shù)據(jù)分組時，對數(shù)據(jù)要遵循“不重不漏”的原則．“不重”是指一個數(shù)據(jù)只能分在其中的一個組，不能在其他組中重復(fù)出現(xiàn)；“不漏”是指在所分成的所有組別中，每個數(shù)據(jù)都能分在其中的某一組中，不能遺漏. 分組時，為了使數(shù)據(jù)“不重不漏”，統(tǒng)計中有不同的方法．教材中采用了“上限不在內(nèi)”的原則. 【教學(xué)建議】 不必過多涉及一般直方圖，重點(diǎn)介紹用長方形的高表示頻數(shù)的直方圖. 【教學(xué)建議】 給學(xué)生強(qiáng)調(diào)，頻數(shù)分布直方圖反映的是數(shù)據(jù)的分布狀況．另外，若抽樣合理，則可用樣本的分析結(jié)果估計總體的情況.
活動三：重點(diǎn)突破，提升探究 【設(shè)計意圖】 鞏固對直方圖的理解，學(xué)會根據(jù)直方圖作決策. 例2　某中學(xué)為了解該校1 200名學(xué)生在校午餐所需的時間，隨機(jī)抽查了50名學(xué)生在校吃午餐所花的時間，并繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖(其中A組：5＜x≤10；B組：10＜x≤15；C組：15＜x≤20；D組：20＜x≤25；E組：25＜x≤30，x(單位：min)為午餐時間)．根據(jù)頻數(shù)分布直方圖提供的信息解答下列問題： (1)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖． (2)估計該校1 200名學(xué)生午餐所花時間在B組的人數(shù)． (3)在既考慮學(xué)生午餐用時需求，又考慮食堂運(yùn)行效率的情況下，校方準(zhǔn)備在15 min，20 min，25 min，30 min中選擇一個作為午餐時間，你認(rèn)為應(yīng)選擇多少分鐘為宜？請說明理由． 解：(1)C組(15＜x≤20)的頻數(shù)為50－4－12－2－2＝30，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示． (2)B組(10＜x≤15)對應(yīng)的頻數(shù)為12，則1 200×＝288(名)． 故估計該校1 200名學(xué)生午餐所花時間在B組的人數(shù)為288. (3)選擇20 min.理由如下：樣本中有46人能在20 min內(nèi)完成用餐，占比92%.可以鼓勵20 min沒有完成用餐的同學(xué)適當(dāng)加快用餐速度，有利于食堂提高運(yùn)行效率． 【教學(xué)建議】 給學(xué)生介紹，從直方圖可以看出數(shù)據(jù)的整體分布情況，其中最集中的數(shù)據(jù)分布范圍，往往可以給調(diào)查者的決策起到參考作用．
活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié) 【隨堂訓(xùn)練】相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練． 【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題： 1．頻數(shù)分布直方圖的繪制要經(jīng)歷哪幾個步驟？組數(shù)和組距是怎樣確定的？ 2．頻數(shù)分布直方圖有什么特點(diǎn)，它的作用主要體現(xiàn)在哪里？ 【知識結(jié)構(gòu)】 【作業(yè)布置】 1．教材P174習(xí)題12.2第4，7，10題． 2．相應(yīng)課時訓(xùn)練．
板書設(shè)計 12.2.2　直方圖 1．計算最大值與最小值的差． 2．決定組距和組數(shù)． 3．列頻數(shù)分布表． 4．畫頻數(shù)分布直方圖． 5．讀取頻數(shù)分布直方圖中的信息，作出決策．
教學(xué)反思 合理地繪制出直方圖對學(xué)生來說存在一定難度，根據(jù)直方圖作決策對學(xué)生來說也是一個比較新穎的開放性問題，要讓學(xué)生通過實(shí)際案例提高分析和處理數(shù)據(jù)的能力，提升用直方圖描述數(shù)據(jù)的能力，并結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行分析決策，勇于表達(dá)自己的觀點(diǎn)．
解題大招　頻數(shù)分布直方圖中小長方形高的應(yīng)用
1．在等距分組的頻數(shù)分布直方圖中，各小長方形的面積(頻數(shù))與高的比是常數(shù)(組距)，可以此為突破口解決問題．
例1　對150個數(shù)據(jù)等距分組整理得到頻數(shù)分布直方圖，測得所有小長方形的高之和為33 cm，其中最高的小長方形的高為11 cm，則這個最高的小長方形對應(yīng)的頻數(shù)為50.
解析：因?yàn)榈染喾纸M，所以＝常數(shù)(組距)．設(shè)最高的小長方形對應(yīng)的頻數(shù)為a，則＝，所以a＝50.故答案為50.
2．在頻數(shù)分布表或頻數(shù)分布直方圖中，有時問題涉及的范圍不是某一個分組，而是幾個連續(xù)分組合并起來的范圍，解題時注意將各組的頻數(shù)(或百分比)加總再求解．
例2　某班50名學(xué)生身高(單位：cm)的頻數(shù)分布直方圖中(數(shù)據(jù)分為4組)，從左起第一(140≤x＜150)、二(150≤x＜160)、三(160≤x＜170)、四(170≤x＜180)個小長方形的高的比是1∶3∶5∶1，那么身高在150 cm以下的學(xué)生有5名，身高在160 cm及以上的學(xué)生占全班人數(shù)的60%.
解析：根據(jù)題意可知這批數(shù)據(jù)是等距分組，所以小長方形的高的比即為對應(yīng)頻數(shù)之比，那么身高在150 cm以下(即第一組)的學(xué)生有50×＝5(名)，身高在160 cm及以上(即第三組和第四組)的學(xué)生占全班人數(shù)的×100%＝60%.故答案為5，60.
培優(yōu)計劃　頻數(shù)分布直方圖的應(yīng)用
例　為創(chuàng)建文明校園，樹立新風(fēng)，某校開展了以“學(xué)習(xí)黨史，團(tuán)結(jié)力量”為主題的知識競賽，競賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計，按成績分成A，B，C，D，E五個等級，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合統(tǒng)計圖，解答下列問題：
(1)本次調(diào)查一共抽取了150名學(xué)生的成績，頻數(shù)分布直方圖中m＝15；
(2)補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖；
(3)若成績在80分及以上為優(yōu)秀，全校共有2 000名學(xué)生，估計全校成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)．
解：(1)解析：本次調(diào)查一共抽取的學(xué)生人數(shù)為30÷20%＝150；m＝150×10%＝15.故答案為150，15.
(2)C等級的學(xué)生人數(shù)為150－15－30－45－24＝36，補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖如圖所示．
學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖
答：估計全校成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為920.

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