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高三數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題—數(shù)列
1、 已知數(shù)列為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，證明數(shù)列為等比數(shù)列
（3）在（2）的條件下，記中是否存在不同的三項(xiàng)按一定順序恰好成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的三項(xiàng)，不存在，說明理由
【選題意圖】
1、考查等差數(shù)列的基本量運(yùn)算或巧用性質(zhì)解題
2、和與項(xiàng)的關(guān)系，及證明等差等比的嚴(yán)密過程
【講評建議】
第（3）可以讓學(xué)生討論整數(shù)有解的方法和單調(diào)遞減數(shù)列的變化，猜想自己結(jié)論
【解答過程】
(1)
(2),兩式相減得 時(shí)，，得
為等比數(shù)列
（3） 為遞減數(shù)列
假設(shè)存在三項(xiàng)按一定順序成等差數(shù)列，則
即（*）
當(dāng)時(shí)，，
即，則，此時(shí)無解
當(dāng)時(shí)，（*）為 ，得
則（*）為，即，得
所以存在成等差數(shù)列
2、 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且滿足：．
（1）若，求a1的值；
（2）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【選題意圖】
本題考查等差數(shù)列的概念，考查給定和求通項(xiàng)的方法.
【講評建議】
考查學(xué)生運(yùn)算求解，探究分析，推理論證的能力．方程組的思想是解題的核心。
【解答過程】
解：（1）因?yàn)椋裕?br/>即，解得或．
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d．
因?yàn)椋?br/>所以， ①
， ②
． ③
②①，得，即， ④
③②，得，即， ⑤
⑤④，得，即．
若，則，與矛盾，故．
代入④得，于是．
因?yàn)椋裕?br/>所以，
即，整理得，
于是．
因?yàn)椋裕矗?br/>因?yàn)椋裕詳?shù)列{an}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
因此，．
3、 已知數(shù)列滿足a1=x,a2=3x,Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)，Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*).
(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，滿足,數(shù)列滿足cn=t2bn+2-tbn+1-bn（t是整數(shù)），若數(shù)列、前n項(xiàng)和分別為Bn與Cn，，當(dāng)Cn若對任意m,n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
【選題意圖】
考查等差、等比數(shù)列及用函數(shù)的方法研究數(shù)列；
【要點(diǎn)解析】
等差、等比數(shù)列及數(shù)列的單調(diào)性及周期性；
【講評建議】
突出數(shù)列是特殊的函數(shù)，重視由特殊到一般的方法；
【解答過程】
解:(1)因?yàn)镾n+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),
所以S3+S2+S1=14,
即a3+2a2+3a1=14.
又a1=x,a2=3x,
所以a3=14-9x.
又因?yàn)閿?shù)列{an}成等差數(shù)列,
所以2a2=a1+a3,即6x=x+(14-9x),解得x=1.
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*).
因?yàn)閍n=2n-1(n∈N*),
所以bn==22n-1>0,其前n項(xiàng)和Bn>0,
又因?yàn)閏n=t2bn+2-tbn+1-bn=(16t2-4t-1)bn,
所以其前n項(xiàng)和Cn=(16t2-4t-1)Bn,
所以Cn-Bn=2(8t2-2t-1)Bn.
當(dāng)-(2)由Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),知Sn+2+Sn+1+Sn=3(n+1)2+2(n∈N*),
兩式作差,得an+2+an+1+an=6n+3(n≥2,n∈N*),
所以an+3+an+2+an+1=6(n+1)+3(n∈N*),作差得an+3-an=6(n≥2,n∈N*).
所以,當(dāng)n=1時(shí),an=a1=x;
當(dāng)n=3k-1時(shí),an=a3k-1=a2+(k-1)×6=3x+6k-6=2n+3x-4;
當(dāng)n=3k時(shí),an=a3k=a3+(k-1)×6=14-9x+6k-6=2n-9x+8;
當(dāng)n=3k+1時(shí),an=a3k+1=a4+(k-1)×6=1+6x+6k-6=2n+6x-7;
依題意可知，對任意n∈N*,an故，解得
綜上，x的范圍是（）
4、 已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足：，，
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，，求滿足的所有的值；
（3）設(shè)數(shù)列 滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，問是否存在正整數(shù)m，k，使成立？若存在，求出m，k；若不存在，說明理由.
【設(shè)計(jì)意圖】
本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、考查錯(cuò)位相減法求和、列項(xiàng)法求和、考查數(shù)列的單調(diào)性和最值、考查不定方程整數(shù)解等．
【解題思路】
（1）因?yàn)?①， 所以 ②，
②-①得：，即
∵是正數(shù)數(shù)列∴∴是等差數(shù)列，其中公差為1，
令，得 ∴
由，得，
∴數(shù)列是等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，公比， ∴.
注：也可以累乘處理
（2）①， ②
∴②-①得：
∴
又∴ ，于是.
下面證明: 當(dāng)時(shí)，，可以研究數(shù)列的單調(diào)性，
事實(shí)上, 當(dāng)時(shí)，所以
又所以當(dāng)時(shí)，故滿足的所有k的值為2,3,4.
（3），所以裂項(xiàng)求和可得，
假設(shè)存在正整數(shù)m，k，使，則
或或
或 或.
【知識拓展】處理不定方程整數(shù)解的常用方法有：部分分式、因式分解、奇偶分析.本題就是用因式分解來處理.
5、 已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，且對恒成立，記數(shù)列 的前項(xiàng)和為.
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【選題意圖】
本題考查等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式；
考查分析探究及邏輯推理的能力.
【解答過程】
（1）證明：由，可知，所以，
當(dāng)時(shí)，，
即數(shù)列是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）法一, 由（1），同理可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
故當(dāng)時(shí)，
故當(dāng)時(shí)，．
．
又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，故有,對恒成立，
所以和對恒成立
即
對恒成立,
解得，， 此時(shí)也成立.所以，， 即得到．
法二,由（1），同理可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
故當(dāng)時(shí)，
要使得為等比數(shù)列必有為等比數(shù)列,即有成立①
故當(dāng)時(shí)，．
要使得為等比數(shù)列必有為等比數(shù)列,即有成立②
聯(lián)立①②得以下同解法一
法三,由（1），同理可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
故當(dāng)時(shí)，
故當(dāng)時(shí)，．
．
要使得為等比數(shù)列必有和
解得,通過驗(yàn)證時(shí), 為等比數(shù)列. 以下同解法一
6、 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
求的值，并證明為等比數(shù)列
設(shè)
求的最大項(xiàng)
是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由。
【選題意圖】
以最值與不定方程的形式考察數(shù)列方面的知識
【要點(diǎn)分析】
本題的知識點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義。考察學(xué)生解決數(shù)列綜合題的能力。
【講評建議】
數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系的分類討論思想，不定方程的求解策略。
【解答過程】
解：（1）由得
當(dāng)
又
所以是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列
由（1）知，所以
所以的最大項(xiàng)為
成等差數(shù)列，則
整數(shù)，所以
上式成立，則為奇數(shù),所以為偶數(shù)，
所以為偶數(shù)
猜想，下證明
構(gòu)造函數(shù)
則
當(dāng)
而
所以
所以
所以
即猜想成立
所以
所以僅有一解
7、 已知數(shù)列滿足關(guān)系：
（1）若是首相為1，公差為的等差數(shù)列. 求證：是等差數(shù)列.
（2）求所有的正整數(shù)，使得下述命題成立：
設(shè)是等差數(shù)列，若為有理數(shù)，則中至少有一個(gè)為有理數(shù)。
【選題意圖】
本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，考查分析探究及邏輯推理的能力.
【講評建議】
考查學(xué)生運(yùn)算求解，探究分析，推理論證的能力．講評時(shí)應(yīng)注意復(fù)習(xí)數(shù)列與數(shù)論交匯問題的常用處理方法。
【解答過程】
解答過程：
證明：（1）
由（1）-（2）相減，得
（2）
設(shè)數(shù)列的公差為d，則
若為有理數(shù)，為有理數(shù)，則為有理數(shù)。
當(dāng)
綜上，
8、已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為. 若數(shù)列對任意兩個(gè)不相等的正整數(shù)，都有，且，.
(1) 求的值；
(2) 求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(3) 在數(shù)列中是否存在某兩項(xiàng)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①它們是方程的兩根；②以它們?yōu)橹苯侨切蝺芍苯沁呴L時(shí)，斜邊長也是數(shù)列中的項(xiàng)？如果存在，求出這兩項(xiàng)；如果不存在，請說明理由．
【設(shè)計(jì)意圖】
20132017年數(shù)列解答題考查內(nèi)容分析：
2017年 2016年 2015年 2014年 2013年
題19 等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，數(shù)列的新定義問題 題20 數(shù)列的新定義問題，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和 題20 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 題20 數(shù)列的新定義問題，構(gòu)造法 題19 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用
本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力.
【要點(diǎn)解析】
第(1)問、第(2)問研究的思路都是賦值. 第(1)問賦的是確定的值，通過思考不難發(fā)現(xiàn)即可；第(2)問中，目標(biāo)是證明等差數(shù)列，首先考慮到用等，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于等的遞推關(guān)系式，當(dāng)經(jīng)過嘗試發(fā)現(xiàn)等在分母，使得式子的結(jié)構(gòu)變得非常復(fù)雜，難以處理！那能否通過兩次賦值使得一樣，而且中的是容易處理的. 這樣就確定了解題的方向. 這一問的另一個(gè)難點(diǎn)在于如何由想到“拆分”成，其實(shí)是目標(biāo)推動了我們的思考！我們想證明等差數(shù)列，一種方法是定義法，另一種方法是等差中項(xiàng)法. 運(yùn)用等差中項(xiàng)法，即證明①，②，①、②中含有的是，而中沒有，為此我們考慮將①、②中的消去，再將其與對比，這樣是否就為我們的“拆分”確立了方向？第(3)問是整數(shù)解問題.
【講評建議】在評講中，我們應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生如何去想？對于第(3)問，也可以將分離，即得，注意、均為整數(shù)，則應(yīng)該是8的約數(shù).
【解答過程】
(1) 在中，令，得，
即，所以，又，，所以. ………..2分
(2) 在中，取，得，①
同理得，②
由①②知，，即，……………..6分
即.
由(1)知，，所以，即，
所以，數(shù)列是等差數(shù)列. …………………………………………………..10分
(3) 由(1)、(2)可知，則為正整數(shù)，且要滿足條件①，則為完全平方數(shù)，
設(shè)，則整理為，
即 ……………..14分
解方程組得或
故兩項(xiàng)為5，12或6，8，均滿足條件②. …………………………………………..16分

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