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高三數(shù)學熱點專題—應(yīng)用題
1、如圖，有一個長方形地塊ABCD，邊AB為2km， AD為4 km.，地塊的一角是濕地(圖中陰影部分)，其邊緣線AC是以直線AD為對稱軸，以A為頂點的拋物線的一部分?，F(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC上一點P的直線型隔離帶EF，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上(隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計).設(shè)點P到邊AD的距離為t(單位:km)，△BEF的面積為S(單位: ).
（1）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域;
（2）是否存在點P，使隔離出的△BEF面積S超過3 并說明理由.
【設(shè)計意圖】三次函數(shù)模型，用導(dǎo)數(shù)求最值
【解答過程】 (1)如圖，以為坐標原點，所在直線為x軸，建立直角坐標系，
則點坐標為．
設(shè)邊緣線所在拋物線的方程為， 把代入，得，解得，
所以拋物線的方程為．因為， 所以過的切線方程為．
令，得；令，得，所以，
所以，定義域為．
(2)， 由，得，
所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以在上有最大值．
又因為，所以不存在點，使隔離出的△面積超過3．
2.如圖，某市政府門前有一塊不規(guī)則的地皮OABC，其中OA、OC、AB均為直線段，且OA⊥OC，曲線BC是頂點為C、對稱軸為CO的拋物線的一部分.經(jīng)測量得知：OA=OC=6百米，點B到OA和OC 的距離均為2百米.為了響應(yīng)城市綠化的號召，市政府規(guī)劃欲在該地皮上截下一塊矩形地皮OMPN來種植樹木，其余部分種植草坪，并且要求該矩形OMPN的兩邊OM、ON分別落在線段OA和OC上，其中頂點P在直線段AB和拋物線段BC上運動.設(shè)點P到OC的距離為x百米，記樹木種植區(qū)域（即矩形OMPN區(qū)域）的面積為S（單位：平方百米）.
⑴試求S關(guān)于x的函數(shù)解析式S=f(x)；
⑵試確定點P的位置，使得樹木種植區(qū)域的面積S最大，并求出S的最大值.
【設(shè)計意圖】分段函數(shù)模型，一段是二次函數(shù)，一段是三次函數(shù)。
本題考查分段函數(shù)、函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、直線和拋物線方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學建模能力和運算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力.其解決的關(guān)鍵是先通過審題，弄清題意，提取題干中的有用信息，進而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，先合理建系，求出直線段AB和拋物線段BC的方程，進而建立面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識求解最值.
【解答過程】
⑴以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A（6,0），B（2,2），C（0,6），于是線段AB的方程為（2≤x≤6）. 設(shè)曲線BC所在拋物線的方程為 (a<0)，
由題可知B（2,2）和C（0,6）在此拋物線上，所以b=6，4a+b=2，解得a=-1，b=6，
故拋物線段BC的方程為（0≤x≤2）.
當點P在拋物線段BC上時，P(x,-x2+6)，x∈(0,2]，矩形OMPN的面積S=f(x)=x(-x2+6)=-x3+6x，x∈(0,2]；
當點P在線段AB上時，則P(x,)，x∈(2,6)，矩形OMPN的面積S=f(x)= x()=.
綜上可得：
⑵①當x∈(0,2]時，S=f(x)=，，令，解得.
當時，，f(x)單調(diào)遞增；當時，，f(x)單調(diào)遞減.
所以，當x=時，S= f(x)取得最大值為f()=平方百米.
②當x∈(2,6)時，S=f(x) =，
所以當時，S= f(x)取得最大值為f(3)=平方百米.
又，所以當點P的坐標為（,4）時，S取得最大值為平方百米.
3、 如圖是一個儲油灌，它的下部是圓柱，上部是半球，半球的半徑等于圓柱底面半徑．
（1）若圓柱的底面直徑和高都是6米，求此儲油灌的容積和表面積；
（2）若容積一定，當圓柱的高與底的半徑的比是多少時，制造這種儲油灌的成本最低（即表面積最小）？
（球的表面積公式是，球的體積公式是，是球的半徑）
【設(shè)計意圖】分式函數(shù)模型，用導(dǎo)數(shù)求最值
【解答過程】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，
（1），，
所以容積（米3），
，，，
所以表面積（米2）；
（2）由，得，
所以，
，令，則時，
當時，遞減；當時，遞增；
所以時，有最小值，此時．
即圓柱的高與底半徑相等時，制造這種儲油灌的成本最低．
【評講建議】
4、某風景區(qū)擬沿著河邊選擇一點B，設(shè)計兩條游覽路線到達景區(qū)入口點A。路線1：從點A到點B架一條直線型空中纜車，每百米造價80萬元，每年可帶來收益200萬元；路線2：從點A到點B造一條“L”型觀光道路，即從點A步行到河邊點O，后沿河邊步行至點B，AO=20百米，AO與BO垂直，已知道路及兩旁設(shè)施每百米造價10萬元，道路兩邊的店面，每年每百米可得租金5萬元。試確定點B的位置，使得經(jīng)過10年，由這兩條游覽線路帶來的總利潤最大。
【設(shè)計意圖】三角函數(shù)模型，用導(dǎo)數(shù)求最值。
本題解決的關(guān)鍵是如何引入合適的變量，在長度與角度之間靈活選擇其一，
構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解決問題。
應(yīng)用題一直是高考中的“可怕題”，是學生心中的“痛”。近年來，江蘇高考應(yīng)用題趨于中檔題，只要認真審題，仔細計算，都是能得高分的。應(yīng)用題多數(shù)是結(jié)合解析幾何、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、不等式等知識解決問題，所以設(shè)計本題的意圖主要考查學生靈活引入自變量，構(gòu)造三角函數(shù)來解決問題。
【解答過程】設(shè)，則，設(shè)總利潤為y萬元，
則=
，令，則，當時，，當時，
所以，時，總利潤最大，此時百米
答：百米時，經(jīng)過10年，由這兩條游覽線路帶來的總利潤最大
【講評建議】學生的做法不乏是兩種，一種是設(shè)長度為自變量，得到一個含根式的函數(shù)關(guān)系；另一種則是設(shè)角度，得到一個三角函數(shù)。引導(dǎo)學生比較兩種不同的做法，分析兩種做法的利弊，進而選擇更有利于計算的三角函數(shù)來研究。
5. 圖1是某建筑工地的某塔吊圖片（塔吊是建筑工地上最常用的一種起重設(shè)備，又名“塔式起重機”），為了了解塔吊“上部”的一些結(jié)構(gòu)情況，學校數(shù)學興趣小組將塔吊“上部”的結(jié)構(gòu)進行了簡化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中A、D、E、B四點共線，通過測量得知起重臂BD 30米，平衡臂AD 8米，CA、CB均為拉桿. 由于起重臂達到了一定長度，在BD上需要加拉桿CE，且BE : ED 2 : 3. 記∠CAD ，∠CED .
(1) 若CD⊥AB，現(xiàn)要求 ≥ 2，問CD的長至多為多少米？
(2) 若CD不垂直于AB，現(xiàn)測得 30°， 15°，求CD的長.（選用下列參考數(shù)據(jù)進行計算：cos15°≈，sin15°≈，，結(jié)果保留根號的形式）
圖1 圖2
【設(shè)計意圖】20132017年應(yīng)用題解答題考查內(nèi)容分析：
2017年 2016年 2015年 2014年 2013年
題18 正棱柱、正棱臺的概念，正弦定理和余弦定理 題17 函數(shù)的實際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，棱錐和棱柱的體積 題17 函數(shù)的實際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 題18 直線的方程，直線交點坐標，兩點間的距離，點到直線的距離，解三角形，數(shù)學建模 題18 解三角形的實際應(yīng)用
本題主要考查正弦定理、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用. 這是本人為本校高一年級期中考試原創(chuàng)的一道應(yīng)用題，得分率不高，有較好的區(qū)分度，現(xiàn)拿出來與大家交流.
【要點解析】第(1)問中將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的不等關(guān)系，因為有垂直關(guān)系，且要求的長，經(jīng)過思考，正切函數(shù)應(yīng)該是首選；第(2)問中在多個三角形中，先后兩次使用正、余弦定理即可順利解決.
【講評建議】解決應(yīng)用題的首要環(huán)節(jié)是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，然后解決數(shù)學問題，最終來解決實際問題. 在評講中，第(1)問要引導(dǎo)學生對各種三角函數(shù)進行比較，在比較中感受為什么選擇正切函數(shù)進行轉(zhuǎn)化；第(2)問要引導(dǎo)學生強化審題，應(yīng)該抓住題目中的關(guān)鍵字、詞、句，弄清楚題中的已知事項，將題中的條件、一些量之間的關(guān)系標注在圖形中，了解題中敘述的是什么事情，要求的結(jié)果是什么，要“謀定思路而后動”.
【解答過程】(1) 記. 根據(jù)已知得，，，
，，所以， ……4分
解得. 因此，的長至多為6米. ……7分
(2) 在△ACE中，由已知，，AE 26，
由正弦定理得，所以. ……10分
在△CED中，由余弦定理得，
即
，
解得. 所以，CD的長約為米. ……15分
思路二：在△ACE中，由已知，，AE 26，
由正弦定理得，所以.……10分
在△CAD中，由余弦定理得，
即
，
解得. 所以，CD的長約為米. ……15分
6、在某城市街道上一側(cè)路邊邊緣某處安裝路燈，路寬為米，燈桿長4米，且與燈柱成角，路燈采用可旋轉(zhuǎn)燈口方向的錐形燈罩，燈罩軸線與燈的邊緣光線(如圖，)都成角，當燈罩軸線與燈桿垂直時，燈罩軸線正好通過的中點.
（1）求燈柱的高為多少米;
（2）設(shè)，且，求燈所照射路面寬度的最小值.
【設(shè)計意圖】三角函數(shù)模型，化歸為后用有界性求最值
2017年高考應(yīng)用題加大數(shù)學建模能力的培養(yǎng)，而數(shù)學建模能力一直是學生的軟肋，鑒于此，命制一道需要建立數(shù)學模型的綜合應(yīng)用題.本題融合立體幾何、解析幾何及三角函數(shù)的綜合題，目的為了培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型的能力.
要點解析：第（1）問利用算兩次思想建立方程，從而求出.第（2）問建立合適的平面直角坐標系，求出兩條直線的方程，根據(jù)方程求出兩點的坐標，從而建立目標函數(shù).
講評建議：在講解（2）的過程中與學生探討還有沒有除了解析法以外的解法，加強建模意識，培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型的綜合解決問題能力.
【解答過程】（1）連接， 設(shè)，則，
在直角中， ，在直角中， ，
則有，解得 ，在直角中， .
（注：方法較多，酌情給分）
（2）以為坐標原點， ，分別為軸，建立直角坐標系，則
，又
①若，，得
②若，則直線的方程為，則；
直線的方程為，則；
所以 ==
又，所以當且僅當時，取最小值；
綜合①②知，當時，取最小值。
類似題：
如圖，互相垂直的兩條公路交于O點，路邊有一塊空地OAB，OA=10m,OB=m,現(xiàn)要在挖一個湖（E、F在AB上，且不與A、B重合）使，其余部分綠化.
當E在距離A點4米處，求E,F兩點距離。
試確定E的位置，使綠化面積最大。
【設(shè)計意圖】三角函數(shù)模型，化歸為后用有界性求最值。
讓學生能夠合理設(shè)變量，強化正余弦定理，同時也要讓學生知道圖形問題還有解析法，并讓學生討論或回憶曾經(jīng)什么樣的題目可以用解析法
要點解析：三角求最值的幾個途徑
【解答過程】(1)由題得，中，
由余弦定理得
,中，
(2)設(shè)FOE面積為，中，，則
中，，則
即時，最小則綠化面積最大
答：當時，三角形BEF面積最小，綠化面積最大。
【評講建議】可以嘗試從長度，角度或解析法這三方面解題，讓學生比較哪個方法更好
7、為了豐富市民生活，該市政府在某山區(qū)投資開發(fā)了一旅游景點.如圖所示，在該旅游區(qū)的某一景點內(nèi)有兩座小山，其中一座山（山高為OB=110米）的山頂B處建有一座高為40米（即BC=40米）的吉祥塔.經(jīng)過水平地面上的一點A，沿另一座山的山坡鋪設(shè)了一條直線段形旅游觀光游覽道路，若該觀光道路所在的直線與水平底面所成的角為，且.若小明在觀光游覽道路上的某點P處觀看吉祥塔，視角為∠BPC.已知OA=100米，設(shè)點P到水平地面的距離為x（0⑴令=tan∠BPC，求關(guān)于x的函數(shù)解析式；
⑵當x為何值時，小明觀看吉祥塔的效果最好（即視角∠BPC最大）？
【設(shè)計意圖】本題考查函數(shù)、兩角和的正切公式、不等式在解決實際問題中的應(yīng)用，考查數(shù)學建模能力，考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.突破的關(guān)鍵：⑴構(gòu)造合適的直角三角形，利用兩角差的正切公式求出tan∠BPC的表達式；⑵適當換元，利用基本不等式求最值.利用基本不等式求函數(shù)的最值時，要緊抓其成立的條件，即“一正二定三相等”，避免出錯.
【解答過程】
⑴過點P分別作PQ⊥OA、PR⊥OB，垂足分別為Q、R，如下圖所示：
則PQ=x米，由可知AQ=2x米，所以PR=100+2x米，BR=110－x米，CR=150－x米，
所以，，(3分)
所以tan∠BPC=，
所以(0⑵欲使小明觀看吉祥塔的效果最好（即視角∠BPC最大），即使tan∠BPC最大，即使最大.令，則，所以，(10分)
要使達到最大，只須達到最小即可.當由基本不等式可得：
，(12分)，當且僅當且即時上式取等號，
故當時，最大，即當小明距水平地面30米高時，觀看吉祥塔的效果最好. (14分)
8、某人在一個塔上向空中扔回旋鏢（身高忽略不計），假設(shè)回旋鏢在一個平面內(nèi)運動，回旋鏢飛行軌跡如圖所示：
回旋鏢向斜上方在二次函數(shù)的部分曲線BC上運動，且曲線的最高點B到地面的最大距離為米.回旋鏢飛行至B點后開始回旋，改變了運動軌跡，在以點為圓心的圓上運動至地面上點，點在點的豎直下方，假設(shè)點到地面的距離為米（），且塔高.
（1）如果塔高米，回旋鏢落地處與塔之間的距離米，求曲線BC的方程；
（2）如果要求回旋鏢飛行的最大水平距離不超過米，求的取值范圍；
（3）若，求回旋鏢落地處與塔之間的距離的最大值.
（參考公式：若，則）
【設(shè)計意圖】回避了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的壓軸題中常見的3次函數(shù)和指對數(shù)函數(shù)問題，
應(yīng)用題通過一個實際生活中的案例構(gòu)造數(shù)學模型來解決問題，本題中涉及到
圓與拋物線，通過方程與函數(shù)結(jié)合圓的幾何性質(zhì)建立數(shù)學模型，利用基本不
等式和函數(shù)思想求范圍與最值。本題是回旋鏢投擲失敗的案例，還可以變形
為投擲成功回到投擲人的手里，這樣會再多出一條曲線，對學生的能力要求更高。
【解答過程】
（1）因為，解得. 此時圓，令，得，
所以，將點代入中，解得.
（2）因為圓的半徑為，所以，在中令，得，
則由題意知對恒成立，
所以恒成立，而當，即時，取最小值10，故，解得.
（3）當時，，又圓的方程為，令，得，
所以，從而，
又因為，令，得，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
從而當 時，取最大值為25.
答：當米時，的最大值為25米.

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