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高三數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題—導(dǎo)數(shù)題
1、已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù))．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在正實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上的最大值為3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由。
設(shè)計(jì)意圖：考查函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想方法；
要點(diǎn)解析：突出分類討論的方法，重視函數(shù)圖象的應(yīng)用；
評(píng)講建議：評(píng)講第（2）問的關(guān)鍵在于抓住分界點(diǎn)及利用圖像研究單調(diào)性；
解答過程：（1）偶函數(shù)
（2）
綜上：
（3）當(dāng)時(shí)，
依題意： 或
2、已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為實(shí)數(shù)且為常數(shù)。
（1）如果關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；
（2）如果對(duì)于任意，都有，求的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上為減函數(shù)，若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。
【選題意圖】函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，其包涵的范圍非常廣泛。本題共三小題分別從函數(shù)與方程、恒成立及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行命題。
【要點(diǎn)解析】
（1）方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即：有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根,然后利用二次函數(shù)圖像或者根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答。
（2）令,等價(jià)于即對(duì)進(jìn)行研究。也可以對(duì)進(jìn)行討論轉(zhuǎn)化為，然后求出 的范圍。
（3）（法一）利用定義，作差比較。
，
因?yàn)?，，，所以，恒成立?br/>因?yàn)椋?br/>（法二）利用導(dǎo)數(shù)，
（法三）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【講評(píng)建議】
學(xué)生對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)比較全面，基礎(chǔ)比較扎實(shí)。教師在講評(píng)試卷過程中要注意發(fā)揮學(xué)生的主體性。每一題學(xué)生都有一定的思路，并且會(huì)有許多意想不到的好方法。所以盡量做到一題多解，一題多思，從而做到一題多獲。
【解答過程】
（1）方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即：有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根,記為，
所以，得；；. 所以.
（2）令,等價(jià)于即
當(dāng)，，不合題意
當(dāng)，，不合題意
當(dāng)，，所以，，即
綜上所述：
（3）依題意在恒正或恒負(fù)，由于是單調(diào)遞增函數(shù)，故應(yīng)有在恒成立，
即，，所以。
另一方面：，
要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，恒成立，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
由于是單調(diào)遞增函數(shù)，所以
綜上可得，存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上為減函數(shù)。
3.已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【設(shè)計(jì)意圖】
（Ⅰ）考查用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，考查二次問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法 難度：中下
（Ⅱ）考查用導(dǎo)數(shù)研究恒成立，可以將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題來處理 難度：中
【解答過程】
（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?
令，則或，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
綜上得：
當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，符合題意.
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，
所以恒成立等價(jià)于，即，即，所以.
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，
所以恒成立等價(jià)于，即，即，所以.
綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍是. ……………16分
【講評(píng)建議】
（Ⅰ）要點(diǎn)撥如何確定討論的分界點(diǎn)
（Ⅱ）要點(diǎn)撥恒成立問題的幾種常見方法，本題不好分離參數(shù)處理
4.已知函數(shù).
（1）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【設(shè)計(jì)意圖】
（Ⅰ）考查用導(dǎo)數(shù)研究方程根 難度：中下
（Ⅱ）考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，要借助“虛零點(diǎn)” 難度：中上
【解答過程】（1）方程，即.
令，則.
令，則（舍），. 當(dāng)x∈[1， 3]時(shí)，隨x變化情況如表:
x 1 3
＋ 0 －
極大值
∴當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，. ∴m的取值范圍是.
（2）據(jù)題意得對(duì)恒成立.
令，則.
令，則當(dāng)x＞0時(shí)，， ∴函數(shù)在上遞增.
∵，
∴存在唯一的零點(diǎn)c∈（0，1），且當(dāng)x∈（0，c）時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
∴當(dāng)x∈（0，c）時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
∴在（0，c）上遞減，在上遞增，從而.
由得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，∴.
∴，即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
5.已知函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù).
（1）求的零點(diǎn)；
（2）若，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若（），使得，求證：
【設(shè)計(jì)意圖】回避了2017年已經(jīng)考過的3次函數(shù)問題，綜合了指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)
（1）考查零點(diǎn)的概念 難度：容易題
（2）考查含有量詞的不等式問題 難度：中上
（3）考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式，需要構(gòu)建函數(shù)處理 難度：難題
【解答過程】
（1），所以，
令，則，因?yàn)?，所以，所以的零點(diǎn)為.
（2）由題意得，，使得成立，
即的最大值小于或等于的最大值
因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?br/>所以在上單調(diào)遞減，所以的最大值為
因?yàn)?，，令，則
極大值
所以的最大值為
所以，，即
（3）因?yàn)椋?br/>極大值
，，
所以不妨設(shè)，且，則
令（）
則，所以在上單調(diào)遞減
所以，所以即，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?br/>又，，在單調(diào)遞減
所以，所以
6、已知函數(shù)，
（1）若，求函數(shù)的最大值；
（2）若函數(shù)在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍
（3）若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍
【設(shè)計(jì)意圖】
（1）考查用導(dǎo)數(shù)研究最值 難度：容易題
（2）考查用導(dǎo)數(shù)研究極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想 難度：中檔題
（3）考查用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)，需要找點(diǎn) 難度：難題
【解答過程】（1）當(dāng)時(shí)，，所以
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為
（2），令，則或，
當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極小值，不符合；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減，所以不符合；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極大值，符合；
當(dāng)時(shí)，符合；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，符合；
綜上得：或
（3）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，所以僅有1個(gè)零點(diǎn)，不符合；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減，所以至多有1個(gè)零點(diǎn)，不符合；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，易證明，所以，
又，所以僅有1個(gè)零點(diǎn)，不符合；
當(dāng)時(shí)，僅有1個(gè)零點(diǎn)，不符合；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)的必要條件為，即，所以，下面驗(yàn)證充分性。
當(dāng)時(shí)，
取，則，又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
取，則，又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上得：
7． 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②證明：.
【設(shè)計(jì)意圖】
（1）考查用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想 難度：容易題
（2）考查用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)，需要找點(diǎn) 難度：中上
（3）考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式，需要構(gòu)建函數(shù)處理 難度：中上
【解答過程】（1）
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，則，
所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.
綜上得：
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件為，即，所以，下面驗(yàn)證充分性。
此時(shí)，，所以在上有唯一零點(diǎn)，
下面考慮在的情況，此時(shí)
為此我們先證:當(dāng)>時(shí),>,設(shè),則,再設(shè) ∴
當(dāng)>1時(shí),>-2>0,在上是單調(diào)增函數(shù)
故當(dāng)>2時(shí),>>0
從而在上是單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而當(dāng)>時(shí),>>0
即當(dāng)>時(shí),>,
此時(shí)，，所以在上有唯一零點(diǎn)，
所以
②函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，不妨設(shè)，則，
所以兩式相減得，
要證，只需證，只需證，只需證
只需證，只需證，令，即證
設(shè)，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，
則即得
【講評(píng)建議】
1、“”是“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”的必要不充分條件，
所以得到后要考慮充分性，要找點(diǎn)，找點(diǎn)對(duì)學(xué)生而言有一定難度。
2、證時(shí)先轉(zhuǎn)化為，然后點(diǎn)撥如何構(gòu)建函數(shù)，注意到齊次，就不難想到通過比值換元，令，下面轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均不等式，背景是極值點(diǎn)偏移問題
8.已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性；
（3）若存在正數(shù)，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
【設(shè)計(jì)意圖】
（Ⅰ）考查用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想 難度：中
（Ⅱ）考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，考查分段函數(shù)，要用到虛零點(diǎn) 難度：難
【解答過程】（1）
（2），，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕@時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，令得；令得.
此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.
綜上得：
當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.
（3）
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，且，所以對(duì)于任意的，.這時(shí)可化為，即.設(shè)，則，
令，得，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞減.又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，不符合題意.
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，且，所以存在，使得對(duì)于任意的都有.這時(shí)可化為，即.
設(shè)，則.
（i）若，則在上恒成立，這時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以?duì)于任意的都有，不符合題意.
（ii）若，令，得，這時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br/>所以對(duì)于任意的，都有，
此時(shí)取，對(duì)于任意的，不等式恒成立.
綜上，的取值范圍為.
【講評(píng)建議】
1、點(diǎn)撥如何去掉中的絕對(duì)值？
2、點(diǎn)撥注意借助
備用
8.已知函數(shù)，.
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；
（Ⅱ）判斷方程在區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)，說明理由；
（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.
【設(shè)計(jì)意圖】
（Ⅰ）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義 難度：易
（Ⅱ）考查用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，考查零點(diǎn)存在性定理 難度：中下
（Ⅲ）考查用導(dǎo)數(shù)研究極值，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 難度：中上
【解答過程】
（Ⅰ），. …………3分
（Ⅱ）設(shè)，.
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)為減函數(shù).又因?yàn)椋?
所以有且只有一個(gè)，使成立.
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
由于，即在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在兩側(cè)異號(hào).
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以在上，，即成立，函數(shù)為增函數(shù)；
在上， ，即成立，函數(shù)為減函數(shù),
則函數(shù)在處取得極大值.
當(dāng)時(shí)，雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，但在 兩側(cè)同號(hào)，不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)的要求.由于，顯然.
若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在兩側(cè)異號(hào)，
則只需滿足：即解得. ……………16分
【講評(píng)建議】
（Ⅰ）點(diǎn)撥僅有單調(diào)性不夠，還需要用零點(diǎn)存在性處理
（Ⅱ）點(diǎn)撥：在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于什么？

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