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(共27張PPT)
第一章 直角三角形
1.4.1角平分線的性質
01
教學目標
02
新知導入
03
新知講解
04
課堂練習
05
課堂小結
06
作業布置
01
教學目標
01
02
03
在探究角平分線的性質的過程中，發展幾何直覺.
提高綜合運用三角形全等的有關知識解決問題的能力.
初步了解角的平分線的性質在生活、生產中的應用.
02
新知導入
角平分線的概念
一條射線
把一個角
分成兩個相等的角，
這條射線叫做這個角的平分線。
o
B
C
A
1
2
03
新知探究
作法：1、以____為圓心，______長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于M、
N兩點；
2、分別以_____ 為圓心，大于__________的長為半徑作弧，兩條圓弧交于∠AOB內一點____；
3、作射線_____；
_____就是所求作∠AOB的平分線。
點O
任意
M、N
P
OP
OP
A
Ｂ
N
M
P
Ｏ
尺規作角的平分線
03
新知探究
猜想：
角平分線的性質
折一折
03
新知探究
將AOB對折,在折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么猜想
角平分線上的點到角的兩邊的距離相等
03
新知探究
如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，試問PD與PE相等嗎？
探究
PD=PE
你能證明這個結論嗎？
03
新知探究
∵ OC是∠AOB的平分線
∴ ∠DOP= ∠EOP
∵ PD ⊥OA， PE⊥ OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
在△PDO 和△PEO 中，
∵ ∠PDO = ∠PEO，
∠DOP= ∠EOP，
OP= OP，
∴ △PDO≌△PEO.(AAS)
∴ PD = PE.
證明：
03
新知探究
結論：
角平分線的性質定理
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
幾何語言：
∵ OC是∠AOB的平分線
PD ⊥OA， PE⊥ OB
∴ PD = PE
(角的平分線上的點到角的兩邊距離相等)
03
新知探究
定理應用所具備的條件：
(1)角的平分線；
(2)點在該平分線上
(3)垂直距離
定理的作用：
證明線段相等
03
新知探究
思考：
角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上嗎？
如圖，點P在∠AOB的內部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別在點D，E.若PD=PE.
求證：點P在∠AOB的平分線上
03
新知探究
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°.
在 Rt△PDO和 Rt△PEO中，
∵ OP=OP，PD=PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.
∴ ∠AOC =∠BOC.
∴ OC 是∠AOB 的平分線，即點 P 在∠AOB 的平分線 OC 上.
如圖 ， 過點 Ｏ， Ｐ 作射線 ＯＣ.
證明：
03
新知探究
結論：
角平分線的性質逆定理
角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
幾何語言：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB
PD = PE
∴OC是∠AOB的平分線
新課探究
例1
如圖，∠BAD=∠BCD=90 °， ∠1=∠2.
（1）求證：點B在∠ABC的平分線上。
（2）求證：BD是∠ABC的角平分線。
A
B
C
D
1
2
03
新知講解
證明（1）在△ABC中，
∵ ∠ 1=∠2
∴BA=BC
又BA ⊥AD，BC ⊥CD
∴點B在∠ABC的平分線上。
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵BA=BC，BD=BD
∴Rt△BAD≌Rt△BCD
∴ ∠ABD=∠CBD
∴BD是∠ABC的平分線。
04
課堂練習
【知識技能類作業】必做題：
1 .如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為 D，E，下列結論錯誤的是（　　）
A、PD＝PE　 B、OD＝OE　
C、∠DPO＝∠EPO　 D、PD＝OD
2.在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，點D到AB的距離為6，則BC長為（　　）
A．10 B．20 C．15 D．25
D
C
04
課堂練習
【知識技能類作業】選做題：
5、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E．
求證：AC=AE
04
課堂練習
【知識技能類作業】選做題：
證明：∵在△ABC中，∠C=90°，
AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△ AED中
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE
04
課堂練習
【綜合拓展類作業】
6.要在S區建一個集貿市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處500米，應建在何處？(比例1:20000)
05
課堂小結
角平分線的性質
的點
到角的兩邊距離相等
在角平分線上
提供了兩個角相等的依據
提供了兩條線段相等的依據
(性質定理)
(判定定理)
06
作業布置
【知識技能類作業】必做題：
3、如圖 ，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上一個動點，若PA=3，則PQ的最小值為　 　．
3
4、如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分 線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，作PE⊥AB 于點E．若PE=2，則兩平行線AD與BC間的距離為　 　．
4
06
作業布置
【知識技能類作業】選做題：
已知，如圖，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：DE=DF
證明：連接AD
在△ACD和△ABD中，

∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
06
作業布置
【綜合拓展類作業】
如圖，E 是∠AOB 的平分線上一點，EC⊥OA 于點C，ED⊥OB 于點D.
求證：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
證明 （1）∵ 點E在∠BOA的平分線上，
EC⊥AO，ED⊥OB ，
∴ ED =EC.
∴ △EDC 是個等腰三角形.
∴ ∠ECD=∠EDC.
06
作業布置
【綜合拓展類作業】
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，
∵ OE= OE， ED = EC，
∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴ OD=OC.
Thanks!
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