資源簡介

7.1.2 兩條直線垂直
教學目標
課題 7.1.2兩條直線垂直 授課人
素養目標 1.了解垂直、垂線的概念，掌握垂線的基本事實“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線.2.掌握垂線的性質“垂線段最短”，掌握點到直線的距離的概念，會度量點到直線的距離.
教學重點 掌握垂直中角度和位置的雙重含義；理解垂線的基本事實并會利用所學知識進行簡單的推理；理解“垂線段最短”，并能運用于生活實際.
教學難點 過直線上（外）一點作已知直線的垂線，對點到直線的距離的理解.
教學活動
教學步驟 師生活動
活動一：回顧舊知，新課導入 【回顧導入】在前面我們學習了兩條直線相交形成的四個角，這四個角形成了4對鄰補角和2對對頂角.大家還記得鄰補角和對頂角的定義嗎？如果兩條直線相交形成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線有怎樣的特殊關系？下面的圖片是日常生活中存在這種關系的一些實例.今天我們就來研究這個問題. 【教學建議】教師帶領學生回顧相交線的知識，以所成角的特殊情況引入對垂直的探究.
設計意圖
回顧相交線所成的角，以生活實例引入垂直的概念.
活動二：問題引入，自主探究 探究點1 認識垂線和垂直問題 在相交線的模型中，固定木條a，轉動木條b.當b的位置變化時，a，b所成的∠α也會發生變化.在b轉動的過程中，當∠α=90°時，木條a與b所形成的其他三個角的度數是多少？其他三個角的度數都是90°.概念引入：一般地，當兩條直線a,b相交所成的四個角中，有一個角是直角時，我們說a與b互相垂直，記作“a⊥b”.兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足. 【教學建議】學生動手探究兩條直線垂直所形成的四個角之間的關系，“互相垂直”是指兩條直線的位置關系；“垂線”是指其中一條直線對另一條直線的命名.如果兩條直線“互相
設計意圖
通過對相交線模型的探究，引入垂線的相關知識.
教學步驟 師生活動
由上可知，如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角等于90°，那么這兩條直線互相垂直.如圖，如果直線AB，CD相交于點O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.這個推理過程可寫成什么形式？因為∠AOD=90°，所以AB⊥CD. 反過來，如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？寫出這個推理過程.因為AB⊥CD，所以∠AOD=90°.這說明垂直的定義具有雙重含義.請找出“活動一”圖片中互相垂直的直線.學生自行回答即可.【對應訓練】1.教材P6練習第1題.2.如圖，OA⊥OB，若∠1=40°，則∠2的度數是（ C ）A.40° B.45° C.50° D.55 垂直”，那么其中一條直線必定是另一條直線的“垂線”；如果一條直線是另一條直線的“垂線”，那么它們必定“互相垂直”.
設計意圖 探究點2 垂線的基本事實(垂線的性質1)問題 如圖，現有一條已知直線l，用三角尺或量角器分別過直線上一點A和直線外一點B，畫l的垂線，這樣的垂線你能畫出幾條？通過實際操作，我們得出：經過直線上一點能畫 1 條直線與已知直線垂直；經過直線外一點能畫 1 條直線與已知直線垂直.歸納總結：將上述結論合并在一起，我們得到關于垂線的基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.例1 （教材P5例2）如圖，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線.解：如圖所示. 【對應訓練】1.下列說法正確的有 （ B ）①在同一平面內，過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知 【教學建議】學生獨立思考并動手操作，教師總結常規畫法.畫垂線的方法多種多樣，對于學生使用的其他正確的方法，教師應予以肯定與鼓勵.畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線，垂足可以在線段（射線）上，也可以在線段的延長線（射線的反向延長線）上.
通過回顧垂線的畫法，引入對垂線性質的探究.
教學步驟 師生活動
直線垂直；③在同一平面內，過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線；④在同一平面內，有且只有一條直線與已知直線垂直.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.教材P6練習第2題.
設計意圖 探究點3 垂線的性質2——垂線段最短如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖渠能使渠道最短？對于這個問題，我們可以將其簡化為求點P到直線l的最短路線.對此，我們進行如下探究：如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，垂足為O.A是直線l上除點O外一點，連接PA.測量并比較線段PO與PA的長度，你能得到什么結論？改變點A的位置呢？PO的長度小于PA的長度.改變點A的位置后，測量各線段的長度，比較得出：線段PO的長度最短，即當點P與直線l上的點的連線與直線l垂直時，點P到直線l的距離最短.也就是過點P作直線l的垂線，點P與垂足之間的線段即為最短路線.歸納總結：如果我們規定，當PO⊥直線l時，線段PO為點P到直線l的垂線段，即可得出如下結論（垂線的性質2）：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.問題1 我們學習了垂線段，認識了垂線，這兩種圖形有什么區別與聯系？垂線段是一條線段，而垂線是一條直線；垂線段是垂線上的一部分.問題2 以前我們學習過兩點之間的距離，大家還記得怎樣才能得到兩點之間的距離嗎？測量連接兩個點的線段的長度.問題3 類比兩點之間的距離，一個點到一條直線的距離又該如何確定？確定點到直線的距離，應該測量點到直線的垂線段的長度.概念引入：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.【對應訓練】1.現在，你知道本探究點中如何挖渠能使渠道最短嗎？解：應從點P處向河岸作垂線，這樣得到的垂線段即為最短的渠道.2.教材P6練習第3題. 【教學建議】教師先引導學生將實際問題抽象成幾何圖形，然后通過圖形探究垂線的性質，得出結論，最后可讓學生舉例說明“垂線段最短”在日常生活中的應用.教師也可以利用幾何畫板構圖，在直線l上拖動點A，改變點A的位置，探究PO與PA的長度關系，讓學生有更直觀地感受.對于“點到直線的距離”應強調說明：距離指的是長度，是一個數量，而垂線段是圖形，兩者不能混淆.
以實際生活問題為例，引出垂線段及點到直線的距離的概念并探究其性質.
教學步驟 師生活動
活動三：重點突破，提升探究 例2 如圖，直線AB,CD相交于點O，MO⊥AB于點O.(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度數;(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC與∠MOD的度數. 解：(1)因為MO⊥AB,所以∠AOM=90°.所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°.所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.(2)由已知條件∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°.由鄰補角的定義，得∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.【對應訓練】如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOD，FO⊥AB于點O.（1）若∠COF=50°，求∠COE的度數；（2）若∠DOE=2∠BOD，求∠COF的度數. 解：（1）因為FO⊥AB，所以∠AOF=90°.因為∠COF=50°，所以∠AOC=∠AOF-∠COF=90°-50°=40°.由鄰補角的定義，得∠AOD=180°-∠AOC=180°-40°=140°.因為OE平分∠AOD，所以∠AOE=∠AOD=×140°=70°.所以∠COE=∠AOE+∠AOC=70°+40°=110°.（2）因為OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE.又∠DOE=2∠BOD，所以∠AOD=4∠BOD.因為∠AOD+∠BOD=180°，所以4∠BOD+∠BOD=180°，所以∠BOD=36°.由對頂角相等，得∠AOC=∠BOD=36°，所以∠COF=∠AOF-∠AOC=90°-36°=54°. 【教學建議】學生獨立思考作答，教師統一答案.教師應提醒學生注意：垂直和直線夾角成90°是相互對應的關系，但兩者存在一定的區別，垂直是兩條直線的位置關系，90°是角的度數.
設計意圖
利用垂直的定義，結合鄰補角、對頂角等知識解決角度問題.
活動四：隨堂訓練，課堂總結 【隨堂訓練】相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.什么是垂線？如何用三角尺或量角器過一點畫已知直線、射線、線段的垂線？垂線的基本事實是什么？2.“垂線段最短”和點到直線的距離的含義是什么？垂線段和垂線之間有哪些區別和聯系？
教學步驟 師生活動
【知識結構】【作業布置】1.教材P8習題7.1第2，3，4，6，8題.2.相應課時訓練.
板書設計 7.1.2 兩條直線垂直1.垂直及垂線的相關概念.2.垂線的畫法：①靠；②過；③畫.3.垂線的基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.4.垂線的性質2——垂線段最短.5.點到直線的距離：垂線段的長度.
教學反思 本節課主要研究兩條直線相交時的特殊情況——垂直，可類比前面兩條直線相交時的一般情況學習新知識.之后復習垂線的畫法來探究過一點畫已知直線的垂線的情況，通過實際動手操作，體會垂線的存在性和唯一性.最后通過“挖渠”這一實際問題的解決過程，逐步探究得出“垂線段最短”這一性質，并明確點到直線的距離這一概念，滲透了“數學源于生活，又服務于生活”的理念.其中，應加深學生對于“垂線段最短”這一性質的理解，為后面學習三角形的高做好鋪墊.
解題大招一 利用垂直或垂線相關的概念或性質解題
1.由垂直形成的角是直角（90°）結合對頂角或鄰補角的性質解題
例1 如圖，直線AB，CD相交于點O，過點O作OE⊥AB，且OD平分∠BOE，則∠AOD的度數是（ D ）
A.120° B.125°
C.130° D.135°
解析：因為OE⊥AB，所以∠BOE=90°.因為OD平分∠BOE，所以∠BOD=∠BOE=45°.由鄰補角的定義，得∠AOD=180°-∠BOD=180°-45°=135°.故選D.
例2 如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB于點O.若∠DOE:∠BOE=1:3，則∠AOC的度數為60°.
解析：因為EO⊥AB，所以∠BOE=90°.因為∠DOE∶∠BOE=1:3，所以∠DOE=30°.所以∠BOD=∠BOE-∠DOE=90°-30°=60°.由對頂角相等，得∠AOC=∠BOD=60°.
2.垂線的性質的應用
例3 如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點共線），其理由是（ C ）
A?兩點確定一條直線
B?在同一平面內，過兩點有且只有一條直線與已知直線垂直
C?在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D?兩點之間，線段最短
3.點到直線的距離的判斷
點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段.它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形.
例4 已知P為直線l外一點，A，B，C為直線l上三點，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，則點P到直線l的距離不可能是（ D ）
A.1.5cm B.1.9cm C.2cm D.4cm
解析：2＜4＜5，由垂線段最短可知，當PC⊥l時點P到直線l的距離為2cm，當PC與l不垂直時點P到直線l的距離小于2cm，因此點P到直線l的距離小于或等于2cm.故選D.
解題大招二 “垂線段最短”的實際應用
生活中往往會遇到“垂線段最短”問題，解題時正確理解這一性質是關鍵.垂線段最短指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短，它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言的.
例5 如圖①，平原上有A，B，C，D四個村莊，為解決當地缺水問題，政府準備投資修建一個蓄水池.
（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H的位置，使它到四個村莊距離之和最小；
（2）計劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短？請說明依據.
解：（1）如圖②，因為“兩點之間，線段最短”，所以連接AD，BC交于點H，則點H為蓄水池的位置，它到四個村莊的距離之和最小.
（2）如圖②，過點H作HG⊥EF，垂足為G，沿線段GH開渠最短，依據是“垂線段最短”.
培優點 解決與垂直相關的稍復雜幾何圖形問題
例1 如圖，直線EF，CD相交于點O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度數；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度數（用含α的式子表示）.
解：（1）由鄰補角的定義，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-40°=140°.
因為OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=70°.
由對頂角相等，得∠DOE=∠COF=70°.
因為OA⊥OB，所以∠AOB=90°，所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-40°=50°.
所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=70°-50°=20°.
（2）由鄰補角的定義，得∠AOF=180°-∠AOE=180°-α.
因為OC平分∠AOF，所以∠COF=∠AOF=90°-α.
由對頂角相等，得∠DOE=∠COF=90°-α.
而∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α，所以∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°-α-(90°-α)= α.
例2 如圖，OA⊥OB，引射線OC（點C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD.
（1）若∠BOC=40°，請依題意補全圖形，并求∠BOE的度數；
（2）若∠BOC=α（0°＜α＜90°），請直接寫出∠BOE的度數（用含α的式子表示）.
解：（1）補全圖形如圖所示.
因為OA⊥OB，所以∠AOB=90°.
因為OD平分∠BOC，∠BOC=40°，所以∠COD=∠BOD=∠BOC=×40°=20°.
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+20°=110°.
因為OE平分∠AOD，所以∠DOE=∠AOD=×110°=55°.
所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=55°-20°=35°.
（2）∠BOE=45°-α.
解析:同（1）可得∠COD=∠BOD=α，∠AOD=α+90°，∠DOE=∠AOD=α+45°，則∠BOE=∠DOE-∠BOD=α+45°-α=45°-α.

展開更多......

收起↑