資源簡介

第2課時　用不等式的性質解不等式
教學目標
課題 第2課時　用不等式的性質解不等式 授課人
素養目標 能運用不等式的性質解簡單的不等式，對比方程的解法，感知其內在聯系，體會其中滲透的類比思想. 會運用不等式的性質解決簡單的問題，強化運用能力，初步認識不等式的應用價值.
教學重點 用不等式的性質解簡單的不等式．
教學難點 用不等式的性質解決實際問題，在數軸上表示不等式的解集.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：溫故知新，新課導入 【設計意圖】 回顧之前所學，為進入正課做好知識儲備. 【復習引入】 問題1　上節課我們已經知道，解不等式需要依據不等式的性質，那么不等式有哪些性質呢？請回答． 　　問題2　請簡述解一元一次方程的本質． 解一元一次方程就是借助等式的性質，將方程逐步化為x＝m(m為常數)的形式． 類似于解一元一次方程，我們該如何解不等式呢？這就是我們將要探究的內容． 【教學建議】 教師提問，學生代表作答，先復習上節課學過的不等式的性質，再通過分析解方程的本質，類比啟發學生對解不等式進行探索，從而使學生在進入新課之前有思路，明確學習目標，將知識點更快地融合在一起．
活動二：交流合作，探究新知 【設計意圖】 類比解方程的方法引導學生利用不等式的性質解簡單的不等式，引入符號“≤”“≥”，為后面學習一元一次不等式的解法做鋪墊． 探究點1　用不等式的性質解不等式 通過活動一我們知道，與解方程類似，解不等式的本質就是將不等式逐步化為x＞m或x＜m(m為常數)的形式． 例1　(教材P126例3)利用不等式的性質解下列不等式： (1)x－7＞26；　　(2)3x＜2x＋1；　　(3)x＞50；　　(4)－4x＞3. 解：(1)根據不等式的性質1，不等式兩邊加7，不等號的方向不變，所以x－7＋7＞26＋7，x＞33. (2)根據不等式的性質1，不等式兩邊減2x，不等號的方向不變，所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1. (3)根據不等式的性質2，不等式兩邊乘，不等號的方向不變，所以×x＞×50，x＞75. (4)根據不等式的性質3，不等式兩邊除以－4，不等號的方向改變，所以＜，x＜－. 問題1　我們還可以在數軸上直觀地表示不等式的解集，請你在數軸上表示例1中不等式的解集. 序號解集在數軸上的表示(1)x＞33(2)x<1(3)x＞75(4)x<－
概念引入： 除了含有＜，＞，≠的不等式，像a≥b或a≤b這樣的式子，也經常用來表示兩個數量的大小關系，它們也是不等式．例如，x≥3表示x＞3或x＝3，即x可以取3和大于3的所有值．符號“≥”讀作“大于或等于”，也可以說是“不小于”；符號“≤”讀作“小于或等于”，也可以說是“不大于”. 問題2　符號“≥”與“＞”的含義有什么區別呢？“≤”與“＜”呢？ x≥a表示x＞a或x＝a，即x可以取a和大于a的所有值，而x＞a表示x只能取大于a的所有值，于是“≥”比“＞”多了一個等于的含義；“≤”與“＜”同理. a≥b或a≤b形式的不等式，具有與前面所說的不等式的性質類似的性質，即：如果a≥b，那么a±c≥b±c；如果a≥b，c>0，那么ac≥bc(或≥)；如果a≥b，c<0，那么ac≤bc(或≤). 【對應訓練】 教材P128練習第1，2題. 【教學建議】 提醒學生：①初學解不等式時與解方程類似，每一步之前要寫上變形的依據，有利于加深記憶；②有時需要多次運用性質才能求得結果，此時尤其注意每一步變形都要看清符號；③在數軸上表示解集時注意方向，不要出錯． 【教學建議】 教師引導學生自主思考，培養學生主動參與、合作交流的意識，提高學生的觀察、分析、概括和抽象能力，并注意強調“≤”“≥”與“＜”“＞”在意義上的區別，以及用“≤”“≥”連接的不等式也具有其他性質，如上節課學到的對稱性、傳遞性．
【設計意圖】 引入實際問題，通過問答的形式逐步解決，培養學生實際應用的能力，同時引入含“≥”或“≤”的解集在數軸上的表示方法. 探究點2　用不等式的性質解決實際問題 生活中也有很多不等關系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示．如圖所示的高速公路的限速標志，表示在此道路上行駛的汽車的最低車速應為80 km/h，最高車速應為100 km/h.如果用v(單位：km/h)表示汽車的速度，則v應滿足：v≥80且v≤100，或表示為80≤v≤100. 問題　如果汽車所行駛道路的最高限速是120 km/h，那么車速x應滿足什么條件？ 車速x應滿足0≤x≤120. 例2　(教材P127例4)如圖，一個長方體形狀的魚缸長10 dm，寬3.5 dm，高7 dm.若魚缸內已有水的高度為1 dm，現準備向魚缸內繼續注水．用V(單位：dm3)表示新注入水的體積，寫出V的取值范圍并在數軸上表示． 問題1　本題中的不等關系是什么？ 已有水的體積與新注入水的體積之和不能超過魚缸的容積． 問題2　新注入水的體積V可以是負數嗎？ 不能． 問題3　請根據以上條件寫出V的取值范圍． 因為“已有水的體積＋新注入水的體積V≤魚缸的容積”， 所以10×3.5×1＋V≤10×3.5×7，解得V≤210. 又由于新注入水的體積V不能是負數， 所以V的取值范圍是0≤V≤210. 問題4　怎樣將V的取值范圍在數軸上表示出來？試一試． 在數軸上表示V的取值范圍如圖所示． 問題5　用數軸表示不等式的解集時，實心圓點和空心圓圈有什么區別？不等式的解集中含“≥”“≤”時在數軸上如何表示？ 實心圓點表示取值范圍內包含這個數，而空心圓圈則表示不包含這個數． 不等式的解集中含“≥”“≤”時在數軸上的表示如下(a>0)： 【對應訓練】 1.教材P128練習第3題. 2.用炸藥爆破時，如果導火索燃燒的速度是0.8 cm/s，人跑開的速度是4 m/s，為了讓點導火索的人在爆破時能夠跑到100 m以外(不含100 m)的安全區域，這個導火索的長度應大于多少厘米？請將解集在數軸上表示出來. 解：設導火索的長度是x cm.根據題意，得×4＞100，解得x＞20. 故導火索的長度應大于20 cm. 在數軸上表示x的取值范圍如圖所示. 【教學建議】 此類實際問題容易引起學生關注，激發他們參與學習的熱情．教學中應讓學生體會到生活中蘊含著數學知識，反過來數學知識又幫助我們解決生活中的許多實際問題，從而感受到知識的應用價值．注意提醒學生：在數軸上表示解集時注意方向，并根據結果確定是選用空心圓圈還是實心圓點，強調“≥”“≤”與“＞”“＜”在數軸表示上的區別．
活動三：難點突破，提升探究 【設計意圖】 強化學生根據題意列不等式，并能根據不等式的性質求未知數的取值范圍的能力. 例3　若不等式2x＜4的解都能使關于x的不等式3x＜a＋5成立，求a的取值范圍． 解：對于不等式2x＜4，根據不等式的性質2，不等式兩邊除以2，不等號的方向不變，所以<，x＜2. 對于不等式3x＜a＋5，根據不等式的性質2，不等式兩邊除以3，不等號的方向不變，所以<，x＜. 根據題意，得≥2.根據不等式的性質2，不等式兩邊乘3，不等號的方向不變，所以×3≥2×3，a＋5≥6.根據不等式的性質1，不等式兩邊減5，不等號的方向不變，所以a＋5－5≥6－5，a≥1.所以a的取值范圍是a≥1. 【對應訓練】 二元一次方程組的解滿足不等式ax＞4－y，求a的取值范圍． 解：解方程組得把代人不等式ax＞4－y，得2a＞4－2，即2a＞2.根據不等式的性質2，不等式兩邊除以2，不等號的方向不變，所以>，a＞1.所以a的取值范圍是a＞1. 【教學建議】 學生先自行探索解決，教師匯總后集中講解．最后提醒學生解決此類型題目的關鍵在于題目的解讀，挖掘出隱含的不等關系，列出不等式后再利用不等式的性質解決問題．
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練. 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 你能用不等式的性質解簡單的不等式嗎？能解決一些簡單的實際問題嗎？ 【知識結構】 【作業布置】 1.教材P128習題11.1第5，8，9，10，11題. 2.相應課時訓練．
板書設計 第2課時　用不等式的性質解不等式 1.用不等式的性質解簡單的不等式：將不等式逐步化為x＞m或x＜m(m為常數)的形式. 2.“≥”“≤”的意義．
教學反思 　　本節課是在學生學習了不等式的性質，知道不等式的性質是解不等式的重要依據的基礎上，利用不等式的性質將其變形，從而解不等式，鞏固學生對不等式性質的理解，體會不等式的性質在解不等式中的運用．教學中對不等式的解集先用式子表示，再用數軸表示，既能加深學生對不等式的解集及解不等式的理解，也為學生后面學習不等式組時用數軸確定其解集做好充分準備.
解題大招　用不等式的性質解簡單的不等式
利用不等式的性質解不等式時，可能會多次利用性質對不等式進行變形才可得到結果，這一過程中一定注意符號不要出錯．
例　利用不等式的性質解下列不等式，并在數軸上表示解集：
(1)－3x＋1＞4；　　　　(2)x＋2<1.
解：(1)根據不等式的性質1，不等式兩邊減1，不等號的方向不變，所以－3x＋1－1＞4－1，－3x＞3.
根據不等式的性質3，不等式兩邊除以－3，不等號的方向改變，所以＜，x＜－1.
不等式的解集x＜－1在數軸上的表示如圖①所示．
　　　
(2)根據不等式的性質1，不等式兩邊減2，不等號的方向不變，所以x＋2－2<1－2，x<－1.
根據不等式的性質2，不等式兩邊乘，不等號的方向不變，所以x×<－1×，x<－.
不等式的解集x<－在數軸上的表示如圖②所示．
培優點　用不等式的性質解決實際問題
不等關系在生活中的直接體現就是天平，天平的傾斜表示左右兩邊托盤中物體質量的不等關系，下落的一邊質量大，翹起的一邊質量小；天平平衡則表示左右兩邊托盤中物體的質量相等．
例　設“□”“△”“○”分別表示三種不同的物體，現用天平稱兩次，發現其結果如圖所示，如果“○”的質量為50 g，請用不等式分別表示“□”和“△”的質量范圍．
解：設“□”的質量為x g，“△”的質量為y g．根據題意，得2x＞50＋x，所以x＞50；50＋y＜50＋50，所以y＜50.

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