資源簡介

2024-2025 學年九年級期末測試卷
數學
一．選擇題
1. 下列式子中，是最簡二次根式的是（ ）
A. 21 B.
1
12 C. D. 32
2
2. 一元二次方程 x2 3x 0的解是（ ）
A. x 3 B. x1 0, x2 3 C. x1 0, x2 3 D. x1 0, x2 3
3. 若 2a 5b a 0 a b， 值為（ ）
a b
3 3 3 7
A. B. C. D.
7 7 5 3
4. 學校要組織籃球邀請賽，賽制采用雙循環制（每兩隊之間要進行兩場比賽）．計劃安排56場比賽，應邀
請多少個球隊參加比賽？設邀 x個球隊參賽，根據題意列方程正確的是（ ）
1
A. x x 1 56 1B. x x 1 56
2 2
C. x x 1 56 D. x x 1 56
5. 三張外觀相同的卡片分別標有數字 1、2、3，從中同時隨機抽出兩張，所有等可能的結果有（ ）
A. 12種 B. 6種 C. 4種 D. 3種
6. 如圖，點 A在線段 BD上，在 BD的同側作30o角的直角三角形 ABC和30o角的直角三角形 ADE，CD與
BE，AE分別交于點 P，M，連接 PA對于下列結論：
①△BAE∽△CAD；②MP MD MA ME；③圖中有 5對相似三角形；④ AP CD其中結論正確的
個數是（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
7. 規定：對于任意實數 a、b、c，有【a，b】★c ac b，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如
【2，3】★1 2 1 3 5．若關于 x的方程【x, x 1】★ mx 0有兩個不相等的實數根，則 m的取值范
圍為（ ）
m 1 1A. B. m C. m 1 1 且m 0 D. m 且m 0
4 4 4 4
8. 直線 y＝3x與 x軸正半軸的夾角的銳角為α，那么下列結論正確的是( )
1
A. tanα＝3 B. tanα＝ C. sinα＝3 D. cosα＝3
3
9. 已知函數 y x2 4ax 5（a為常數），當 x 4時，y隨 x增大而增大．P x1, y1 ,Q x2 , y2 是該函數
2
圖象上的兩點，對任意的 2a 1 x1 5和 2a 1 x2 5， y1, y2 總滿足 y1 y2 5 4a ，則實數 a的取
值范圍是（ ）
A. 1 a 2 B. 1 a 2 C. 2 a 3 D. 2 a 4
10. 如圖，菱形 ABCD∽菱形 AEFG，菱形 AEFG的頂點 G在菱形 ABCD的 BC邊上運動，GF 與 AB相
交于點 H， E 60 ，若CG 6， AH 14，則菱形 ABCD的邊長為（ ）
A. 18 3 B. 16 3 C. 18 D. 16
二．填空題
11. 3 tan 30 tan 45 2sin 60 ______．
12. 如圖，已知點M a,b 是函數 y x2 x 2圖象上的一個動點.若 a 1，則b的取值范圍是
__________.
13. 在如圖的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點處， AB與CD
相交于 O，則 cot BOD的值等于________．
14. 如圖 1，在矩形 ABCD中，動點 P從點 B出發，沿 B C D A的路徑勻速運動到點 A處停止．設
點 P運動路程為 x， PAB的面積為 y，表示 y與 x的函數關系的圖象如圖 2所示；則下列結論：① a 4；
②b 20；③當 x 9時，點 P運動到點 D處；④當 y 9時，點 P在線段 BC或DA上，其中所有正確結
論的序號的是________．
15. 用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖 1，在Rt△ABC中， ACB 90 ， B 30 ，AC 2．第
一步，在 AB邊上找一點 D（不與點 A，B重合），將紙片沿CD折疊，點 A落在 A 處，如圖 2；第二步，
將紙片沿CA 折疊，點 D落在 D 處，如圖 3．當點D 恰好落在直角三角形紙片的邊上時，線段 A D 的長
為________．
三．解答題
0
16. （1）計算： 6 3 2 8 2cos 45 1 1 20212
（2）用公式法解方程： x2 2x 4 0
17. 圖①、圖②、圖③均是 5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為 1，其頂點稱為格點，V ABC的
頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）網格中V ABC 的形狀是 ．
（2）在圖①中確定一點 D，連結DB、DC，使△DBC與V ABC全等．
（3）在圖②中V ABC的邊 BC上確定一點 E，連結 AE，使 ABE∽ CBA．
（4）在圖③中V ABC 的邊 上確定一點 P，在邊 BC上確定一點 Q，連結 PQ，使△PBQ∽△ABC ，且
相似比為3:5．
18. 一個盒子中裝有 1個紅球、1個白球和 2個藍球，這些球除顏色外都相同.
（1）從盒子中任意摸出一個球，恰好是白球的概率是 ；
（2）從中隨機摸出一個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出一個球，試用樹狀圖或表格列出所以可能
的結果，并求兩次摸到的球的顏色能配成紫色的概率.（紅色和藍色在一起可配成紫色）
（3）往盒子里面再放入一個白球，如果從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再從中隨機摸出一個球，
那么兩次摸到的球的顏色能配成紫色的概率是 .
19. 已知二次函數 y1 ax x m a 0 和一次函數 y2 ax b a 0 ．
（1）二次函數 y1的圖象過 1,0 , 2,2 點，求二次函數的表達式；
（2）若一次函數 y2與二次函數 y1的圖象交于 x軸上同一點，且這個點不是原點．
①求證：b am；
②若兩個函數圖象的另一個交點為二次函數的頂點，求 m的值．
20. 疫情突發，危難時刻，從決定建造到交付使用，雷神山、火神山醫院僅用時十天，其建造速度之快，充
分展現了中國基建的巨大威力！這樣的速度和動員能力就是全國人民的堅定信心和盡快控制疫情的底氣！
改革開放 40年來，中國已經成為領先世界的基建強國，如圖①是建筑工地常見的塔吊，其主體部分的平面
示意圖如圖②，點 F在線段 HG上運動，BC∥HG，AE⊥BC，垂足為點 E，AE的延長線交 HG于點 G，經
測量∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求線段 AG的長度；（結果精確到 0.1m）
（2）連接 AF，當線段 AF⊥AC時，求點 F和點 G之間的距離．（結果精確到 0.1m，參考數據：tan11°≈0.19，
tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
21. 新華商場銷售某種電子產品，每個進貨價為 40元，調查發現，當銷售價格為 60元時，平均每天能銷售
100個；當銷售價每降價 1元時，平均每天多售出 10個，該商場要想使得這種電子產品的銷售利潤平均每
天達到 2240元．
（1）每個電子產品的價格應該降價多少元？
（2）在平均每天利潤不變的情況下，為盡可能贏得市場，需要讓利于顧客，該商場應該將該電子產品按照
幾折優惠銷售？
（3）當定價為多少時，商場每天銷售該電子產品的利潤最大？最大利潤是多少？
BC AB
22. 我們知道：如圖①，點 B把線段 AC分成兩部分，如果 ，那么稱點 B為線段 AC的黃金分
AB AC
5 1
割點．它們的比值為 ．
2
（1）在圖①中，若 AC 20cm，則 AB的長為 cm；
（2）如圖②，用邊長為 20cm的正方形紙片進行如下操作：對折正方形 ABCD得折痕 EF ，連接CE，將
CB折疊到CE上，點 B對應點 H，得折痕CG．試說明：G是 AB的黃金分割點；
（3）如圖③，小明進一步探究：在邊長為 a的正方形 ABCD的邊 AD上任取點 E AE DE ，連接 BE ，
作CF BE，交 AB于點 F，延長 EF、CB交于點 P．他發現當 PB與 BC滿足某種關系時，E、F恰好
分別是 AD、 AB的黃金分割點．請猜想小明的發現，并說明理由．
x 2 x 2
23. 有這樣一個問題：探究函數 y 的圖象和性質．小軍根據學習函數的經驗，對函數 y 的
2 x 2 x
圖象和性質進行了探究．下面是小軍的探究過程，請補充完整：
（1）函數 y x 2 的自變量 x的取值范圍是 ：
2 x
（2）下表是 y與 x的幾組對應值：
1
x … 5 1 4 3 2 1 2 1 2 3 4 5 …2
29 5 13 5 17 17 5 5 29
y … 2 2 m …
10 2 6 2 4 4 2 2 10
①其中，m ；
②如圖，在平面直角坐標系 xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，請根據描出的點，畫出該函
數的圖象；
（3）進一步探究發現，該函數圖象在第一象限內的最低點的坐標是 2,2 ．結合函數圖象，寫出該函數的
其它性質（寫出一條即可）： ．
x 2 5
（4）結合函數圖象，請直接寫出 時，x的取值范圍： ．
2 x 22024-2025 學年九年級期末測試卷
數學
一．選擇題（共 10 小題，滿分 30 分，每小題 3 分）
1. 下列式子中，是最簡二次根式的是（ ）
A. 21 B. 12 C.
1 D. 32
2
【答案】A
【解析】
【分析】根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A、 21是最簡二次根式，故此選項符合題意；
B、 12 2 3，故此選項不符合題意；
C 1 2、 ，故此選項不符合題意；
2 2
D、 32 4 2 ，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查最簡二次根式的定義．根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）
被開方數不含分母；（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式．
2. 一元二次方程 x2 3x 0的解是（ ）
A. x 3 B. x1 0, x2 3 C. x1 0, x2 3 D. x1 0, x2 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據因式分解法即可求出答案
【詳解】解：∵ x2 3x 0，
∴ x( x 3) 0，
∴ x1 0, x2 3，
故選：D．
【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．
2a 5b a 0 a b3. 若 ， 值為（ ）
a b
3 3 3 7
A. B. C. D.
7 7 5 3
【答案】D
【解析】
b 2【分析】本題考查了比例的性質，由題意可得 a，代入計算即可得解，熟練掌握比例的性質是解此題
5
的關鍵．
【詳解】解：∵ 2a 5b，
∴b 2 a，
5
2 7
a b a a a
5 5 7∴
a b a 2
3 ．
a a 3
5 5
故選：D．
4. 學校要組織籃球邀請賽，賽制采用雙循環制（每兩隊之間要進行兩場比賽）．計劃安排56場比賽，應邀
請多少個球隊參加比賽？設邀 x個球隊參賽，根據題意列方程正確的是（ ）
1 1
A. x x 1 56 B. x x 1 56
2 2
C. x x 1 56 D. x x 1 56
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關鍵是讀懂題意，得到總場數的等量關
系．賽制為雙循環形式（每兩隊之間都賽兩場）， x個球隊比賽總場數為 x x 1 ，即可列方程．
【詳解】解：設有 x個隊，每個隊都要賽 x 1 場，
由題意得： x x 1 56，
故選：C．
5. 三張外觀相同的卡片分別標有數字 1、2、3，從中同時隨機抽出兩張，所有等可能的結果有（ ）
A. 12種 B. 6種 C. 4種 D. 3種
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了列舉法求等可能結果，根據題意列舉所有等可能結果，即可求解．
【詳解】解：從中同時隨機抽出兩張，所有等可能結果為：1、 2；1、3； 2、3這 3種結果，
故選：D．
6. 如圖，點 A在線段 BD上，在 BD的同側作30o角的直角三角形 ABC和30o角的直角三角形 ADE，CD與
BE，AE分別交于點 P，M，連接 PA對于下列結論：
①△BAE∽△CAD；②MP MD MA ME；③圖中有 5對相似三角形；④ AP CD其中結論正確的
個數是（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】C
【解析】
AB AE 3
【分析】如圖，設 AC與 PB的交點為 N，根據直角三角形的性質得到 ，根據相似三角形
AC AD 2
的判定定理得到△BAE∽△CAD，故①正確；根據相似三角形的性質得到∠BEA=∠CDA，推出
△PME∽△AMD，根據相似三角形的性質得到 MP MD=MA ME，故②正確；由相似三角形的性質得到
∠APM=∠DEM=90°，根據垂直的定義得到 AP⊥CD，故④正確；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，
于是得到圖中有 5對相似三角形有 6對，故③不正確．
【詳解】解：如圖，設 AC與 PB的交點為 N，
∵∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，
AB AE 3
∴ ，∠BAE=30°+∠CAE，∠CAD=30°+∠CAE，
AC AD 2
∴∠BAE=∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，故①正確；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA=∠CDA，
∵∠PME=∠AMD，
∴△PME∽△AMD，
PM ME
∴ ，
MA MD
∴MP MD=MA ME，故②正確；
PM AM
∴ ，
ME MD
∵∠PMA=∠EMD，
∴△APM∽△DEM，
∴∠APM=∠DEM=90°，
∴AP⊥CD，故④正確；
同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，
∵△ABC∽△AED，
∴圖中有 5對相似三角形有 6對，故③不正確；
故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
7. 規定：對于任意實數 a、b、c，有【a，b】★c ac b，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如
【2，3】★1 2 1 3 5．若關于 x的方程【x, x 1】★ mx 0有兩個不相等的實數根，則 m的取值范
圍為（ ）
1
A. m B. m 1 1 C. m 且m 0 1D. m 且m 0
4 4 4 4
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據題意得到mx2 x 1 0，再由有兩個不相等
的實數根得到 12 4 m 1 0，且m 0，即可得到答案.
【詳解】解：∵【x, x 1】★ mx 0，【a，b】★c ac b
∴ x mx x 1 0，即mx2 x 1 0，
∵關于 x的方程【x, x 1】★ mx 0有兩個不相等的實數根，
∴ 12 4 m 1 0，且m 0，
m 1解得 且m 0，
4
故選：D．
8. 直線 y＝3x與 x軸正半軸的夾角的銳角為α，那么下列結論正確的是( )
1
A. tanα＝3 B. tanα＝ C. sinα＝3 D. cosα＝3
3
【答案】A
【解析】
【分析】根據題意結合一次函數圖象上點的坐標性質得出 AB，OB的長，再利用銳角三角函數關系得出答
案．
【詳解】如圖所示：AB⊥x軸于點 B，
∵y=3x，A點在 y=3x的圖象上，
∴設 BO=x，則 AB=3x，
AB 3x
故 tanα= = =3．
OB x
故選 A．
【點睛】此題主要考查了銳角三角函數關系以及一次函數的圖象上點的性質，正確把握相關定義是解題關
鍵．
9. 已知函數 y x2 4ax 5（a為常數），當 x 4時，y隨 x增大而增大． P x1, y1 ,Q x2 , y2 是該函數
圖象上的兩點，對任意的 2a 1 x1 5和 2a 1 x2 5， y1, y2 總滿足 y1 y2 5 4a
2
，則實數 a的取
值范圍是（ ）
A. 1 a 2 B. 1 a 2 C. 2 a 3 D. 2 a 4
【答案】B
【解析】
b 4a
【分析】拋物線的對稱軸為 x 2a，當 x 4時，y隨 x增大而增大．由1 0，拋物線開口
2a 2
向上，在對稱軸右側，y隨 x的增大而增大，拋物線對稱軸在 x=4及左側， 2a 4 ,解得 a 2，對任意的
2a 1 x1 5
2
和 2a 1 x2 5， y1, y2 總滿足 y1 y2 5 4a ，由 2a 1 2a， y1 y2 差的最大值是
2a 1 x 5上的最大值與最小值的差，拋物線的最小值為 y2=5 4a2，拋物線的最大值為，x=5時，
y 21=5 4a 5 5=30-20a，可得30-20a - 5 4a2 5 4a2 ，解得 a 1，可得實數 a的取值范圍是
1 a 2．
b 4a
【詳解】解：拋物線的對稱軸為 x 2a，
2a 2
當 x 4時，y隨 x增大而增大．
∵1 0，拋物線開口向上，在對稱軸右側，y隨 x的增大而增大，
∴ 2a 4，
解得 a 2，
對任意的 2a 1 x1 5和 2a 1 x2 5， y1, y2 總滿足 y1 y2 5 4a
2
，
∵ 2a 1 2a，
∴ y1 y2 差的最大值是 2a 1 x 5上的最大值與最小值的差，
把拋物線配方得： y x2 4ax 5 x 2a 2 5 4a2，
在 2a 1 x 5區間內，
拋物線的最小值為 y2=5 4a2，
拋物線的最大值為，x=5時，y1=52 4a 5 5=30-20a，
∵ y1, y2總滿足 y1 y2 5 4a
2
，
∴30-20a - 5 4a2 5 4a2 ，
解得 a 1，
∴實數 a的取值范圍是1 a 2，
故選擇：B．
【點睛】本題考查拋物線中參數的范圍，掌握拋物線的對稱軸，拋物線的增減性，拋物線的最大值與最小
值，一元一次不等式．
10. 如圖，菱形 ABCD∽菱形 AEFG，菱形 AEFG的頂點 G在菱形 ABCD的 BC邊上運動，GF 與 AB相
交于點 H， E 60 ，若CG 6， AH 14，則菱形 ABCD的邊長為（ ）
A. 18 3 B. 16 3 C. 18 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，連接 AC，證明
V ABC是等邊三角形，設 AB BC AC a ，則 BH a 14，BG a 6，再證明 BGH∽ CAG，
由相似三角形的性質求解即可．
【詳解】解：連接 AC．
∵菱形 ABCD∽菱形 AEFG，
∴ B E AGF 60 ， AB BC，
∴V ABC是等邊三角形，
設 AB BC AC a ，則 BH a 14，BG a 6，
∴ ACB 60 ，
∵ AGB AGH BGH ACG CAG ，
∵ AGH ACG 60 ，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵ B ACG，
∴ BGH∽ CAG，
BG BH
∴ ，
AC CG
a 6 a 14
∴ ，
a 6
∴ a2 20a 36 0，
∴ a 18或 2（舍棄），
∴ AB 18，
故選：C．
二．填空題（共 5 小題，滿分 15 分，每小題 3 分）
11. 3 tan 30 tan 45 2sin 60 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】將各特殊角的三角函數值代入即可得出答案．
【詳解】解：原式 3 3 3 1 2
3 2
3 1 3
1．
故答案為：1．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，熟練記憶一些特殊角的三角函數值是關鍵．
12. 如圖，已知點M a,b 是函數 y x2 x 2圖象上的一個動點.若 a 1，則b的取值范圍是
__________.
9
【答案】0 b
4
【解析】
【分析】根據 a 1得-1＜a＜1，再根據二次函數的解析式求出對稱軸，再根據函數的圖像與性質即可求解.
【詳解】∵ a 1
∴-1＜a＜1，
y b 1∵函數 x2 x 2對稱軸 x=
2a 2
9
∴當 a= 12 ，y有最大值 4
當 a=-1時， y ( 1)2 1 2 0
9
∴則b的取值范圍是0 b
4
9
故填：0 b .
4
【點睛】此題主要考查二次函數的圖像與性質，解題的關鍵是根據題意函數圖像進行求解.
13. 在如圖的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點處， AB與CD
相交于 O，則 cot BOD的值等于________．
1
【答案】
3
【解析】
【分析】本題考查了平移的性質、解直角三角形、勾股定理，平移CD到C D 交 AB于O ，則
BO D BOD，推出 cot BO D cot BOD ，設每個小正方形的邊長為 a，則
O B a2 2a 2 5a，O D 2a 2 2a 2 2 2a，BD 3a，作 BE O D 于點 E，由等面
BE 3 2 a O E 2積法得出 ，再求出 a即可得解．
2 2
【詳解】解：平移CD到C D 交 AB于O ，如圖所示，
則 BO D BOD，
∴ cot BO D cot BOD，
設每個小正方形的邊長為 a，
則O B a2 2a 2 5a，O D 2a 2 2a 2 2 2a， BD 3a，
1 1
作 BE O D 于點 E，則 S O BD BD O F O D BE ，2 2
∴ BE 3 2 a
2
∴O E O B 2 2 BE 2 a ，
2
2
a
∴ cot BOD cot BO E
O E 1
2 ，
BE 3 2 3a
2
1
故答案為： ．
3
14. 如圖 1，在矩形 ABCD中，動點 P從點 B出發，沿 B C D A的路徑勻速運動到點 A處停止．設
點 P運動路程為 x， PAB的面積為 y，表示 y與 x的函數關系的圖象如圖 2所示；則下列結論：① a 4；
②b 20；③當 x 9時，點 P運動到點 D處；④當 y 9時，點 P在線段 BC或DA上，其中所有正確結
論的序號的是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】先結合圖①由圖 2為等腰梯形可得 a的值，則可求得 AB與CD的值；再根據三角形的面積公式可
得 b的值；然后結合圖形可知當 x=9時，點 P運動到點 D處；最后根據圖 1及圖 2中的 b值，可得當 y 9
時，點 P在線段 BC或DA上，從而問題得解．
【詳解】解： 動點 P從點 B出發，沿 B C D A的路徑勻速運動，
∴圖 2為等腰梯形，
a 13 9 4，故①正確；
BC DA a 4，
在矩形 ABCD中， AB CD 9 4 5，
b 5 4 2 10，故②錯誤；
點 P運動的路程為 x，當 4 x 9時，
y b 10，
x 9時，點 P運動到點 D處，故③正確；
b 10，
在圖 2中等腰梯形的兩腰上分別存在一個 y值等于9，
結合圖 1可知，當 y = 9時，故④正確；
綜上，正確的有：①③④．
故答案為：①③④．
【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，明確矩形的性質、數形結合并分段討論是解題的關鍵．
15. 用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖 1，在Rt△ABC中， ACB 90 ， B 30 ，AC 2．第
一步，在 AB邊上找一點 D（不與點 A，B重合），將紙片沿CD折疊，點 A落在 A 處，如圖 2；第二步，
將紙片沿CA 折疊，點 D落在 D 處，如圖 3．當點D 恰好落在直角三角形紙片的邊上時，線段 A D 的長
為________．
【答案】1 或4 2 3
【解析】
【分析】分兩種情形解答：①點D 恰好落在直角三角形紙片的 AB邊上時，由題意：
ADC≌ A DC≌ A D C，則 D A C DA C A 60 ， A C AC 2； A C垂直平分線段DD ；
1 1
利用 S△ABC AC BC AB CE，可求得CE，則 A E A C CE，解Rt A D E可求線段 A D ；2 2
②點D 恰好落在直角三角形紙片的 BC邊上時，由題意： ADC A DC A D C，則
1
D A C DA C A 60 A C AC 2 ACD A CD A CD ACB 30 ；在Rt△A D C中，， ， 3
利用30 所對的直角邊等于斜邊的一半可得結論．
【詳解】解：①點D 恰好落在直角三角形紙片的 AB邊上時，設 A C交 AB邊于點 E，如圖，
由折疊的性質得， ADC≌ A DC≌ A D C， A C垂直平分線段DD ．
則 D A C DA C A 60 ， A C AC 2；
∵ ACB 90 ， B 30 ，AC 2，
∴ BC AC tanA 2 tan60 2 3． AB 2AC 4，
S 1 1∵ ABC＝ AC BC＝ AB CE，2 2
CE AC BC 2 2 3 3．
AB 4
∴ A E A C CE 2 3．
在Rt A D E中，

∵ cos D A E A E ，
A D
A E 1
∴ ＝ ，
A D 2
∴ A D 2A E 4 2 3．
②點D 恰好落在直角三角形紙片的 BC邊上時，如圖，
由題意：△ADC≌△A DC≌△A D C， ACD A CD A CD
1
ACB 30 ；
3
則 D A C DA C A 60 ， A C AC 2，
∵ D A C 60 ， A CD 30 ，
∴ A D C 90 ，
∴ A D 1 A C 1 2 1．
2 2
綜上，線段 A D 的長為：1 或4 2 3．
故答案為：1 或4 2 3．
【點睛】本題主要考查了翻折問題，含30 角的直角三角形，直角三角形的邊角關系，特殊角的三角函數值，
全等三角形的性質．翻折屬于全等變換，對應部分相等，這是解題的關鍵，當點 D 恰好落在直角三角形紙
片的邊上時，要注意分類討論．
三．解答題（共 8 小題，滿分 75 分）
2 8 0
16. （1）計算： 6 3 2cos 45 1 12 2021
（2）用公式法解方程： x2 2x 4 0
【答案】（1）11 6 2 ；（2） x1 1 5， x2 1 5
【解析】
【分析】（1）根據完全平方公式、零指數冪，平方差公式化簡各項，然后合并即可．
（2）運用公式法求解即可．
2 8 0
【詳解】解：（1） 6 3 2cos45 1 1 2021
2
= 2 2 6 2 6 3 3 2 2 1
2 2
1
2 2
1

=6 6 2 3 2 1 2 1 1
=10 6 2 2 1
=11 6 2
（2） x2 2x 4 0
這里 a 1,b 2,c 4
=b2 4ac 22 4 1 ( 4) 20 0
2 20
∴ x
2
∴ x1 1 5， x2 1 5
【點睛】本題主要考查了用公式法解一元二次方程以及實數的混合運算，熟練掌握運算法則和運算過程是
解答本題的關鍵．
17. 圖①、圖②、圖③均是 5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為 1，其頂點稱為格點，V ABC的
頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）網格中V ABC的形狀是 ．
（2）在圖①中確定一點 D，連結DB、DC，使△DBC與V ABC全等．
（3）在圖②中V ABC的邊 BC上確定一點 E，連結 AE，使 ABE∽ CBA．
（4）在圖③中V ABC的邊 上確定一點 P，在邊 BC上確定一點 Q，連結 PQ，使△PBQ∽△ABC ，且
相似比為3:5．
【答案】（1）直角三角形
（2）見解析 （3）見解析
（4）見解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及勾股定理的逆定理可得出結論．
（2）取格點 D，使 BD AC， AB CD即可．
（3）過點 A作 AE BC于點 E，可得 AEB BAC 90 ，進而可得△ABE∽△CBA．
（4）取格點 M，使 AM ∥ BC ，且 AM 2，過點M 作MQ∥AC，交BC于點Q，交 AB于點 P，可得
APM BPQ BP BQ 3 BP 3∽ ，則 ，可得 ，即△PBQ∽△ABC ，且相似比為3:5．
AP AM 2 AB 5
【小問 1詳解】
解：∵ AB 42 22 2 5， AC 12 22 5 ， BC 5，
∴ AB2 AC 2 BC 2，
∴V ABC為直角三角形；
【小問 2詳解】
如圖①，點 D即為所求（答案不唯一）．
由圖可知：在△DBC和V ABC中：
AB CD

AC BD，

BC CB
∴ DBC≌ ABC（ SSS）；
【小問 3詳解】
如圖②，點 E即為所求．
過點 A作 AE BC于點 E，則： AEB 90 ，
∴ AEB CAB，
又∵ B B，
∴△ABE∽△CBA；
【小問 4詳解】
如圖③，點 P，Q即為所求．
如圖： AM ∥ BC ， AM 2，
則： APM∽ BPQ，
BP BQ 3
∴ ，
AP AM 2
BP 3
∴ ，
AB 5
∵MQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC ，
BP 3
相似比為： ．
AB 5
【點睛】本題考查作圖﹣應用與設計作圖、勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定與性質、相
似三角形的判定與性質，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．
18. 一個盒子中裝有 1個紅球、1個白球和 2個藍球，這些球除顏色外都相同.
（1）從盒子中任意摸出一個球，恰好是白球的概率是 ；
（2）從中隨機摸出一個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出一個球，試用樹狀圖或表格列出所以可能
的結果，并求兩次摸到的球的顏色能配成紫色的概率.（紅色和藍色在一起可配成紫色）
（3）往盒子里面再放入一個白球，如果從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再從中隨機摸出一個球，
那么兩次摸到的球的顏色能配成紫色的概率是 .
1 1 4
【答案】（1） ;（2） ;（3） .
4 3 25
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式計算可得；
（2）列舉出所有情況，兩次摸到的球的顏色能配成紫色的概率占所有情況數的多少即可;
（3）畫出樹狀圖，列舉出所有情況，找到兩次摸到的球的顏色能配成紫色的概率占所有情況數的多少即可;
1
【詳解】（1）如果從盒子中隨機摸出 1個球，摸出白色球的概率為 ；
4
（2）畫樹狀圖如下：
共有 12種情況，能配成紫色的概率情況數有 4種，
1
所以兩次摸到不同顏色球的概率為 .
3
（3）往盒子里面再放入一個白球，如果從中隨機摸出一個球，畫樹狀圖如下：
共有 25種情況，能配成紫色的概率情況數有 4種，
4
那么兩次摸到的球的顏色能配成紫色的概率是 .
25
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出 n，再從中選出
符合事件 A或 B的結果數目 m，然后根據概率公式求出事件 A或 B的概率．
19. 已知二次函數 y1 ax x m a 0 和一次函數 y2 ax b a 0 ．
（1）二次函數 y1的圖象過 1,0 , 2,2 點，求二次函數的表達式；
（2）若一次函數 y2與二次函數 y1的圖象交于 x軸上同一點，且這個點不是原點．
①求證：b am；
②若兩個函數圖象的另一個交點為二次函數的頂點，求 m的值．
【答案】（1）二次函數 y1 的表達式為 y1 x x 1 ；
（2）①證明見解析，②m 2
【解析】
【分析】（1）待定系數法，求出函數解析式即可．
（2）①先求出二次函數 y1 ax x m a 0 與 x軸的交點坐標，進而得到一次函數 y2與二次函數 y1的
圖象的交點坐標，代入一次函數，即可得出結論；②求出二次函數的頂點坐標，代入一次函數即可得出結
果．
【小問 1詳解】
解：∵二次函數 y1 ax x m a 0 過 1,0 , 2,2 ，
∴m 1，
∴二次函數的表達式為 y1 ax x 1 ，
將 2,2 點代入，得2 2a，
∴ a 1；
∴二次函數 y1的表達式為 y1 x x 1 ．
【小問 2詳解】
①∵當 y 0時， ax x m 0解得： x1 0, x2 m，
∴二次函數 y1 ax x 1 與 x軸交于 0,0 和 m,0 點，
又一次函數 y2與二次函數 y1的圖象交于 x軸上同一點，且這個點不是原點，
∴一次函數 y2過 m,0 點，
∴ am b 0，
∴b am；
②∵b am，
∴ y2 ax am，
∵兩個函數圖象的另一個交點為二次函數的頂點，
2
∵二次函數 y1 ax x m
m , am 的頂點為 2 4
，

m am2
∴ y2 ax am過 , ，
2 4


am2 am
∴
4 2
∵ a 0,m 0，
∴m2 2m，
∴m 2．
【點睛】本題考查二次函數與一次函數的綜合應用．熟練掌握二次函數與一次函數的圖象和性質，是解題
的關鍵．
20. 疫情突發，危難時刻，從決定建造到交付使用，雷神山、火神山醫院僅用時十天，其建造速度之快，充
分展現了中國基建的巨大威力！這樣的速度和動員能力就是全國人民的堅定信心和盡快控制疫情的底氣！
改革開放 40年來，中國已經成為領先世界的基建強國，如圖①是建筑工地常見的塔吊，其主體部分的平面
示意圖如圖②，點 F在線段 HG上運動，BC∥HG，AE⊥BC，垂足為點 E，AE的延長線交 HG于點 G，經
測量∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求線段 AG的長度；（結果精確到 0.1m）
（2）連接 AF，當線段 AF⊥AC時，求點 F和點 G之間的距離．（結果精確到 0.1m，參考數據：tan11°≈0.19，
tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
【答案】（1）線段的長度約為 3.5m；（2）點與點之間的距離約為 2.1m．
【解析】
【分析】（1）設 AE＝xm，根據直角三角形中三角函數列出等式即可求出 AG的長；
（2）當線段 AF⊥AC時，根據直角三角形的兩個銳角互余可得∠FAE＝∠ACE＝31°．再根據三角函數即
可求出 FG的長．
AE
【詳解】解：（1）在 Rt△ABE中， BE ，
tan ABE
在 Rt△ACE中，CE AE ，
tan ACE
x x
設 AE＝xm，則 20，
tan11 tan31
解得 x≈2.89m，
∴AG＝AE+EG≈2.89+0.6≈3.5m．
答：線段 AG的長度約為 3.5m；
（2）當線段 AF⊥AC時，
∵AE⊥BC，
∴∠FAE+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACE＝90°．
∴∠FAE＝∠ACE＝31°．
∴ tan FAG tan 31 FG ，
AG
∴ FG AG tan31 ≈3.5 0.6=2.1m．
答：點 F與點 G之間的距離約為 2.1m．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解決本題的關鍵是掌握銳角三角函數公式并能靈活應用解直角
三角形．
21. 新華商場銷售某種電子產品，每個進貨價為 40元，調查發現，當銷售價格為 60元時，平均每天能銷售
100個；當銷售價每降價 1元時，平均每天多售出 10個，該商場要想使得這種電子產品的銷售利潤平均每
天達到 2240元．
（1）每個電子產品的價格應該降價多少元？
（2）在平均每天利潤不變的情況下，為盡可能贏得市場，需要讓利于顧客，該商場應該將該電子產品按照
幾折優惠銷售？
（3）當定價為多少時，商場每天銷售該電子產品的利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）每個電子產品的價格應該降價 4元或 6元；（2）該商場應該將該電子產品按照九折優惠銷售；
（3）當 x＝55時，w有最大值，最大值為 2250元．
【解析】
【分析】（1）設每個電子產品的價格應該降價 x 元，根據每個電子產品的利潤乘以銷售量，得一元二次方
程，求解即可；
（2）由（1）所求得的降價額，結合問題的實際意義，可得應降價多少，從而可得打幾折優惠；
（3）設定價為 y元，商場每天銷售該電子產品的利潤為 w元，根據題意列出函數關系式，寫成頂點式，即
可得問題的答案．
【詳解】解：（1）設每個電子產品的價格應該降價 x元，由題意得：
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240
∴（x﹣4）（x﹣6）＝ 0
∴x1＝4，x2＝6
∴每個電子產品的價格應該降價 4元或 6元．
（2）在平均每天利潤不變的情況下，為盡可能贏得市場，需要讓利于顧客，
該商場應該將該電子產品可以降價 6元銷售：
（60﹣6）÷60＝0.9
∴該商場應該將該電子產品按照九折優惠銷售．．
（3）設定價為 y元，商場每天銷售該電子產品的利潤為 w元，由題意得：
w＝（y﹣40）[100+（60﹣y）×10]
＝（y﹣40）（﹣10y+700）
＝﹣10y2+1100y﹣28000
＝﹣10（y﹣55）2+2250
∵二次項系數為﹣10＜0
∴當 x＝55時，w有最大值，最大值為 2250元．
【點睛】本題考查了二次函數及一元二次方程在實際問題中的應用，明確成本利潤問題的基本關系式及二
次函數的性質，是解題的關鍵．
BC AB
22. 我們知道：如圖①，點 B把線段 AC分成兩部分，如果 ，那么稱點 B為線段 AC的黃金分
AB AC
5 1
割點．它們的比值為 ．
2
（1）在圖①中，若 AC 20cm，則 AB的長為 cm；
（2）如圖②，用邊長為 20cm的正方形紙片進行如下操作：對折正方形 ABCD得折痕 EF ，連接CE，將
CB折疊到CE上，點 B對應點 H，得折痕CG．試說明：G是 AB的黃金分割點；
（3）如圖③，小明進一步探究：在邊長為 a的正方形 ABCD的邊 AD上任取點 E AE DE ，連接 BE ，
作CF BE，交 AB于點 F，延長 EF、CB交于點 P．他發現當 PB與 BC滿足某種關系時，E、F恰好
分別是 AD、 AB的黃金分割點．請猜想小明的發現，并說明理由．
【答案】（1） 10 5 10
（2）見解析 （3） BP BC ，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據黃金分割的定義計算即可得解；
（2 DC 5 1）延長 EA，CG交于點 M，先證明 EMC BCG，再求出 tan DMC ，從而得出
DM 2
tan BCG 5 1 ，即可得解；
2
（3）由正方形的性質可得 AB BC， BAE CBF 90 ，證明 ABE≌ BCF ASA ，得出
AE AF
BF AE，證明△AEF∽△BPF ，得出 ，結合黃金分割的定義求解即可．BP BF
【小問 1詳解】
解：∵點 B為線段 AC的黃金分割點， AC 20cm，
AB 5 1∴ 20 10 5 10 cm．2
故答案為： 10 5 10 ．
【小問 2詳解】
解：延長 EA，CG交于點 M，
∵四邊形 ABCD為正方形，
∴DM∥BC，
∴ EMC BCG，
由折疊的性質可知， ECM BCG，
∴ EMC ECM ，
∴ EM EC，
∵DE 10cm，DC 20cm，
∴ EC DE 2 DC 2 10 5cm，
∴ EM 10 5cm，
∴DM 10 5 10 cm，
∴ tan DMC DC 20 5 1 ．
DM 10 5 10 2
∴ tan 5 1 BCG ，
2
BG 5 1
即 ，
BC 2
∵ AB BC，
BG 5 1
∴ ，
AB 2
∴G是 AB的黃金分割點；
【小問 3詳解】
解：當 BP BC 時，滿足題意．
理由如下：
∵四邊形 ABCD是正方形，
∴ AB BC， BAE CBF 90 ，
∵ BE CF，
∴ ABE CFB 90 ，
又∵ BCF BFC 90 ，
∴ BCF ABE，
∴ ABE≌ BCF ASA ，
∴ BF AE，
∵ AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF ，
AE AF
∴ ，
BP BF
當 E、F恰好分別是 AD、 AB的黃金分割點時，
∵ AE DE，
AF BF
∴ ，
BF AB
∵ BF AE， AB BC，
AF BF AE
∴ ，
BF AB BC
AE AE
∴ ，
BP BC
∴ BP BC ．
【點睛】本題考查了黃金分割、解直角三角形、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的
判定與性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
y x 2 x 223. 有這樣一個問題：探究函數 的圖象和性質．小軍根據學習函數的經驗，對函數 y 的
2 x 2 x
圖象和性質進行了探究．下面是小軍的探究過程，請補充完整：
y x 2（1）函數 的自變量 x的取值范圍是 ：
2 x
（2）下表是 y與 x的幾組對應值：
1
x … 5 1 4 3 2 1 2 1 2 3 4 5 …2
29 5 13 5 17 5 5 29
y … 2
17
2 m …
10 2 6 2 4 4 2 2 10
①其中，m ；
②如圖，在平面直角坐標系 xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，請根據描出的點，畫出該函
數的圖象；
（3）進一步探究發現，該函數圖象在第一象限內的最低點的坐標是 2,2 ．結合函數圖象，寫出該函數的
其它性質（寫出一條即可）： ．
x 2 5
（4）結合函數圖象，請直接寫出 時，x的取值范圍： ．
2 x 2
【答案】（1） x 0
13
（2）① ；②見解析
6
（3）當 x 2時，y隨 x的增大而增大（答案不唯一）
（4） 4≤x≤ 1或 x 0
【解析】
【分析】本題考查函數圖象、自變量的取值范圍，求函數值，分式有意義的條件，解答本題的關鍵是明確
題意，利用數形結合的思想解答．
（1）根據分式有意義的條件求解即可；
（2）①將 x 3代入函數解析式中，求出 m的值，根據圖象中的點，用平滑的曲線連接起來，即可解答本
題；
（3）根據圖象，寫出兩條性質即可，注意本題答案不唯一；
（4）根據表格，圖象求解即可．
【小問 1詳解】
∵x在分母上，
∴ x 0．
故答案為： x 0；
【小問 2詳解】
x 3 m 3 2 13①當 時， ，
2 3 6
13
故答案為： ；
6
②圖象如圖所示：
【小問 3詳解】
觀察函數圖象，可知：當 x 2時，y隨 x的增大而增大．
故答案為：當 x 2時，y隨 x的增大而增大（答案不唯一）．
【小問 4詳解】
x 2 5
根據表格與圖象可知：當 時，x的取值范圍是： 4≤ x≤ 1或 x 0．
2 x 2
故答案為： 4≤x≤ 1或 x 0．

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