資源簡介

初中數(shù)學(xué)幾何解題方法歸納
一、基本解題思路方法
1.正向推導(dǎo)法
從題目的已知條件出發(fā)，根據(jù)我們學(xué)過的概念、定理等，直接進(jìn)行推理與判斷，會得出一個新的結(jié)論，然后用這個新的結(jié)論，去印證題目要求的結(jié)果或者結(jié)論。如果不符，再將新的結(jié)論和題目已知條件相結(jié)合，又會得出一個新的結(jié)論。這樣一直繼續(xù)下去，直到得出的最新結(jié)論就是我們想要的結(jié)論為止.
正向推導(dǎo)法即從已知條件，步步為營，最終推導(dǎo)題目所求結(jié)果的邏輯思維方法.
2.逆向分析法
從題目要求的結(jié)論出發(fā)，列出這個結(jié)論成立所需的條件，然后將這些條件和題目所給條件進(jìn)行對比，如果都不是結(jié)論所需，我們就將剛找到的那些條件作為新的結(jié)論，去尋找新結(jié)論成立所需的其他條件，一直這樣下去，直到找出的最新條件和題目的已知條件相符為止。逆向分析法即從結(jié)論出發(fā)，反向而行，環(huán)環(huán)緊扣，最終推到已知條件的邏輯思維方法.
3.綜合法
中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
綜合法是對題目的綜合正向推導(dǎo)和逆向分析同步并舉，兩面齊湊的思維方法。在較復(fù)雜題目中，往往需要進(jìn)行綜合分析.我們用實(shí)例進(jìn)行說明.
典例精析
【典型題1】★★★如圖,AD 是△ABC 的中線，求證：
【思路分析】我們用逆向分析法分析這道題.
結(jié)論要證明 根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，該不等式兩邊同時乘以2，
即要證明 2AD+2BD>AB +AC.∵此題中AD是△ABC的中線,∴易得BD=DC.
∴我們可以將上述結(jié)論，轉(zhuǎn)化為要證明：AD+AD+BD+DC>AB+AC.
在△ABD和△ADC中，由三角形的三邊關(guān)系定理可得:AD+BD>AB,AD+DC>AC.
到此，本題思路分析完成，同學(xué)們可自行寫出證明過程，鼓勵同學(xué)們嘗試其他思路進(jìn)行分析.
【典型題2】★★★ 如圖,P為△ABC 內(nèi)任一點(diǎn)，求證：
【思路分析】我們用和正向推導(dǎo)和逆向分析結(jié)合的綜合法分析這道題.
逆向分析：結(jié)論要證明 (AB+BC+AC),
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，該不等式兩邊同時乘以2,即要證明2PA+2PB+2PC >AB +BC+AC.
正向推導(dǎo)：由題目隱含的已知條件易得：
我們將上面三式的左右
各自相加,可得:2PA +2PB +2PC >AB +BC+AC.
注：僅第二步得出的這個不等式兩邊同時除以2，可直接得出所證結(jié)論，這就是完整的正向推導(dǎo)法.這里為演示綜合法，才進(jìn)行逆向分析.上述分析過程第一步和第二步順序可改變.
正向推導(dǎo)和逆向分析的結(jié)論順利匯合，綜合法分析到此為止.同學(xué)們可自行寫出證明過程，鼓勵同學(xué)們嘗試其他思路進(jìn)行分析.
【規(guī)律總結(jié)】
(1)三角形的三邊關(guān)系定理，在這類線段和差相關(guān)題目中廣泛應(yīng)用.
(2)更重要的是，我們有了在題目中尋求等量關(guān)系的意識(例1中BD=DC)，由此自然而然的，運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的重要思想之——轉(zhuǎn)化思想.在證明線段和(或差)的不等式時，總是把各有關(guān)線段“等量代換”在一個或幾個三角形中，然后利用三角形三邊關(guān)系定理來解決.
(3)在探索證(解)題途徑的過程中，當(dāng)停滯不前時，一旦能找到等量可代，總是使審題發(fā)生轉(zhuǎn)折性的變化，從而大大前進(jìn)一步，稱為“等量代換”這是具有普遍性的規(guī)則，它是探索較復(fù)雜命題的證(解)題途徑的一個非常重要的不可缺少的有力工具和手段，希望同學(xué)們要特別注意掌握和靈活應(yīng)用.
二、輔助線的應(yīng)用
為了證(解)題的需要，在原圖上所添畫的線叫輔助線.在平面幾何里的輔助線通常要畫成虛線.它的作用是：把題中分散的條件集中起來，把隱含的條件顯現(xiàn)出來，以便于為應(yīng)用公理、定理或等量轉(zhuǎn)化等創(chuàng)造必要的條件.這樣輔助線便起了一個牽線搭橋的作用.
常見三角形問題添加輔助線的方法：
(1)含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題.
(2)結(jié)論是兩線段相等的題目，常作輔助線構(gòu)造全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的相關(guān)定理.
(3)結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段.
(4)中點(diǎn)、中位線及其延長線，平行線.如遇條件中有中點(diǎn)、中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個定理或構(gòu)造全等的目的。
(5)垂線、分角線、翻轉(zhuǎn)全等線.如遇條件中有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，分開并借助其他條件，旋轉(zhuǎn)180°，得到全等形，這時輔助線的作法就會應(yīng)運(yùn)而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線.
(6)邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn).如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的作法仍會應(yīng)運(yùn)而生.其對稱中心，因題而異，有時沒有中心.故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種.
(7)造角、平、相似，和、差、積、商見.如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān).在構(gòu)造兩個三角形相似時，一般有兩種方法：①構(gòu)造一個輔助角等于已知角；②把三角形中的某一線段進(jìn)行平移.故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見.”
(8)面積找底高，多邊變?nèi)?如遇求面積(在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積)，往往作底或高的輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵.如遇多邊形，想辦法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立.
另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的作法，即“割補(bǔ)”法有兩百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?
(9)找全等三角形的方法：
1)可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段(或角)分別在哪兩個可能全等的三角形中.
2)可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等.
3)從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等.
4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

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