資源簡(jiǎn)介

7.3 定義、命題、定理
教學(xué)目標(biāo)
課題 7.3 定義、命題、定理 授課人
素養(yǎng)目標(biāo) 1.了解定義、命題的概念及命題的構(gòu)成.2.知道什么是真命題和假命題，并會(huì)判斷命題的真假.3.理解什么是定理和證明，了解證明的意義.4.了解綜合法證明的格式和步驟，通過一些簡(jiǎn)單命題的證明，初步訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力.5.通過舉反例判定一個(gè)命題是假命題，使學(xué)生學(xué)會(huì)反面思考問題的方法.
教學(xué)重點(diǎn) 證明的步驟和格式.
教學(xué)難點(diǎn) 理解定義、命題，分清命題的題設(shè)和結(jié)論，正確對(duì)照命題畫出圖形，寫出已知、求證.
教學(xué)活動(dòng)
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，新課導(dǎo)入 【情境導(dǎo)入】我們?nèi)粘Ｖv話中，有些話是對(duì)某件事情作出判斷的，有些話是對(duì)事物進(jìn)行描述的，如：（1）鄱陽湖是中國最大的淡水湖.（判斷）（2）今天的天氣很好.（描述）（3）浪費(fèi)是可恥的.（判斷）（4）春天到了，花兒開了.（描述）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同樣有判斷和描述這兩類語言，如：（5）畫線段AB=3cm.（描述）（6）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).（判斷）今天我們將對(duì)這類或判斷或描述的句子進(jìn)行學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)中文字語言的魅力. 【教學(xué)建議】教師可引導(dǎo)學(xué)生分析兩種句子在構(gòu)成上的區(qū)別，找出能夠確認(rèn)句子類型的關(guān)鍵字.
設(shè)計(jì)意圖
通過對(duì)常見句子的分類，為進(jìn)入本課的學(xué)習(xí)做鋪墊.
活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，自主探究 探究點(diǎn)1 定義與命題問題1 觀察下列語句，回答問題.①規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫作數(shù)軸；②使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解；③從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫作這個(gè)角的平分線；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫作點(diǎn)到直線的距離.（1）它們有什么共同點(diǎn)？它們都對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行了清晰、準(zhǔn)確的描述. 【教學(xué)建議】學(xué)生分組討論，總結(jié)出命題的結(jié)構(gòu).教師在教學(xué)中可對(duì)命題解釋如下：①必須是一個(gè)完整的句子，而且是陳述句，疑問句和祈使句都
設(shè)計(jì)意圖
通過實(shí)例讓學(xué)生了解定義、命題以及命題的構(gòu)成，通過
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
分析語句找出命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷命題是否正確. 概念引入：這樣的描述稱為數(shù)學(xué)對(duì)象的定義.一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義揭示了它的本質(zhì)特征，能夠幫助我們準(zhǔn)確地理解它，并作出準(zhǔn)確的判斷.（2）你能根據(jù)某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義來作出某種判斷嗎？請(qǐng)舉例說明.根據(jù)方程的解的定義，可以判斷x=1.5是方程2x=3的解（答案不唯一）.問題2 觀察下列可以判斷正確與否的陳述語句，回答問題.①等式兩邊加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍相等；②對(duì)頂角相等；③如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；④兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；⑤如果一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它也能被4整除.（1）哪些判斷是正確的？哪些是錯(cuò)的？①②③④都是正確的，⑤是錯(cuò)誤的.概念引入：像這樣可以判斷為正確（或真）或錯(cuò)誤（或假）的陳述語句，叫作命題.被判斷為正確（或真）的命題叫作真命題，被判斷為錯(cuò)誤（或假）的命題叫作假命題.（2）比較①③④⑤，它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)和內(nèi)容上有什么共同點(diǎn)？都是分為前后兩個(gè)部分，前半部分是條件，后半部分是由條件得出的結(jié)論.命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).數(shù)學(xué)中的命常可以寫成“如果……那么……”的形式，這時(shí)“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論.（3）請(qǐng)指出①②③④⑤中的題設(shè)和結(jié)論，并把其中不是“如果……那么……”形式的改寫成“如果……那么……”的形式.序號(hào)題設(shè)結(jié)論改寫①等式兩邊加同一個(gè)數(shù)結(jié)果仍相等如果等式兩邊加同一個(gè)數(shù)，那么結(jié)果仍相等②兩個(gè)角是對(duì)頂角這兩個(gè)角相等如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等③兩條直線都與第三條直線平行這兩條直線也互相平行④兩條平行直線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ)如果兩條平行直線被第三條直線所截，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)⑤一個(gè)數(shù)能被2整除這個(gè)數(shù)也能被4整除 不是命題；②必須對(duì)某一件事作出肯定或否定的判斷.【教學(xué)建議】教師提醒學(xué)生：有些命題的題設(shè)和結(jié)論不明顯，要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，改寫的時(shí)候需要將其條件補(bǔ)充完整.【教學(xué)建議】學(xué)生獨(dú)立思考完成前幾問，師生共同分析完成最后一問.對(duì)于真假命題的區(qū)別，教師可結(jié)合具體實(shí)例對(duì)照說明：真命題是無一例外，都是正確的；
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
（4）我們?cè)冢?）中已經(jīng)知道哪些判斷是正確的，哪些是錯(cuò)誤的，你是如何判斷真假的呢？按照題設(shè)條件，去觀察結(jié)論是否成立，能成立則為真，否則為假. 歸納總結(jié)：由題設(shè)和結(jié)論組成的命題，如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題就是正確的，即真命題；如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題就是錯(cuò)誤的，即假命題.判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1.教材P23練習(xí)第1，2，3題.2.教材P24練習(xí)第2題. 而假命題就不能保證總是正確的，只要舉出反例就可以判斷一個(gè)命題是假命題.
設(shè)計(jì)意圖 探究點(diǎn)2 定理與證明在前面，我們學(xué)過的一些圖形的性質(zhì)，它們都是真命題.其中有些命題是基本事實(shí)，如“兩點(diǎn)確定一條直線”“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”等.還有一些命題，如“對(duì)頂角相等”“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，它們的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣的真命題叫作定理.定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).問題 根據(jù)定理的概念，同學(xué)們能說出我們學(xué)過的定理有哪些嗎？平行線的判定定理、性質(zhì)定理等.（教師可適當(dāng)補(bǔ)充）概念引入：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫作證明.例1 我們以證明命題“在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”為例，來說明什么是證明.（1）這個(gè)命題是真命題還是假命題？解：真命題.（2）請(qǐng)將這個(gè)命題所敘述的內(nèi)容用圖形表示出來. 解：如圖.（3）寫出這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論，并用幾何語言表述.解：題設(shè)：在同一平面內(nèi)，一條直線垂直于兩條平行線中的一條.結(jié)論：這條直線也垂直于兩條平行線中的另一條.幾何語言：如圖，在同一平面內(nèi)，如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c.（4）下面已經(jīng)給出了該命題的已知和求證，請(qǐng)利用已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、基本事實(shí)證明這個(gè)結(jié)論.已知：如圖，直線a⊥b，b∥c，求證a⊥c.證明：∵a⊥b(已知)，∴∠1=90°(垂直的定義). 【教學(xué)建議】教師結(jié)合所學(xué)知識(shí)，歸納出定理的概念，學(xué)生回顧學(xué)過的定理，加深對(duì)概念的理解.定理不僅揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性,還可以將它作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù).
引入定理和證明的概念，并展示如何證明一個(gè)命題為真命題.
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
∵b∥c(已知)，∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等).∴∠2=90°(等量代換).∴a⊥c(垂直的定義).由此，我們歸納出幾何證明的一般步驟：①根據(jù)題意畫出圖形；②根據(jù)命題的題設(shè)和結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；③通過分析，找出證明的方法，寫出證明過程.注意：證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、基本事實(shí)、定理等.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1.教材P24練習(xí)第1題.2.如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，CE平分∠ACD，AB∥CE，求證∠A=∠B.證明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠ACE=∠DCE（角平分線的定義）.∵AB∥CE（已知），∴∠A=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠B=∠DCE（兩直線平行，同位角相等）.∴∠A=∠B（等量代換）. 【教學(xué)建議】在證明幾何命題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①明確命題的題設(shè)和結(jié)論；②依據(jù)與過程要對(duì)應(yīng)，不能張冠李戴；③證明過程應(yīng)符合邏輯順序，禁止用未學(xué)過的定理進(jìn)行證明.
活動(dòng)三：重點(diǎn)突破,提升探究 例2 如圖，現(xiàn)有以下三個(gè)條件：①AB∥CD；②∠B=∠D；③∠E=∠F.請(qǐng)以其中兩個(gè)為題設(shè)，第三個(gè)為結(jié)論構(gòu)造新的命題.（1）請(qǐng)寫出所有的命題；（寫成“如果……那么……”的形式）（2）請(qǐng)選擇其中的一個(gè)真命題進(jìn)行證明.解：（1）命題1：如果AB∥CD，∠B=∠D,那么∠E=∠F；命題2：如果AB∥CD,∠E=∠F，那么∠B=∠D;命題3：如果∠B=∠D，∠E=∠F,那么AB∥CD.（2）選擇命題1.（答案不唯一）證明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠DCF（兩直線平行，同位角相等）. ∵∠B=∠D（已知），∴∠D=∠DCF（等量代換）.∴DE∥BF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.∴∠E=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. 【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，直線AB，CD被直線AE所截，直線AM，EN被直線MN所截.有以下三個(gè)條件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM=∠CEN.請(qǐng)以其中兩個(gè)作為題設(shè)，第三個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)造命題. 【教學(xué)建議】學(xué)生分組討論完成，教師統(tǒng)一答案.對(duì)于此類問題，開放性比較強(qiáng)，所以答案一般不唯一，可用列舉法窮舉出所有的命題，判斷這些命題的真假，選擇合適的真命題并按照要求嚴(yán)格證明.
設(shè)計(jì)意圖
探索條件開放性問題的證明.
教學(xué)步驟 師生活動(dòng)
（1）請(qǐng)按照“如果……那么……”的形式，寫出所有的命題；（2）在（1）所寫的命題中選擇一個(gè)加以證明.解：（1）命題1：如果AB∥CD，AM∥EN，那么∠BAM=∠CEN.命題2：如果AB∥CD，∠BAM=∠CEN，那么AM∥EN.命題3：如果AM∥EN，∠BAM=∠CEN，那么AB∥CD.（2）以命題1為例.（答案不唯一）證明：∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵AM∥EN（已知），∴∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵∠1+∠3+∠BAM=180°,∠2+∠4+∠CEN=180°(平角的定義)，∴∠BAM=180°-∠1-∠3,∠CEN=180°-∠2-∠4（等式的性質(zhì)），∴∠BAM=∠CEN.
活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié) 【隨堂訓(xùn)練】相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.什么是定義？什么是命題？請(qǐng)舉例說明,并結(jié)合例子說明命題的構(gòu)成.2.什么是真命題？什么是假命題？3.什么是定理？你學(xué)過哪些定理？談?wù)勀銓?duì)證明的理解.【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P24習(xí)題7.3第1，2，3，4題.2.相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練.
板書設(shè)計(jì) 7.3定義、命題、定理1.定義與命題.2.命題的構(gòu)成：如果……（題設(shè)）那么……（結(jié)論）.3.真命題與假命題.4.定理與證明.
教學(xué)反思 本節(jié)課通過命題、證明的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受到要說明一個(gè)命題成立，應(yīng)當(dāng)證明；要說明一個(gè)命題是假命題，可以舉反例.同時(shí)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，初步養(yǎng)成言之有理、落筆有據(jù)的推理習(xí)慣，形成初步的演繹推理能力.
解題大招 命題的相關(guān)概念的考查
1.對(duì)命題的判斷：結(jié)合命題、真命題、假命題的定義判斷.
例1 下列句子是命題的是（ D ）
A．畫∠AOB=45° B．小于直角的角是銳角嗎？
C．連接CD D．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形
例2 下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ A ）
①相等的角是對(duì)頂角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果x2=y2，那么x=y.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①相等的角不一定是對(duì)頂角，假命題；②同位角不一定相等，假命題；③等角的余角相等，真命題；④如果x2=y2，那么x=±y，假命題.故選A.
2.對(duì)命題進(jìn)行改寫：找到命題的題設(shè)與結(jié)論，然后把命題改寫成“如果……那么……”的形式.
例3 把命題“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”寫成“如果……那么……”的形式為 如果兩個(gè)銳角是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，那么這兩個(gè)角互余 .
培優(yōu)點(diǎn) 命題與證明的開放性問題
例1 如圖，點(diǎn)D在AB上，直線DG交AF于點(diǎn)E.請(qǐng)從①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA中任選兩個(gè)作為題設(shè)，余下一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并予以證明.
題設(shè)： ①② ，結(jié)論： ③ .（均填寫序號(hào)）
證明：∵DG∥AC，∴∠DEA=∠EAC.
∵AF平分∠BAC，∴∠DAE=∠EAC.∴∠DAE=∠DEA.（答案不唯一）
例2 已知：三條不同的直線a，b，c在同一平面內(nèi)：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b.請(qǐng)你用①②③④所給出的其中兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，再選一個(gè)事項(xiàng)作為結(jié)論（寫成“如果……那么……”的形式）.
（1）寫出一個(gè)真命題，并證明它的正確性；
（2）寫出一個(gè)假命題，并舉出反例.
解：（1）如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
證明：如圖，∵a⊥c，b⊥c，∴∠1=90°，∠2=90°.
∴∠1=∠2.∴a∥b.
（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b.
反例：如圖，a⊥c，b⊥c，但a∥b，a與b不垂直.
羅氏幾何的產(chǎn)生
《原本》（也叫作《幾何原本》）是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得創(chuàng)作的一部數(shù)學(xué)著作，成書于公元前300年左右.歐幾里得在這本書中用公理法對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了系統(tǒng)化、理論化的總結(jié)，使得《原本》成為用公理法建立演繹的數(shù)學(xué)體系的最早典范.
《原本》共有13卷，其中：第1卷共有23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)、5個(gè)公理和48個(gè)命題.長(zhǎng)期以來，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，而且也不那么顯而易見.有些數(shù)學(xué)家還注意到23個(gè)定義中的最后一個(gè)是平行線的定義，而第五公設(shè)直到第29個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒有使用.為此，數(shù)學(xué)家們針對(duì)“平行線理論”經(jīng)歷了長(zhǎng)達(dá)兩千多年的討論.
直到1826年，俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)發(fā)表了《幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要》，勇敢地拋棄了第五公設(shè)，提出了完全相反的公設(shè)：過一點(diǎn)至少可以有兩條直線與已知直線平行.后來人們把這個(gè)公設(shè)叫作“羅氏公理”.由羅氏公理很容易推出以下結(jié)論：過一條直線外一點(diǎn)可以引無數(shù)條直線與已知直線平行.由于尚未找到羅氏幾何在現(xiàn)實(shí)世界的原型和類比物，羅巴切夫斯基的理論遭到了大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的反對(duì).直到1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米找到了一種曲面（人們稱之為“偽球面”），羅巴切夫斯基的理論才開始逐漸被人們所接受.在“偽球面”上，三角形三個(gè)內(nèi)角的和小于180°.

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