資源簡介

11.1.2　不等式的性質
第1課時　不等式的性質
教學目標
課題 第1課時　不等式的性質 授課人
素養目標 1.通過類比、猜測、驗證發現不等式的性質，并掌握不等式的性質． 2．初步體會不等式與等式的異同．
教學重點 理解并掌握不等式的性質．
教學難點 探究不等式的性質的過程.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：舊知回顧，復習導入 【設計意圖】 因為不等式與等式一樣，都是對大小關系的刻畫，所以類比等式的性質研究不等式的性質，啟發學生對不等式的性質進行初步思考. 【復習引入】 對于某些簡單的不等式，可以直接得出它們的解集，例如不等式x＋4＞10的解集是x＞6，不等式2x＜6的解集是x＜3.但是對于比較復雜的不等式，例如－2＞，直接得出它的解集就比較困難．因此，還要討論怎樣解不等式． 與解方程需要依據等式的性質一樣，解不等式需要依據不等式的性質． 回想一下，等式有哪些性質？分別用文字語言和符號語言表示出來． 等式的性質文字語言符號語言性質1等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，結果仍相等如果a＝b，那么a±c＝b±c性質2等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么＝
　等式有上述性質，那不等式是否也應該同樣具備類似的性質呢？ 【教學建議】 通過引導學生回顧舊知，為下一步類比學習不等式的性質做好鋪墊和準備，并使學生明確本節課的學習目標，自然而然地進入新知識的學習．教師也可讓學生類比等式的性質，在進入正課之前猜想不等式有哪些性質．
活動二：問題引入，探究新知 【設計意圖】 引導學生通過類比、歸納的數學思想總結出不等式的性質，培養學生的邏輯思維能力和分析總結能力． 　探究點 不等式的性質 (1類比等式的性質l,我們來看看下列問題:a.用“>”或“<”完成下列兩組填空: 第一組:5>3,5＋2>3＋2,5十0_>3十0,5＋(—2)>3十(一2);第二組:一1<3,一1+4<3十4,—1＋0 <3＋0，—1十(一7)<3十( —7). b.觀察不等號的方向,你發現了什么規律 換一些其他的數,這個規律仍然成立嗎 不等式兩邊加同一個數,不等號的方向不變.仍然成立. c.這個規律對于不等式兩邊減去同一個數的情形仍然成立嗎 為什么 仍然成立.由于減法可以轉化為加法,因而這個規律對于不等式兩邊減去同一個數的情形仍然成立. d.請你類比等式的性質1歸納出不等式的性質1. 不等式的性質1:不等式兩邊加(或減)同一個數(或式子),不等號的方向不變.如果a>b ,那么a士c>b士c . e.我們也可以從實際角度解釋不等式的性質1.如今年老師的年齡為a歲,學生的年齡為b歲(a>b),5年前老師的年齡為_(a—5)歲,學生的年齡為_(b一5)歲,不等關系表示為_a一5>b一5_;10年后老師的年齡為_(a+10)歲，學生的年齡為_(b＋10)歲,不等關系表示為_a＋10>b＋10 . 　(2)類比等式的性質2，我們來看看下列問題： a.用“＞”或“＜”完成下列兩組填空： 第一組：6＞2，6×5＞2×5，6×(－5)＜2×(－5)； 第二組：－2＜3，－2×4＜3×4，－2×(－0.5)＞3×(－0.5). b.觀察不等號的方向，你發現了什么規律？換一些其他的數，這個規律仍然成立嗎？ 不等式兩邊乘同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘同一個負數，不等號的方向改變．仍然成立. c.這個規律對于不等式兩邊除以同一個不為0的數的情形仍然成立嗎？為什么？ 仍然成立．由于除以一個不為0的數等于乘這個數的倒數，并且這個數的倒數和它的符號相同，因而這個規律對于不等式兩邊除以同一個不為0的數的情形仍然成立. d.請你類比等式的性質2歸納出不等式的性質2和性質3. 不等式的性質2：不等式兩邊乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變. 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或＞). 不等式的性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變. 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或＜). (3)比較不等式的性質2和性質3，指出它們有什么區別．再比較不等式的性質和等式的性質，它們有什么異同？ 不等式的性質2和性質3的區別是在不等式兩邊乘(或除以)的數一個是正數，一個是負數，性質2中不等號的方向不變，性質3中不等號的方向改變．不等式的性質有三條，它們表明了不等式兩邊進行同樣的加(減)、乘(除)運算時，大小關系有時不變，有時改變；等式的性質有兩條，它們表明了等式兩邊進行同樣的加(減)、乘(除)運算時，相等關系不變．對于乘法運算，不等式的性質要分乘數的正、負分別論述，兩者的結果不同. 例1　(教材P125例2)已知a>b，比較下列兩個式子的大小，并說明依據. (1)a＋3與b＋3；　　　　　　(2)－2a與－2b. 解：(1)因為a>b，所以a＋3>b＋3(不等式的性質1). (2)因為a>b，所以－2a＜－2b(不等式的性質3). 【對應訓練】 1.教材P125練習第1，2題. 2.根據不等式的性質，下列變形正確的是（B） A.由a＞b得ac2＞bc2　　B．由ac2＞bc2得a＞b C.由－a＞2得a＜2 D．由2x＋1＞x得x＜－1 【教學建議】 教師引導學生通過類比思想進行遷移，使學生經過計算、觀察、分析、猜想、驗證等過程，體會不等式的性質的結論形成的推理過程，并通過創設生活中的實際情境解釋不等式的性質1，再加上與等式的性質比較，加深學生的理解和記憶． 【教學建議】 教師提問不等式兩邊乘0，結果是怎樣的，學生發現兩邊都為0，而0不可以作除數，所以在歸納不等式的性質2，3時，是需要排除0的情況的，另外，教學中還應強調： (1)在運用不等式的性質對不等式進行變形時，兩邊要“同時”進行“相同”的變形，且要注意符號的方向是否需要改變. (2)不等式還具備其他性質，比如：①對稱性；②傳遞性，這里不進行深入探討，具體見解題大招.
活動三：逆向思維，強化記憶 【設計意圖】 對不等式的性質進行逆向考查，求參數的值，使學生在練習中鞏固本節課所學. 例2　如果關于x的不等式(m＋1)x>3的解集為x＜，求m的取值范圍． 解：由題意，可得m＋1＜0. 由不等式的性質1，可得m＋1－1＜0－1， 所以m＜－1. 【對應訓練】 [題組訓練]已知a>b. (1)若a＋x>b＋x，則x的取值范圍為全體實數； (2)若axbx2，則x的取值范圍為x≠0； (4)若＞，則x的取值范圍為全體實數. 【教學建議】 學生分組交流，自主完成本題，啟發學生的逆向思維：變形前后不等號的方向不變，說明兩邊乘(或除以)的數是正數；變形前后不等號的方向改變，說明兩邊乘(或除以)的數是負數．
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練. 【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題： 1.不等式的性質有幾條？各是什么？ 2.你能利用不等式的性質對不等式進行變形嗎？ 【知識結構】 【作業布置】 1.教材P128習題11.1第4，7題. 2.相應課時訓練．
板書設計 第1課時　不等式的性質 不等式的性質：
教學反思 　　本節課通過類比等式的性質，結合生活中的實例組織學生探索，得到不等式的三個性質，并利用不等式的性質對不等式進行簡單變形得出一些結論．在這一過程中需要充分調動學生的積極性，讓所有學生都參與其中，采取自主探索、合作交流、深入研討、步步為營的措施，為學生營造一個自主學習、主動發展的廣闊空間，使學生快樂地成為學習的主人.
解題大招一　不等式的其他性質
不等式還具備其他性質，與等式類似，如以下兩個基本事實：
基本事實 文字語言 符號語言
不等式的對稱性 交換不等式兩邊，不等號的方向改變 如果a>b，那么b＜a. 例如，由5>x，可得x＜5
不等式的傳遞性 不等關系可以傳遞 如果a>b，b>c，那么a>c. 例如，由y>x，x>－3，可得y>－3
這些不等式的性質，在解題時可直接運用．
解題大招二　利用不等式的性質比較整式的大小
利用不等式的性質比較兩個整式的大小的關鍵點：
(1)找出兩個整式的相同部分和不同部分；
(2)確定不同部分的大小關系．
例1　已知a＞b，則下列不等式成立的是（C）
A．a－5＜b－5　　　　　B．2－3a＞2－3b　　　　　
C.＞　　　　　 D．a＋m＜b＋m
解析：
序號 理由 結論
A 因為a>b，所以由不等式的性質1，可得a－5>b－5 不成立
B 因為a>b，所以由不等式的性質3，可得－3a＜－3b；又由不等式的性質1，可得2－3a＜2－3b 不成立
C 因為a>b，所以由不等式的性質2，可得> 成立
D 因為a>b，所以由不等式的性質1，可得a＋m>b＋m 不成立
解題大招三　不等式的性質與數軸的綜合
解決此類題目的關鍵是先根據數軸判斷出字母的正負性及它們之間的大小關系，再根據不等式的性質進行轉化，從而得到結論．
例2　實數a，b，c在數軸上的對應點如圖所示，則下列式子中正確的是（C）
A．－a－c＞－b－c　　　　　B．ac＞bc
C．|a－b|＝a－b D．a＜－b＜－c
解析：由數軸知a＞b，那么－a＜－b，－a－c＜－b－c，故選項A錯誤，不符合題意；由數軸知a＞b，c＜0，那么ac＜bc，故選項B錯誤，不符合題意；由數軸知a＞b，那么a－b＞0，所以|a－b|＝a－b，故選項C正確，符合題意；由數軸知|a|＞|b|，|a|＞|c|，a＞0，c＜b＜0，那么a＞－c＞－b，故選項D錯誤，不符合題意．故選C.
培優點　“求差法”比較整式的大小
例　根據等式和不等式的性質，我們可以得到比較兩數大小的方法：
(1)①如果a－b＜0，那么a＜b；
②如果a－b＝0，那么a＝b；
③如果a－b＞0，那么a＞b.
(2)(1)中這種比較大小的方法稱為“求差法”，請運用這種方法嘗試解決下面的問題：
①比較4＋3a2－2b＋b2與3a2－2b＋1的大?。?br/>②若2a＋2b－1＞3a＋b，比較a，b的大?。?br/>解：①因為4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝4＋3a2－2b＋b2－3a2＋2b－1＝b2＋3＞0，
所以4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
②因為2a＋2b－1＞3a＋b，所以2a＋2b－3a－b＞1，即b－a＞1.
因為1＞0，所以b－a＞0.所以a＜b.

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