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高三數(shù)學(xué)熱點專題--圓錐曲線
1.如圖，A、B分別為橢圓C：的左頂點和上頂點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，直線AB與橢圓C的右準(zhǔn)線l交于點P，直線BF與橢圓C交于另一點Q.
⑴若直線AB的斜率為，且l的方程為，求橢圓C的方程；
⑵記直線OP和AQ的斜率分別為和，若，
求橢圓C的離心率.
解析：⑴因為線AB的斜率為，所以，①
因為l的方程為，所以，②
由①②以及可解得，，所以橢圓C的方程為.
⑵直線AB的方程為，令可得，所以.
直線BF的方程為，即，代入橢圓方程可得，
即，解得，所以.
因為，所以，即，
所以，又，所以，即橢圓C的離心率為.
2.已知橢圓的左焦點為，上頂點為，直線與直線垂直，垂足為，且點是線段的中點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，分別為橢圓的左，右頂點，是橢圓上位于第一象限的一點，
直線與直線交于點，且,求點的坐標(biāo).
【設(shè)計意圖】
（1）考查用待定系數(shù)法求橢圓的方程
（2）考查用解析法研究曲線的性質(zhì)，主要有兩種方法：
1、設(shè)； 2、設(shè)
【解答過程】（1）
（2）方法1：“點參”
設(shè)，則直線的方程為，所以
所以
由在橢圓上得，
所以，解得，所以
方法2：“參”
設(shè)直線的方程為，由，整理得
因為，所以，所以
又，所以，
所以，解得，所以
【講評建議】點撥：若設(shè)，則有兩個參數(shù)，下面如何消參？
若設(shè)，此時的二次方程相當(dāng)于幾次方程？（此二次方程有一根已經(jīng)知道）
3、橢圓：的左右焦點分別為，橢圓過點在上，且橢圓離心率為。
（1）求橢圓方程；
（2）點在橢圓上，點關(guān)于直線的對稱點也在橢圓上，求直線的方程。
【命題意圖】
研究圓錐曲線的問題，本質(zhì)上是處理方程與方程組的問題，本題關(guān)鍵是從何處著手。要根據(jù)給定條件，找到解決問題的方法。
【解答過程】（1）由橢圓離心率為，可設(shè)橢圓方程是，
又橢圓過點，解得：，所以橢圓方程為，
（2）方法一：設(shè)點，的中點為，
依題意，消去得：，解之得：或（舍去），
所以，所以，直線即的方程是，即
方法二：設(shè)點，，依題意：，
消去并化簡得：，解之得：或（舍去），
所以，所以中點，直線即的方程是，即。
4、已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線方程為.右頂點為A，上頂點為B.
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一動點且在第三象限，直線與軸交于點，
直線與軸交于點，證明：四邊形的面積為定值.
【設(shè)計意圖】
（1）考查用待定系數(shù)法求橢圓的方程
（2）考查用解析法研究曲線的性質(zhì)，關(guān)鍵是如何消參數(shù)
【解答過程】
（I）橢圓的方程為．
（II）設(shè)（，），則．又，，
所以直線的方程為．令，得，從而．
直線的方程為．令，得，從而．
所以四邊形的面積
由在橢圓上得，
所以，為定值．
【評講建議】
1、表示四邊形面積時注意對角線互相垂直
2、設(shè)后有兩個參數(shù)如何消參數(shù)？用點在橢圓上
3、如果在第一象限，如何？
5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右頂點分別為、，上頂點為，點是橢圓上第一象限內(nèi)的動點，直線分別與軸交于點，且點是線段的中點. 當(dāng)點運動到點處時，點的坐標(biāo)為.
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 當(dāng)直線時，求直線的斜率.
【設(shè)計意圖】20132017年解析幾何解答題考查內(nèi)容分析：
2017年 2016年 2015年 2014年 2013年
題17 直線的方程，直線與直線的位置關(guān)系，橢圓的方程與幾何性質(zhì) 題18 直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運算 題18 橢圓的方程與幾何性質(zhì)，直線的方程，橢圓中弦長的計算 題17 橢圓的方程及離心率 題17 直線的方程，直線與圓的位置關(guān)系
本題主要考查直線方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，考查分析問題能力和運算求解能力.
【要點解析】是否發(fā)現(xiàn)是解決問題的關(guān)鍵！
【講評建議】本題改編于2018屆南京、鹽城第一學(xué)期期末試卷中的解析幾何題. 在評講中要注意對基本圖形的挖掘. 如本題，由于是的中點，可引導(dǎo)學(xué)生去思考這兩條直線都過點，缺的是直線的方向（或者是刻畫方向的量），那么它們之間有怎樣的聯(lián)系呢？能否將這樣的圖形結(jié)構(gòu)加以適當(dāng)?shù)男〗Y(jié)？如下圖中，是的中點，那么此時直線、直線的斜率有怎樣的聯(lián)系呢？若、呢？
【解答過程】(1) 因為是的中點，且，所以.
又，得直線的方程為.
令，得點的坐標(biāo)為，所以橢圓的方程為. ………………..4分
將點代入，得，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.………………………………..6分
(2) 設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.
在中，令，得，而點是線段的中點，所以.
所以直線的斜率. …………………………………..8分
聯(lián)立消去，得，解得，……..10分
代入，得，所以.
在點中，用代，得. ………………………..11分
因為，，
又，....13分
所以，又，所以，即，解得. …………..15分
6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率，焦距為，過上頂點的動直線與橢圓交于另一點，當(dāng)經(jīng)過右焦點時，點的坐標(biāo)為.作矩形，使其頂點在橢圓上，在直線上，
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
若經(jīng)過右焦點，且,求直線的方程.
若為橢圓的右頂點，當(dāng)矩形面積最大時，求直線的方程.
設(shè)計意圖：考查橢圓的方程、直線的方程、直線與直線的關(guān)系、直線與橢圓的關(guān)系
要點解析：1、橢圓中已知離心率時，先消參再解方程更為簡便
直線方程的選擇，注意對結(jié)果的檢驗
最值問題中對變量范圍的約束
講評建議：本題以江蘇省2014年高考題為原型，主要是復(fù)習(xí)橢圓方程與直線方程的基本運算。通過這一組題，可以幫助學(xué)生理解直線方程在橢圓中的運用方法。教學(xué)時可結(jié)合圖象的生成過程說明計算方法的合理性，在方法選擇中加深對算理的理解。
解答過程（1）由離心率為可知
所以聯(lián)立方程組解得的橫坐標(biāo)為從而
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（考慮第一問計算量，多給了點的縱坐標(biāo)，學(xué)生可以直接將點代入直線求）
設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立方程組，消去整理得：
從而求出又，
由求出或此時直線與橢圓均有兩個交點
所以直線的方程為：或
顯然斜率存在，設(shè)，
與橢圓聯(lián)立方程組，消去整理得：
從而矩形面積
若,則斜率取時面積顯然更大，故最大時，
記，則，
由基本不等式易得最大時，，
所以當(dāng)矩形面積最大時，直線的方程為.
7、已知橢圓的短軸端點到右焦點的距離為．
（）求橢圓的方程；
（）過點的直線交橢圓于，兩點，交直線于點，設(shè)，，
求證：為定值．
【設(shè)計意圖】
（1）考查用待定系數(shù)法求橢圓的方程
（2）考查用解析法研究曲線的性質(zhì)
【解答過程】（）由題意有：，且，所以，．
　所以橢圓的方程為．
（）由題意直線過點，且斜率存在，設(shè)方程為，將代入得點坐標(biāo)為，
　由，消元得　，設(shè)，，則且，
方法一：因為，所以．同理，且與異號，
　　　　所以 ，
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　．
　　　　所以，的定值為．
方法二：由題意，當(dāng)時，（若：不妨設(shè)，加一分）
　　　　有，且，
　　　　所以，且，
　　　　所以，同理，
　　　　從而，
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　．
　　　　當(dāng)時，同理可得．
　　　　所以，為定值．
方法三：由題意直線過點，設(shè)方程為，將代入得點坐標(biāo)為，
由，消元得，
　　　 設(shè)，，則且，
　　　　因為，所以．
　　　　同理，且與異號，
　　　　所以，
　　　　　　　　　．
　　　　又當(dāng)直線與軸重合時，，
所以，為定值．
備用
1.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率，左右頂點分別為，且線段的長為，P為橢圓上一點且在第二象限，過點分別作，直線交于點C。
（1）求橢圓的方程；
（2）已知，求點的坐標(biāo).
解：（1）由題意得，解得，故.
所以橢圓M的方程是
（2）法一：設(shè)，則AC的方程為，BC的方程為.
由，得，因為，所以點C的坐標(biāo)為，
所以，所以，將代入得點的坐標(biāo)為。
法二：設(shè)的斜率為（）， ，
因為，所以的斜率為
得①
因為，所以，則AC的方程為
因為，所以，則BC的方程為。
由，得
，得帶入①式得點的坐標(biāo)為

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