資源簡介

授課題目 3.4 函數的應用 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021 十四五 （基礎模塊上冊）（修訂版）
授課 時長 2 課時 授課 類型 新授課
教學提示 本課將通過解決實際生活中的簡單函數問題（一次函數、分段函數、二次函數），提高學生對于這三種函數的應用的意識．
教學目標 能在不同的場景下，選擇合適的函數模型解決實際的問題． 2.通過數學建模的思想提高學生的思維能力，并提升學生對數學抽象的認識；培養學生對數學的熱愛。
教學 重點 選擇恰當的函數模型解決實際問題．
教學 難點 函數模型的建立；二次函數模型的最值問題．
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
情境導入 我們生活有很多關于函數模型的說法，其實在現實中大部分問題都是可以通過建立函數模型來解決，同學們可以想一想？ 提示：函數模型=函數關系？ 通過自媒體工具，學生們看向大屏幕，通過例子我們一起來看看一次函數模型、二次函數模型和分段函數模型在實際生產生活 中的應用． 描述說明 思考體會 點明數學建模的意義
探索新知 1.一次函數模型 要給一個水箱勻速注水，注滿為止．已知水箱的容積為 160L ，注水前水箱里有水 20L ，當注水 30min 后，水箱有 80L水，若水量y(L)是注水時間 x(min)的一次函數，試寫出這個函數的解析式． 提示：想一想，是否可以利用一次函數模型和我們之前學習過的待定系數法找出y與x的函數關系？ 說明 指導 思考 討論 在給定函數 情 況下，結合函數一般形式，分析問題中已知數據與解析式 中變量之
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解：設水量與注水時間的一次函數解析式為 y=kx+b． 當 x=0 時 y=20；x=30 時 y=80，故代入上面解析式得 { b = 20, 30k + b = 80. 解得{ k=2, 所以y=2x+20． b=20. 又因為 y ≤160 ，即 2x+20 ≤160 ，得 x≤70．所以水量 y 與進水時間 x 的函數為 y=2x+20，x ∈ [0,70]． 2.分段函數模型 如下圖所示是某高速列車一次測試中從靜止到行駛再到停車的示意圖，其中 y(km/h)是車速， x(min) 是行車時間．你能寫出車速y與行車時間x的函數解析式． 分析 由上圖可看出該函數關系應該是分3種情況討論，即可想到分段函數，利用分段函數解決實際問題，根據列車行駛速度的不同，對應的時間不同進行分類討論． 解 由題目可知行車時間x的取值范圍為 0≤x≤120． 在0≤x≤5， 5＜x＜110， 110≤x≤120 三個范圍有不同的行駛狀態 歸納總結 展示講解 說明 引領分析 交流 求解 體會思索 分析 解決問題 間的對應關系，建立 方 程組，求出待定系數 本問題中沒有明確函數的類型，但通過圖像可知，這是一個分段函數模型的應用，在各段中都是線段 （直線），可以用一次函數或常數函數表示；不同的時間段，列車 行駛的速
1、當 0≤x≤5 時，看圖像可知是過原點的一條線段，則令y=kx，因點（5, 400）在線段上，所以有400=5k， 得 k=80，故y=80x． 2、當 5＜x＜110 時，看圖像可知是一條平行于 x軸的線段，故y=400． 3、當 110≤x≤120 時，看圖像可知是過點(110,400)和點（120,0）的一條線段，設y=ax+b， 得 400=110a+b, { 0=120a+b. 解得{ a=-40, 因此y=-40x+4800． b=4800. 故該列車車速 y 與行車時間 x 之間的函數解析式為 60x, 0≤x≤5, y = { 300, 5＜x＜110, -30x+3600, 110≤x≤120. 二次函數模型 情境與問題 1 現有 18 m長的不銹鋼，要制作一個矩形窗框（如圖所示）． 求窗框所圍成的面積 y(m )與窗框寬 x(m)之間的函數關系式； 當窗框寬為何值時，窗框所圍成的面積最大？最大值為多少？ 分析 可以利用二次函數想一想怎么去解決這個實際問題；比如利用矩形面積公式得到一個關系．通過二次函數模型是否可以解決窗框所圍成的最大面積．同學們可以互相討論想一想。 解（1）因為窗框的寬為 x(x>0)，根據題 指導 引領分析 歸納 思考 討論交流 求解 度不同，需要根據時間進行分段討論 本問題中沒有明確函數的類型，結合問題中關鍵詞“面積”，轉化為“面積等于邊長之積”，合理設出未知量，厘清各種變
目可知，鋼材總長為 18m，則窗框的長為18 -x=9-2x，(0分析 我們能否再次利用二次函數來解決這個問題呢，大家可以想一想通過水果總產量=果樹總數×單棵平均產量求得函數關系式，再來轉化為二次函數模型，后利用二次函數模型的性質解決這個實際問題． 解 設水果總量為 y 個，當增種 x (x>0)棵果樹時，單棵平均產量為(500-4x)個，且 500- 4x >0，即 x<125．根據題意得 y=(40+x)(500-4x). 整理得 y 4x2 340x 20000，0 x 125 ，且 x∈N. （1）由 b 340 42.5, 2a 2 （-4） 4ac b2 4 （-4） 20000 3402 36125, 4a 4 （-4） 可知，當 x=42.5，y 有最大值，且最大值為 27225，即果園增種 42 棵果樹時，水果共產量最大，最大產量是 27225 個； （2）由使水果的總產量 y 不少于 23000個，則 -4x +340x+20000≥23000，整理得 -4x +340x-3000≥0， 即 x -85x+750≤0 ． 解不等式得 15≤x≤75． 因此要使水果總產量不少于 23000 個， 該果園內至少要增種 15 棵果樹，但不能超過 75 棵． 溫馨提示 已知定義在 D 上的函數 f(x)． （1）如果對任意 x∈D，都有 f(x)≤M ，且存在 x0∈D，使 f(x0)= M ，則稱 M 是函數 巡視指導 巡視指導 說明 解決問題 交流討論 領悟
f(x)的最大值； （2）如果對任意 x∈D，都有 f(x) ≥m，且存在 x0∈D，使 f(x0)=m，則稱 m 是函數 f(x)的最小值． 函數的最大值或最小值統稱函數的最值． 當應用函數模型求解問題時，應根據實際情況考慮函數 的定義域，特別是求函數的最大（小）值時，要考慮自變量是否有取整的需要． 提醒注意問題背景對取值的要求，以及圖像對解決問題的作用
鞏固練習 練習 3.4 一般地，海拔每上升 2km，氣溫就會下降8℃．已知某地地面氣溫為30℃，設高出地面 x (km)處的氣溫為y℃，請寫出氣溫y與相對于地面的高度x處之間的函數關系式(假設 y與x是一次函數關系)． 某市出租車車費標準如下：5km 以內 （含 5km）收費 10 元；超過 5km 的部分每千米收費 2.6 元. 寫出應收費 y（元）出租車行駛路程 x (km)之間的關系式． 小亮乘車行駛 8km，應付多少元？ 小波下車時付車費 36 元，那么小波乘出租車行駛了多遠？ 提問 巡視 指導 思考 求解 交流 通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺
3．某商品現在的售價為 80 元／件，每 星期可賣出 200 件．市場調查反映，該商品 的合理售價應不低于 40 元/件，不高于 90元 /件．若調整商品售價，每降價(提價)2 元/件，每星期可多(少)賣出 40 件．設商品售價降價 (提價)x(元/件)后，每星期售出商品的總銷售額為 y(元)．求 y 與 x 之間的函數解析式．
歸納總結 引導總結 反思交流 培養學生總結學習過程能力
布置作業 書面作業：完成課后習題和學習與訓練； 查漏補缺：根據個人情況對課堂學習復習回顧； 拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容． 說明 記錄 鞏固提高查漏補缺

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