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廣東省深圳市福田區深圳市高級中學2023-2024學年八年級上學期期末數學試題
1．（2024八上·福田期末）實數的相反數是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知識點】相反數的意義與性質
【解析】【解答】解：實數的相反數是．
故選：B．
【分析】 根據相反數的定義，互為相反數的兩個數和為 0，或者一個數的相反數就是在這個數前面加上 “-” 號（0 除外），本題直接對取相反數即可.
2．（2024八上·福田期末）的值為（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知識點】開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
故選：B．
【分析】 根據立方根的定義，；
3．（2024八上·福田期末）已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】不等式的性質
4．（2024八上·福田期末）下列命題中真命題是（　　）
A．三內角之比為的三角形是直角三角形
B．三角形的外角等于兩個內角的和
C．若有意義，則
D．
【答案】A
【知識點】無理數的估值；二次根式有意義的條件；三角形的外角性質；真命題與假命題
【解析】【解答】解：A．三內角之比為的三角形中最大內角為，即三角形是直角三角形，A符合題意；
B．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，故選項錯誤，B不符合題意；
C．若有意義，則，則不一定成立，故選項錯誤，C不符合題意；
D． ，3.87<4，所以， 所以 D不符合題意．
故選：A．
【分析】對于三角形內角問題，可通過設未知數結合內角和定理求解；對于三角形外角，直接利用其性質判斷；對于二次根式有意義的問題，根據被開方數的取值范圍分析；對于數的大小比較，可通過估算等方法進行；
5．（2024八上·福田期末）學校籃球場上初三（1）班5名同學正在比賽，將場上五名隊員的身高繪制成如圖所示的統計圖，其中“△”是換人前五名隊員的身高，“●”是換人后五名隊員的身高，與換人前相比，換人后場上隊員的身高(　　)
A．平均數不變，方差變小 B．平均數不變，方差變大
C．平均數變大，方差變小 D．平均數變大，方差變大
【答案】B
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：換人前平均身高為：，
換人后平均身高為：，
換人前的方差為：
，
換人前的方差為：
，
∵，，
∴平均數不變，方差變大，故B正確．
故選：B．
【分析】根據公式分別計算換人前后的平均數和方差，然后進行比較，一般地設n個數據，，，…的平均數為，則方差，分別求出換人前后的平均數和方差進行比較．
6．（2024八上·福田期末）《九章算術》是古代中國第一部自成體系的數學專著，其中《卷第八方程》記載：“今有甲乙二人持錢不知其數，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文是：今有甲、乙兩人持錢不知道各有多少，甲若得到乙所有錢的 ，則甲有50錢，乙若得到甲所有錢的 ，則乙也有50錢.問甲、乙各持錢多少？設甲持錢數為x錢，乙持錢數為y錢，列出關于x、y的二元一次方程組是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】二元一次方程組的應用-古代數學問題
【解析】【解答】解：設甲、乙的持錢數分別為x，y，
根據題意可得： ，
故答案為：B.
【分析】設甲、乙的持錢數分別為x，y，根據甲若得到乙所有錢的 ，則甲有50錢，乙若得到甲所有錢的 ，則乙也有50錢，分別列出方程，聯立求解即可.
7．（2024八上·福田期末）某條公共汽車線路收支差額與乘客量的函數關系如圖所示（收支差額車票收入支出費 用），由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議(Ⅰ)不改變支出費用，提高車票價格；建議(Ⅱ)不改變車票價格，減少支出費用.下面給出的四個圖形中，實線和虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則下列說法正確的是：
A．①反映了建議（Ⅱ），③反映了建議（Ⅰ）
B．②反映了建議（Ⅰ)，④反映了建議（Ⅱ）
C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）
D．②反映了建議（Ⅱ），④反映了建議（Ⅰ）
【答案】C
【知識點】一次函數的圖象；一次函數圖象、性質與系數的關系；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】∵建議（Ⅰ）是不改變支出費用，提高車票價格；也就是也就是圖形增大傾斜度，提高價格，∴③反映了建議（Ⅰ），
∵建議（Ⅱ）是不改變車票價格，減少支出費用，也就是y增大，車票價格不變，即平行于原圖象，
∴①反映了建議（Ⅱ）．
故選C．
【分析】首先要理解收支差額y與載客量x的函數關系：y=車票收入-支出費用，其中車票收入與單價和載客量有關(車票收入=單價×載客量)；建議(Ⅰ)提高車票價格，在函數圖象上體現為斜率增大(因為單價提高)，而支出費用不變體現為截距不變；建議(Ⅱ)減少支出費用，在函數圖象上體現為截距變小，而車票價格不變體現為斜率不變.
8．（2024八上·福田期末）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點，分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點，畫射線，交于點，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的判定與性質；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作法得平分，
∴
設
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故選：C．
【分析】主要考查了等腰三角形的性質、角平分線的性質和三角形內角和定理；首先根據等腰三角形的性質設出角的度數，然后利用角平分線的性質和等腰三角形的性質找出角之間的關系，最后通過列方程求解；
9．（2024八上·福田期末）如圖，直線交x軸于點A，交y軸于點B，C為線段（端點除外）上一動點，點D與點C關于x軸對稱，過點C作x軸的平行線交的延長線于點F，則線段的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】勾股定理；一次函數圖象與坐標軸交點問題；動點問題的函數圖象
【解析】【解答】解：如圖所示，連接交x軸于點G，作軸，交x軸于點E．
根據題意可知，．
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
當時，最小，即最小．
當時，；當時，，
∴點，點，
∴，，
根據勾股定理，得．
∴，
即，
解得，
則，
∴線段的最小值是．
故選：B．
【分析】這道題主要考查了一次函數與坐標軸的交點、全等三角形的判定和性質、勾股定理以及三角形面積公式的應用；首先求出直線y=2x+4與x軸、y軸的交點A、B的坐標；根據題意得出CG=DG=EF，CO=DO，證明，得到DO=FO，從而得出DF=2DO=2CO；因為當CO⊥AB時，CO最小，此時DF最小；通過求出A、B坐標，利用勾股定理求出AB的長度，再根據三角形面積公式求出CO的長度，進而得到DF的最小值；
10．（2024八上·福田期末）如圖，四邊形中，，且，若，則（　　）
A．6 B．9 C．12 D．16
【答案】D
【知識點】三角形的面積；勾股定理
【解析】【解答】解：記交于點，如圖所示：
，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
．
故選：D．
【分析】這道題主要考查了勾股定理和三角形面積公式的應用；依據勾股定理，在直角三角形ABO和BCO中，得出AB2-AO2=BO2和BC2-CO2=BO2，所以得到AB2-AO2=BC2-CO2；已知AB=8，且AC=BC=BD，得出CO=AC-AO=BD-AO，進而得出BD·AO=32；最后根據三角形面積公式，代入得出.
11．（2024八上·福田期末）點關于軸對稱的點坐標為　 　．
【答案】
【知識點】坐標與圖形變化﹣對稱
【解析】【解答】解：點坐標為
點關于軸對稱的點坐標為
故答案為：．
【分析】這道題主要考查了關于軸對稱的點的坐標變化規律； 因為關于x軸對稱的點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的相反數，所以直接將-2變為2，橫坐標3不變.
12．（2024八上·福田期末）某市為方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖1 是某共享單車放在水平地面上的實物圖，其示意圖如圖2所示，都與地面l平行，與平行．已知，則　 　 ．
【答案】
【知識點】平行線的判定與性質；三角形內角和定理
【解析】【解答】解：∵與平行
∴
∵
∴
∵都與地面l平行
∴
∴
故答案為：．
【分析】這道題主要考查平行線的性質；通過兩直線平行，內錯角相等得出∠ACB = 72°，再算出∠ACD = 130°，又因 AB∥CD，根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠BAC = 50°.
13．（2024八上·福田期末）如圖，已知函數和圖象交于點P，點P的縱坐標為，則關于x、y的方程組的解是　 　．
【答案】
【知識點】一次函數與二元一次方程（組）的關系
【解析】【解答】解：把代入
解得
函數和的圖象交于點
即，同時滿足兩個一次函數的解析式
所以關于，的方程組的解是
故答案為：．
【分析】本題考查了一次函數與二元一次方程組的關系，已知點P的縱坐標為1.5，且點P在函數y=-x+1上，根據代入計算可得x=-0.5，則兩個一次函數的交點； 而關于x、y的方程組的解就是交點坐標，所以可得.
14．（2024八上·福田期末）如圖，直線：與坐標軸交于A、B兩點，點D為第一象限內一點，連接且軸，過點且平行于x軸的直線l交于點C，交于點F，連接，，將沿著直線翻折，得到，點E正好落在直線l上，若，則的長為　 　．
【答案】5
【知識點】平行線的性質；三角形的面積；勾股定理；軸對稱的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：連接，如圖所示：
由題意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案為：
【分析】本題考查了翻折的性質以及勾股定理的應用，通過面積公式求出 CE 的長度，利用勾股定理求出 AD 的長度，進而得出 CD 的長度，再根據直角三角形 CDF 中的勾股定理列出關于 EF 的方程求解.
15．（2024八上·福田期末）如圖，在中，，，D為邊上一點，，垂足為E，F在上，且，若，，則的長為　 　．
【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如圖，過點作，交延長線于點，
∵，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識；過點B作BG⊥AF，交AF延長線于點G；先根據垂直關系和角度關系得出∠BAG=∠CBE，進而證明，由全等三角形性質可得BG=CE，AG=BE；再結合等腰三角形兩腰相等的性質得出FG=BG，利用勾股定理算出BF，最后通過線段的加減運算得出EF的長度.
16．（2024八上·福田期末）計算：．
【答案】【解答】解：原式
【知識點】二次根式的乘除法；二次根式的混合運算；冪的乘方運算；化簡含絕對值有理數
【解析】【分析】分別對式子中的每一項進行計算，利用二次根式乘法法則，根據負數奇次冪為負，根據絕對值性質計算，最后將結果相加減.
17．（2024八上·福田期末）（1）解方程組：．
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：
由，得
由，得
把代入①得，解得
∴原方程組的解是
（2）解：
去分母得：
去括號得：
移項得：
合并同類項得：
化系數為1得：
原不等式的解集為
【知識點】解一元一次不等式；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】（1）通過消元法來求解；先從一個方程中用含一個未知數的式子表示另一個未知數，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個未知數的值，再將求得的值代回求出另一個未知數的值；
（2）通過通分去掉分母，再進行去括號、移項、合并同類項等操作，最后求出不等式的解集.
18．（2024八上·福田期末）“感受數學魅力，提升數學素養”，某校在其舉辦的數學文化節上開展了趣味數學知識競賽，現從七年級和八年級參與競賽的學生中各隨機抽取10名同學的成績進行整理、描述和分析（單位：分，滿分100分，90分及90分以上為優秀），將學生競賽成績分為A，B，C三個等級：
A：，B：，C：．下面給出了部分信息：
七年級10名學生的競賽成績為：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年級10名學生的競賽成績在B等級中的數據為：81，82，84，88，88．
兩組數據的平均數、中位數、眾數如下表所示：
學生 平均數 中位數 眾數
七年級 86 85 b
八年級 86 a 88
抽取的八年級學生競賽成績扇形統計圖：
根據以上信息，解答下列問題：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）根據以上數據，你認為在此次知識競賽中，哪個年級的成績更好？請說明理由（一條理由即可）；
（3）若八年級共有500名學生參賽，估計八年級參賽學生中成績為優秀的人數．
【答案】（1）86；84；30%
（2）解：八年級的成績更好，因為兩個年級的平均數相同，但八年級的中位數和眾數均高于七年級，所以八年級的成績更好.
（3）（名）
答：估計八年級參賽學生中成績為優秀的人數約150名．
【知識點】平均數及其計算；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）由題意知八年級10名學生的競賽成績中，A等級有（名），C等級有（名），處于中間的兩個成績是84和88，故； 七年級10名學生的競賽成績中，眾數；八年級10名學生的競賽成績中，等級C有3名，．
故答案為：，，．
【分析】（1）將數據從小到大排序后，中間位置的數就是中位數，對于八年級數據排序后中間數是84；對于眾數，出現次數最多的數就是眾數，七年級中84出現次數最多；根據扇形圖中B等級的比例求出人數，進而確定m的值；
（2）通過比較平均數、眾數等統計量來分析兩個年級的成績情況；
（3）先算出抽取樣本中優秀人數的比例，再用總人數乘以該比例得到估計的優秀人數．
19．（2024八上·福田期末）刻漏是人類最早制造的不完全依賴天象、相對獨立運行的計時儀器．刻漏以水等液體（也有少數例外，如水銀或沙等）為工作物質，根據流水的量與流逝時間的對應關系，通過漏壺中的水量變化來度量時間的．我國使用刻漏的時間非常早，最早可追溯到中國歷史上第一個王朝—夏朝（大約公元前2070年），約在漢武帝時期發明了浮箭漏．如圖所示為單級浮箭漏示意圖．某興趣小組仿制了一套浮箭漏，并從函數角度進行了如下實驗探究：
【實驗觀察】實驗小組通過觀察，每1小時記錄一次箭尺讀數，得到如表：
供水時間x（小時） 0 1 2 3 4
箭尺讀數y（厘米） 6 12 18 24 30
【探索發現】
（1）在所給的平面直角坐標系中，描出以供水時間x為橫坐標，箭尺讀數y為縱坐標的各點．
（2）觀察上述各點的分布規律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對應的函數表達式，如果不在同一條直線上，說明理由．
【結論應用】應用上述發現的規律估算：
（3）供水時間達到10小時時，箭尺的讀數為多少厘米？
（4）如果本次實驗記錄的開始時間是上午，那當箭尺讀數為96厘米時是幾點鐘？（箭尺最大讀數為100厘米）
【答案】解：（1）根據題意，畫出圖形，如圖
（2）觀察上述各點的分布規律，得它們在同一條直線上
設這條直線所對應的函數表達式為
根據題意得：
解得：
∴這條直線所對應的函數表達式為
（3）當時，
∴供水時間達到10小時時，箭尺的讀數為66厘米
（4）當時，，解得：
∴供水時間為15小時
∵本次實驗記錄的開始時間是上午，
∴當箭尺讀數為96厘米時是．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象、性質與系數的關系；一次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）依據表格中的供水時間和箭尺讀數數據，在平面直角坐標系中準確找到對應的坐標點進行描點操作即可；
（2）利用直線函數的一般形式，通過選取兩個已知點代入方程來確定k和b的值，進而得到函數表達式，并據此判斷這些點是否在同一直線上；
（3）把供水時間值代入已求得的函數表達式中，計算出對應的箭尺讀數；
（4）把將給定的箭尺讀數代入函數表達式，反求出對應的供水時間，再結合初始時間計算出具體時刻．
20．（2024八上·福田期末）我校舉辦藝術節活動，對表現優秀的同學進行表彰獎勵，計劃購買甲、乙兩種筆記本作為獎品．已知3本甲型筆記本和5本乙型筆記本共需50元，2本甲型筆記本和3本乙型筆記本共需31元．
（1）求1本甲型筆記本和1本乙型筆記本的售價各是多少元？
（2）學校準備購買這兩種類型的筆記本共200本，要求甲型筆記本的本數不超過乙型筆記本的本數的3倍，請設計出最省錢的購買方案，并求出花費最低的錢數．
【答案】（1）解：設1本甲型筆記本的售價是x元，1本乙型筆記本的售價是y元，
，
解得，
答：1本甲型筆記本的售價是5元，1本乙型筆記本的售價是7元；
（2）解：設購買甲型筆記本a本，則購買乙型筆記本本，費用為w元，，
∵要求甲型筆記本的本數不超過乙型筆記本的本數的3倍，
∴，
解得，，
∵，
∴W隨x的增大而減小，
∴當時，w取得最小值，此時，，
答：當購買甲型筆記本150本，乙型筆記本50本時最省錢，最低費用為1100元．
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一次函數的實際應用-方案問題
【解析】【分析】這道題主要考查了二元一次方程組的解法、不等式的應用和一次函數的性質；（1）設出甲型和乙型筆記本的單價，根據給出的兩種購買組合的總價列出方程組，然后通過代入消元法求解方程組得到單價；
（2）根據甲型筆記本數量不超過乙型筆記本數量的3倍列出不等式，確定甲型筆記本數量的取值范圍；再根據總花費列出函數表達式，根據函數的單調性求出最小花費及對應的購買方案.
21．（2024八上·福田期末）[綜合實踐]請閱讀下面材料完成相應的任務．
借助“魯班尺”三等分角
如圖1，“魯班尺”也稱為“木工尺”．木工師傅中有人找到了利用“魯班尺”三等分任一角的方法．
如圖2，在與尺邊垂直的尺邊上取一點C，使等于尺寬．如圖3，任意畫一個角，先用班尺畫一條到的距離等于尺寬且與平行的直線l，如圖4，將魯班尺繞點O旋轉并反復調整，使點A落在直線l上，點C落在上，且尺邊經過點O，則沿尺邊畫出的直線和三等分．
[任務1]在圖4中，過點A作，垂足為G．
①比較大小：______（填“＞、＝或＜”）．
②證明：和三等分．
[任務2]愛動腦筋的某同學受到閱讀材料中借助“魯班尺”三等分角方法的啟發，想到了通過折疊長方形紙片三等分一個已知角的方法，他的前2個操作步驟如下：
步驟1：如圖5，在長方形紙片上折出任意角．將長方形對折，折痕記為，再將長方形對折，折痕記為，展開長方形；
步驟2：如圖6，將長方形沿著折疊，點B的對應點恰好落在上，再移動位置并調整使點E的對應點恰好落在上，若，請根據這位同學的操作過程求的度數．
【答案】解：[任務1]①
②證明：∵，
∴
在與中
∴
∴
在與中
∴
∴
∴
∴和OA三等分．
[任務2]如下圖，連接，過點作，
∵，
∴
由翻折可知：，
∴
又∵
∴，
又∵
∴
又在長方形中
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形的應用；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：[任務1]①由，是尺寬，
∴；
【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，全等三角形的實際應用，熟練的構建幾何模型并作出輔助線是解本題的關鍵；
（1）①由，是尺寬，從而可得答案；②通過證明多個三角形全等，逐步推導出I和OA三等分∠EOF；根據SAS(邊角邊)定理，可得，所以∠BOC=∠BOA，結合前面∠AOB=∠AOG（根據HL證明得出），所以和OA三等分．
（2）利用折疊性質得到BE=BE'且BE=B'E'=2BG，進而推出BJ=BG；在長方形GBK'B'中，根據HL定理證明，得出∠JBB'=∠B'BK；已知∠CBM=48°，根據折疊和全等關系得和，所以可算出∠BE'F=74°.
22．（2024八上·福田期末）如圖，中，，E點為射線上一動點，連接，作且．
（1）如圖1，過F點作交于D點，求證：；
（2）如圖2，連接交于G點，若，求證：E點為中點；
（3）當E點在射線上，連接與直線交于G點，若，則　 　（直接寫出結果）．
【答案】（1）解：
在和中
∴
（2）解：如圖2，過F點作交AC于D點
在和中，
，
∴點為中點；
（3）6
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；比例的性質；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：（3）過F作的延長線交于點D，如
，
由(1)(2)知∶，
【分析】（1）先證明△ADF是等腰直角三角形，得出AD=FD，再通過角的關系證明，從而得到EC=AD，CD=DF，進而得出EC+CD=DF；
（2）通過作輔助線過F點作交于D點，再結合（1）中結論，利用 AAS 即可證明，進而得出邊的相等關系，再結合已知的比例關系推導出所求點為中點；
（3）過F作的延長線交于點D，由，，， ，由（1）（2）可知，，可得，所以即可求得的值．
1 / 1廣東省深圳市福田區深圳市高級中學2023-2024學年八年級上學期期末數學試題
1．（2024八上·福田期末）實數的相反數是（　　）
A．3 B． C． D．
2．（2024八上·福田期末）的值為（　　）
A．2 B． C． D．
3．（2024八上·福田期末）已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·福田期末）下列命題中真命題是（　　）
A．三內角之比為的三角形是直角三角形
B．三角形的外角等于兩個內角的和
C．若有意義，則
D．
5．（2024八上·福田期末）學校籃球場上初三（1）班5名同學正在比賽，將場上五名隊員的身高繪制成如圖所示的統計圖，其中“△”是換人前五名隊員的身高，“●”是換人后五名隊員的身高，與換人前相比，換人后場上隊員的身高(　　)
A．平均數不變，方差變小 B．平均數不變，方差變大
C．平均數變大，方差變小 D．平均數變大，方差變大
6．（2024八上·福田期末）《九章算術》是古代中國第一部自成體系的數學專著，其中《卷第八方程》記載：“今有甲乙二人持錢不知其數，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文是：今有甲、乙兩人持錢不知道各有多少，甲若得到乙所有錢的 ，則甲有50錢，乙若得到甲所有錢的 ，則乙也有50錢.問甲、乙各持錢多少？設甲持錢數為x錢，乙持錢數為y錢，列出關于x、y的二元一次方程組是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·福田期末）某條公共汽車線路收支差額與乘客量的函數關系如圖所示（收支差額車票收入支出費 用），由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議(Ⅰ)不改變支出費用，提高車票價格；建議(Ⅱ)不改變車票價格，減少支出費用.下面給出的四個圖形中，實線和虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則下列說法正確的是：
A．①反映了建議（Ⅱ），③反映了建議（Ⅰ）
B．②反映了建議（Ⅰ)，④反映了建議（Ⅱ）
C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）
D．②反映了建議（Ⅱ），④反映了建議（Ⅰ）
8．（2024八上·福田期末）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點，分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點，畫射線，交于點，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·福田期末）如圖，直線交x軸于點A，交y軸于點B，C為線段（端點除外）上一動點，點D與點C關于x軸對稱，過點C作x軸的平行線交的延長線于點F，則線段的最小值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·福田期末）如圖，四邊形中，，且，若，則（　　）
A．6 B．9 C．12 D．16
11．（2024八上·福田期末）點關于軸對稱的點坐標為　 　．
12．（2024八上·福田期末）某市為方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖1 是某共享單車放在水平地面上的實物圖，其示意圖如圖2所示，都與地面l平行，與平行．已知，則　 　 ．
13．（2024八上·福田期末）如圖，已知函數和圖象交于點P，點P的縱坐標為，則關于x、y的方程組的解是　 　．
14．（2024八上·福田期末）如圖，直線：與坐標軸交于A、B兩點，點D為第一象限內一點，連接且軸，過點且平行于x軸的直線l交于點C，交于點F，連接，，將沿著直線翻折，得到，點E正好落在直線l上，若，則的長為　 　．
15．（2024八上·福田期末）如圖，在中，，，D為邊上一點，，垂足為E，F在上，且，若，，則的長為　 　．
16．（2024八上·福田期末）計算：．
17．（2024八上·福田期末）（1）解方程組：．
（2）求不等式的解集．
18．（2024八上·福田期末）“感受數學魅力，提升數學素養”，某校在其舉辦的數學文化節上開展了趣味數學知識競賽，現從七年級和八年級參與競賽的學生中各隨機抽取10名同學的成績進行整理、描述和分析（單位：分，滿分100分，90分及90分以上為優秀），將學生競賽成績分為A，B，C三個等級：
A：，B：，C：．下面給出了部分信息：
七年級10名學生的競賽成績為：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年級10名學生的競賽成績在B等級中的數據為：81，82，84，88，88．
兩組數據的平均數、中位數、眾數如下表所示：
學生 平均數 中位數 眾數
七年級 86 85 b
八年級 86 a 88
抽取的八年級學生競賽成績扇形統計圖：
根據以上信息，解答下列問題：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）根據以上數據，你認為在此次知識競賽中，哪個年級的成績更好？請說明理由（一條理由即可）；
（3）若八年級共有500名學生參賽，估計八年級參賽學生中成績為優秀的人數．
19．（2024八上·福田期末）刻漏是人類最早制造的不完全依賴天象、相對獨立運行的計時儀器．刻漏以水等液體（也有少數例外，如水銀或沙等）為工作物質，根據流水的量與流逝時間的對應關系，通過漏壺中的水量變化來度量時間的．我國使用刻漏的時間非常早，最早可追溯到中國歷史上第一個王朝—夏朝（大約公元前2070年），約在漢武帝時期發明了浮箭漏．如圖所示為單級浮箭漏示意圖．某興趣小組仿制了一套浮箭漏，并從函數角度進行了如下實驗探究：
【實驗觀察】實驗小組通過觀察，每1小時記錄一次箭尺讀數，得到如表：
供水時間x（小時） 0 1 2 3 4
箭尺讀數y（厘米） 6 12 18 24 30
【探索發現】
（1）在所給的平面直角坐標系中，描出以供水時間x為橫坐標，箭尺讀數y為縱坐標的各點．
（2）觀察上述各點的分布規律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對應的函數表達式，如果不在同一條直線上，說明理由．
【結論應用】應用上述發現的規律估算：
（3）供水時間達到10小時時，箭尺的讀數為多少厘米？
（4）如果本次實驗記錄的開始時間是上午，那當箭尺讀數為96厘米時是幾點鐘？（箭尺最大讀數為100厘米）
20．（2024八上·福田期末）我校舉辦藝術節活動，對表現優秀的同學進行表彰獎勵，計劃購買甲、乙兩種筆記本作為獎品．已知3本甲型筆記本和5本乙型筆記本共需50元，2本甲型筆記本和3本乙型筆記本共需31元．
（1）求1本甲型筆記本和1本乙型筆記本的售價各是多少元？
（2）學校準備購買這兩種類型的筆記本共200本，要求甲型筆記本的本數不超過乙型筆記本的本數的3倍，請設計出最省錢的購買方案，并求出花費最低的錢數．
21．（2024八上·福田期末）[綜合實踐]請閱讀下面材料完成相應的任務．
借助“魯班尺”三等分角
如圖1，“魯班尺”也稱為“木工尺”．木工師傅中有人找到了利用“魯班尺”三等分任一角的方法．
如圖2，在與尺邊垂直的尺邊上取一點C，使等于尺寬．如圖3，任意畫一個角，先用班尺畫一條到的距離等于尺寬且與平行的直線l，如圖4，將魯班尺繞點O旋轉并反復調整，使點A落在直線l上，點C落在上，且尺邊經過點O，則沿尺邊畫出的直線和三等分．
[任務1]在圖4中，過點A作，垂足為G．
①比較大小：______（填“＞、＝或＜”）．
②證明：和三等分．
[任務2]愛動腦筋的某同學受到閱讀材料中借助“魯班尺”三等分角方法的啟發，想到了通過折疊長方形紙片三等分一個已知角的方法，他的前2個操作步驟如下：
步驟1：如圖5，在長方形紙片上折出任意角．將長方形對折，折痕記為，再將長方形對折，折痕記為，展開長方形；
步驟2：如圖6，將長方形沿著折疊，點B的對應點恰好落在上，再移動位置并調整使點E的對應點恰好落在上，若，請根據這位同學的操作過程求的度數．
22．（2024八上·福田期末）如圖，中，，E點為射線上一動點，連接，作且．
（1）如圖1，過F點作交于D點，求證：；
（2）如圖2，連接交于G點，若，求證：E點為中點；
（3）當E點在射線上，連接與直線交于G點，若，則　 　（直接寫出結果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】相反數的意義與性質
【解析】【解答】解：實數的相反數是．
故選：B．
【分析】 根據相反數的定義，互為相反數的兩個數和為 0，或者一個數的相反數就是在這個數前面加上 “-” 號（0 除外），本題直接對取相反數即可.
2．【答案】B
【知識點】開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
故選：B．
【分析】 根據立方根的定義，；
3．【答案】C
【知識點】不等式的性質
4．【答案】A
【知識點】無理數的估值；二次根式有意義的條件；三角形的外角性質；真命題與假命題
【解析】【解答】解：A．三內角之比為的三角形中最大內角為，即三角形是直角三角形，A符合題意；
B．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，故選項錯誤，B不符合題意；
C．若有意義，則，則不一定成立，故選項錯誤，C不符合題意；
D． ，3.87<4，所以， 所以 D不符合題意．
故選：A．
【分析】對于三角形內角問題，可通過設未知數結合內角和定理求解；對于三角形外角，直接利用其性質判斷；對于二次根式有意義的問題，根據被開方數的取值范圍分析；對于數的大小比較，可通過估算等方法進行；
5．【答案】B
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：換人前平均身高為：，
換人后平均身高為：，
換人前的方差為：
，
換人前的方差為：
，
∵，，
∴平均數不變，方差變大，故B正確．
故選：B．
【分析】根據公式分別計算換人前后的平均數和方差，然后進行比較，一般地設n個數據，，，…的平均數為，則方差，分別求出換人前后的平均數和方差進行比較．
6．【答案】B
【知識點】二元一次方程組的應用-古代數學問題
【解析】【解答】解：設甲、乙的持錢數分別為x，y，
根據題意可得： ，
故答案為：B.
【分析】設甲、乙的持錢數分別為x，y，根據甲若得到乙所有錢的 ，則甲有50錢，乙若得到甲所有錢的 ，則乙也有50錢，分別列出方程，聯立求解即可.
7．【答案】C
【知識點】一次函數的圖象；一次函數圖象、性質與系數的關系；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【解答】∵建議（Ⅰ）是不改變支出費用，提高車票價格；也就是也就是圖形增大傾斜度，提高價格，∴③反映了建議（Ⅰ），
∵建議（Ⅱ）是不改變車票價格，減少支出費用，也就是y增大，車票價格不變，即平行于原圖象，
∴①反映了建議（Ⅱ）．
故選C．
【分析】首先要理解收支差額y與載客量x的函數關系：y=車票收入-支出費用，其中車票收入與單價和載客量有關(車票收入=單價×載客量)；建議(Ⅰ)提高車票價格，在函數圖象上體現為斜率增大(因為單價提高)，而支出費用不變體現為截距不變；建議(Ⅱ)減少支出費用，在函數圖象上體現為截距變小，而車票價格不變體現為斜率不變.
8．【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的判定與性質；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作法得平分，
∴
設
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故選：C．
【分析】主要考查了等腰三角形的性質、角平分線的性質和三角形內角和定理；首先根據等腰三角形的性質設出角的度數，然后利用角平分線的性質和等腰三角形的性質找出角之間的關系，最后通過列方程求解；
9．【答案】B
【知識點】勾股定理；一次函數圖象與坐標軸交點問題；動點問題的函數圖象
【解析】【解答】解：如圖所示，連接交x軸于點G，作軸，交x軸于點E．
根據題意可知，．
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
當時，最小，即最小．
當時，；當時，，
∴點，點，
∴，，
根據勾股定理，得．
∴，
即，
解得，
則，
∴線段的最小值是．
故選：B．
【分析】這道題主要考查了一次函數與坐標軸的交點、全等三角形的判定和性質、勾股定理以及三角形面積公式的應用；首先求出直線y=2x+4與x軸、y軸的交點A、B的坐標；根據題意得出CG=DG=EF，CO=DO，證明，得到DO=FO，從而得出DF=2DO=2CO；因為當CO⊥AB時，CO最小，此時DF最小；通過求出A、B坐標，利用勾股定理求出AB的長度，再根據三角形面積公式求出CO的長度，進而得到DF的最小值；
10．【答案】D
【知識點】三角形的面積；勾股定理
【解析】【解答】解：記交于點，如圖所示：
，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
．
故選：D．
【分析】這道題主要考查了勾股定理和三角形面積公式的應用；依據勾股定理，在直角三角形ABO和BCO中，得出AB2-AO2=BO2和BC2-CO2=BO2，所以得到AB2-AO2=BC2-CO2；已知AB=8，且AC=BC=BD，得出CO=AC-AO=BD-AO，進而得出BD·AO=32；最后根據三角形面積公式，代入得出.
11．【答案】
【知識點】坐標與圖形變化﹣對稱
【解析】【解答】解：點坐標為
點關于軸對稱的點坐標為
故答案為：．
【分析】這道題主要考查了關于軸對稱的點的坐標變化規律； 因為關于x軸對稱的點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的相反數，所以直接將-2變為2，橫坐標3不變.
12．【答案】
【知識點】平行線的判定與性質；三角形內角和定理
【解析】【解答】解：∵與平行
∴
∵
∴
∵都與地面l平行
∴
∴
故答案為：．
【分析】這道題主要考查平行線的性質；通過兩直線平行，內錯角相等得出∠ACB = 72°，再算出∠ACD = 130°，又因 AB∥CD，根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠BAC = 50°.
13．【答案】
【知識點】一次函數與二元一次方程（組）的關系
【解析】【解答】解：把代入
解得
函數和的圖象交于點
即，同時滿足兩個一次函數的解析式
所以關于，的方程組的解是
故答案為：．
【分析】本題考查了一次函數與二元一次方程組的關系，已知點P的縱坐標為1.5，且點P在函數y=-x+1上，根據代入計算可得x=-0.5，則兩個一次函數的交點； 而關于x、y的方程組的解就是交點坐標，所以可得.
14．【答案】5
【知識點】平行線的性質；三角形的面積；勾股定理；軸對稱的性質；一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：連接，如圖所示：
由題意得：，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
解得：
故答案為：
【分析】本題考查了翻折的性質以及勾股定理的應用，通過面積公式求出 CE 的長度，利用勾股定理求出 AD 的長度，進而得出 CD 的長度，再根據直角三角形 CDF 中的勾股定理列出關于 EF 的方程求解.
15．【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如圖，過點作，交延長線于點，
∵，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識；過點B作BG⊥AF，交AF延長線于點G；先根據垂直關系和角度關系得出∠BAG=∠CBE，進而證明，由全等三角形性質可得BG=CE，AG=BE；再結合等腰三角形兩腰相等的性質得出FG=BG，利用勾股定理算出BF，最后通過線段的加減運算得出EF的長度.
16．【答案】【解答】解：原式
【知識點】二次根式的乘除法；二次根式的混合運算；冪的乘方運算；化簡含絕對值有理數
【解析】【分析】分別對式子中的每一項進行計算，利用二次根式乘法法則，根據負數奇次冪為負，根據絕對值性質計算，最后將結果相加減.
17．【答案】（1）解：
由，得
由，得
把代入①得，解得
∴原方程組的解是
（2）解：
去分母得：
去括號得：
移項得：
合并同類項得：
化系數為1得：
原不等式的解集為
【知識點】解一元一次不等式；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】（1）通過消元法來求解；先從一個方程中用含一個未知數的式子表示另一個未知數，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個未知數的值，再將求得的值代回求出另一個未知數的值；
（2）通過通分去掉分母，再進行去括號、移項、合并同類項等操作，最后求出不等式的解集.
18．【答案】（1）86；84；30%
（2）解：八年級的成績更好，因為兩個年級的平均數相同，但八年級的中位數和眾數均高于七年級，所以八年級的成績更好.
（3）（名）
答：估計八年級參賽學生中成績為優秀的人數約150名．
【知識點】平均數及其計算；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）由題意知八年級10名學生的競賽成績中，A等級有（名），C等級有（名），處于中間的兩個成績是84和88，故； 七年級10名學生的競賽成績中，眾數；八年級10名學生的競賽成績中，等級C有3名，．
故答案為：，，．
【分析】（1）將數據從小到大排序后，中間位置的數就是中位數，對于八年級數據排序后中間數是84；對于眾數，出現次數最多的數就是眾數，七年級中84出現次數最多；根據扇形圖中B等級的比例求出人數，進而確定m的值；
（2）通過比較平均數、眾數等統計量來分析兩個年級的成績情況；
（3）先算出抽取樣本中優秀人數的比例，再用總人數乘以該比例得到估計的優秀人數．
19．【答案】解：（1）根據題意，畫出圖形，如圖
（2）觀察上述各點的分布規律，得它們在同一條直線上
設這條直線所對應的函數表達式為
根據題意得：
解得：
∴這條直線所對應的函數表達式為
（3）當時，
∴供水時間達到10小時時，箭尺的讀數為66厘米
（4）當時，，解得：
∴供水時間為15小時
∵本次實驗記錄的開始時間是上午，
∴當箭尺讀數為96厘米時是．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數圖象、性質與系數的關系；一次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）依據表格中的供水時間和箭尺讀數數據，在平面直角坐標系中準確找到對應的坐標點進行描點操作即可；
（2）利用直線函數的一般形式，通過選取兩個已知點代入方程來確定k和b的值，進而得到函數表達式，并據此判斷這些點是否在同一直線上；
（3）把供水時間值代入已求得的函數表達式中，計算出對應的箭尺讀數；
（4）把將給定的箭尺讀數代入函數表達式，反求出對應的供水時間，再結合初始時間計算出具體時刻．
20．【答案】（1）解：設1本甲型筆記本的售價是x元，1本乙型筆記本的售價是y元，
，
解得，
答：1本甲型筆記本的售價是5元，1本乙型筆記本的售價是7元；
（2）解：設購買甲型筆記本a本，則購買乙型筆記本本，費用為w元，，
∵要求甲型筆記本的本數不超過乙型筆記本的本數的3倍，
∴，
解得，，
∵，
∴W隨x的增大而減小，
∴當時，w取得最小值，此時，，
答：當購買甲型筆記本150本，乙型筆記本50本時最省錢，最低費用為1100元．
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一次函數的實際應用-方案問題
【解析】【分析】這道題主要考查了二元一次方程組的解法、不等式的應用和一次函數的性質；（1）設出甲型和乙型筆記本的單價，根據給出的兩種購買組合的總價列出方程組，然后通過代入消元法求解方程組得到單價；
（2）根據甲型筆記本數量不超過乙型筆記本數量的3倍列出不等式，確定甲型筆記本數量的取值范圍；再根據總花費列出函數表達式，根據函數的單調性求出最小花費及對應的購買方案.
21．【答案】解：[任務1]①
②證明：∵，
∴
在與中
∴
∴
在與中
∴
∴
∴
∴和OA三等分．
[任務2]如下圖，連接，過點作，
∵，
∴
由翻折可知：，
∴
又∵
∴，
又∵
∴
又在長方形中
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形的應用；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：[任務1]①由，是尺寬，
∴；
【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，全等三角形的實際應用，熟練的構建幾何模型并作出輔助線是解本題的關鍵；
（1）①由，是尺寬，從而可得答案；②通過證明多個三角形全等，逐步推導出I和OA三等分∠EOF；根據SAS(邊角邊)定理，可得，所以∠BOC=∠BOA，結合前面∠AOB=∠AOG（根據HL證明得出），所以和OA三等分．
（2）利用折疊性質得到BE=BE'且BE=B'E'=2BG，進而推出BJ=BG；在長方形GBK'B'中，根據HL定理證明，得出∠JBB'=∠B'BK；已知∠CBM=48°，根據折疊和全等關系得和，所以可算出∠BE'F=74°.
22．【答案】（1）解：
在和中
∴
（2）解：如圖2，過F點作交AC于D點
在和中，
，
∴點為中點；
（3）6
【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；比例的性質；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：（3）過F作的延長線交于點D，如
，
由(1)(2)知∶，
【分析】（1）先證明△ADF是等腰直角三角形，得出AD=FD，再通過角的關系證明，從而得到EC=AD，CD=DF，進而得出EC+CD=DF；
（2）通過作輔助線過F點作交于D點，再結合（1）中結論，利用 AAS 即可證明，進而得出邊的相等關系，再結合已知的比例關系推導出所求點為中點；
（3）過F作的延長線交于點D，由，，， ，由（1）（2）可知，，可得，所以即可求得的值．
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