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(共20張PPT)
§2.3.3 點到直線的距離公式
版本：人民教育出版社A版選擇性必修第一冊
創(chuàng)設情境 導入新知
濟南市某創(chuàng)投基地二期工程建設即將開工，為了施工方便，需要在倉庫和公路之間修一條路來運送物資，那么這條路至少需要多少千米？
在平面直角坐標系中，如何求點 P 到直線 l 的距離
問題
x
y
P(1,3)
l: y = 1
O
圖1
x
y
P(1,3)
l: x= -1
O
圖2
x
y
P(-1,2)
l:
O
圖3
Q
動手操作 合作探究
在平面直角坐標系中，如何求點 P (-1 , 2) 到直線 l : 的距離
請同學們先獨立思考、自主計算，然后小組合作交流，說一說你們都用到了哪些方法。
最后請每個小組由一名學生代表展示計算方法。
合作探究
x
y
P(-1,2)
l:
O
圖3
Q
動手操作 合作探究
x
y
P(-1,2)
l:
O
圖3
Q
交點法
點到直線的距離
兩點間距離
在平面直角坐標系中，如何求點 P (-1 , 2) 到直線 l : 4x+3y-12=0的距離
動手操作 合作探究
等積法
x
y
P(-1,2)
l:
O
圖3
Q
M
N
在平面直角坐標系中，如何求點 P (-1 , 2) 到直線 l : 4x+3y-12=0的距離
§2.3.3 點到直線的距離公式
版本：人民教育出版社A版選擇性必修第一冊
引申推廣 發(fā)現(xiàn)規(guī)律
在平面直角坐標系中，已知點 P (x0 , y0) ，直線 l : ，
如何求點 P 到直線 l 的距離
追問1
l:
x
y
O
P( x0 , y0 )
Q
d
1. 定垂線
2. 找交點
3. 代公式
交點法
直線 PQ ：
引申推廣 發(fā)現(xiàn)規(guī)律
1.求出垂線段 PQ所在直線方程
2. 聯(lián)立直線 l 與 PQ 的方程，求出交點 Q 坐標
設點Q坐標為( m , n )
解出 m , n
l
x
y
O
P( x0 , y0 )
Q
d
當A = 0時:
直線 PQ : y =
當A 0時:
引申推廣 發(fā)現(xiàn)規(guī)律
3. 代入兩點間距離公式求得
點 P ( x0 , y0 ) , 點Q( m , n )
1
2
PQ =
化簡
l
x
y
O
P( x0 , y0 )
Q
d
數(shù)形結(jié)合 探究新知
為什么交點法的計算量那么大呢？
追問2
垂足 Q 的坐標計算量較大!
如何更便捷的推導出點到直線的距離公式？
追問3
l:
x
y
O
P( x0 , y0 )
Q
d
自主探究
小組合作
數(shù)形結(jié)合 探究新知
l
x
y
O
P( x0 , y0 )
Q
d
設點Q (x1 , y1)，則
①和②分別平方后相加得:
（） =
②
①
設而不求
整體代換
d = =
數(shù)形結(jié)合 探究新知
是否還有更簡便的方法推導出點到直線的距離公式？
追問3
滿足
l:
x
y
O
P( x0 , y0 )
( x , y )Q
H
d
d = PQ ·
數(shù)形結(jié)合 探究新知
d = PQ ·
數(shù)量積
轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積去計算
=
反向時
同向時
θ
π-θ
=
=
d = ·
x
y
O
l:
H
P( x0 , y0 )
( x , y )Q
d
數(shù)形結(jié)合 探究新知
=
d = PQ ·
=
=
=
=
d = ·
= ·
=
=
=
d =
x
y
O
l:
H
P( x0 , y0 )
( x , y )Q
[
d
,
=
d ·
向量法
=
勇于探索 傳承精神
交點法
運算量比較大，但這是數(shù)學史上出現(xiàn)的較早方法。
美國數(shù)學學者戴維斯早在 1836年在《解 析幾何》 一書中就采用了交點法推導出點到 直線距離公式．
向量法
在20世紀 40 年 代，向量知識逐漸出現(xiàn)在教科書中。
1948 年， 美國數(shù)學家默納漢利用向量法求得點到直線 的距離.
20世紀 George Gibon 在楊格的基礎上—“設而不求”法
19世紀,英國數(shù)學家托德亨特將—“三角法”
20世紀,美國數(shù)學家泰勒—“函數(shù)法”
19世紀末,英 國數(shù)學家約翰斯頓—“面積法”
英國數(shù)學家楊格簡化了“交點法”的運算
“教材中定理和公理的敘述，是數(shù)學家因經(jīng)歷艱苦的探索，字斟句酌的結(jié)果． ” ——克萊
“優(yōu)化運算路徑”
在平面直角坐標系中，如何求點 P (-1 , 2) 到直線 l : 4x+3y-12=0的距離
典型精解 小試牛刀
d =
解：
將點 P 代入點到直線距離公式，得：
由題可得：A = 3 B = 3 C = -12.
= = 2
答：倉庫到公路之間的小路至少需要2千米.
歸納小結(jié) 總結(jié)提升
直觀想象
數(shù)學抽象
邏輯推理
數(shù)學運算
核心素養(yǎng)
……
向量法
交點法
點到直線的距離公式
化歸
設而不求
數(shù)形結(jié)合
由特殊到一般
整體代換
思想方法
作業(yè)反饋 能力提升
必做題
課本77頁練習：
第1題
第2 題(1) (3)
選做題
導學案118頁：
1、3、4、7
開放性：單元整體項目化作業(yè)
本節(jié)課我們圍繞點到直線的距離，具體展開探究了點到直線距離公式。參照之前對兩點間距離公式以及本節(jié)課的學習內(nèi)容，對于直線與直線之間的距離你會探究嗎？
以興趣小組為單位，結(jié)合所學習內(nèi)容，完成作業(yè)。
《關于距離…》
感謝各位評委專家

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