資源簡介

2024-2025 學年第一學期期末質量監測
九年級數學
（時間：100 分鐘，總分：120 分）
一、單選題（每小題 3分，共 30 分）
1．關于一元二次方程 3 2 2 + = 0 有實根，則實數 a的取值范圍是（ ）
A 1 1 1 1． > 3 B． < 3 C． ≥ 3 D． ≤ 3
2．在一個不透明的塑料袋中裝有紅色球、白色球共 40個，除顏色外其他都相同．小明通過多次摸球
試驗后發現，摸到紅色球的頻率穩定在 20%左右，則塑料袋中紅色球可能有（ ）
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
3．為響應“足球進校園”的號召，某校組織足球比賽，賽制為單循環形式（每兩個隊之間都要比賽一
場），計劃安排 36場比賽，則參賽的足球隊個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4． 我們知道， 方程 2 + 4 = 0( ≠ 0) 4的兩個解可看作直線 = + 1 與雙曲線 = 的圖
4 4象交點的橫坐標． 若這兩個交點所對應的坐標為 1， ， 2， ， 且均在直線 = 的同1 2
側， 則實數 的取值范圍是（ ）
A．12 < <
3 B 12 ． 2 < <
3
2
C．12 < <
3 1 1 3
2 或 16 < < 0 D． 16 < < 0 或 0 < < 2
5． ABCD的對角線 AC與 BD相交于點 O，添加以下條件，不能判定平行四邊形 ABCD為菱形的是
（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD
6．對于實數 a，b定義運算“※”為 a※b＝b2-ab，例如 3※2＝22-3×2＝-2．若關于 x的方程 3※x＝-m
沒有實數根，則 m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7 4．若圖中反比例函數的表達式均為 = ，則陰影部分面積為 2的是（ ）
A． B．
C． D．
8 1 ．已知點 9, 3 在反比例函數 = 的圖像上，若 > 3，則 的取值范圍是（ ）
A． > 1 B． < 1 C．0 < < 1 D． > 0
9．如圖，在菱形 中，M、N分別是 和 的中點， ⊥ 于點 P，連接 ，若
∠ = 40° ，則 ∠ = （ ）
A．125° B．120° C．115° D．110°
10．如圖，在正方形ABCD中，點 E，F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點 ，若 = 4, = = 1，
則 CG的長是（ ）
A 2 B 5 C 3 2 D 12． ． ． ．2 5
二、填空題（每小題 3分，共 15 分）
2 2024 4 = 0 1 + 111．已知 1， 2分別為一元二次方程 的兩個實數解，則 的值為 ．1 2
12．設點 P是線段 A8的黃金分制點（AP13．如圖，正方形 邊長為 6 ，點 E為 邊中點，沿直線 折疊，點 C落在點 F處，延長
交 于點 G，連接 ，則△ 的面積為 ．
14．已知，如圖，△ 中， 平分∠ ，∠ = ∠ ， ⊥ 于 ， = 5， = 4，則
和 分別為 ．
15．如圖，在平面直角坐標系中，直線 1： = 3 ；直線 l2： = ，直線 1上有一點 A，且點 A的縱
坐標是 2 3．在直線 1的右側作正方形 ， 交直線 2于點 D， 交 x軸于點 E，連接 、 ，
交直線 2于點 F，交 x軸于點 G，則下列結論正確的有 ．（填序號）
①△ 的周長為 8 3；
② = 3 ；
③ = + ；
④點 P 1為射線 上一動點， + 2 的最小值為 2 + 2 3．
三、解答題（共 8題，共 75分）
16．（8 分）解方程：
（1）2x2-4x-5=0 （2）(x-2)2=(2x+3)2
17．（9 分）已知關于 的一元二次方程 2 + 3 + 2 = 0有兩個不相等的實數根．
（1）求實數 的取值范圍；
（2）若 為滿足條件的最大整數，求此時方程的根．
18 ．（9 分）如圖，一次函數 = + 3的圖象與反比例函數 = 的圖象交于點 (1， )，與 軸交于點
，與 軸交于點 ，
（1）求反比例函數的表達式；
（2）已知點 為反比例函數 = 圖象上一點， △ = 2 △ ，求點 的坐標.
19．（9 分）已知關于 的方程 2 (3 + 3) + 2 2 + 4 + 2 = 0．
（1）求證：無論 為何值，原方程都有實根；
（2）若該方程的兩實根 1， 2為一菱形的兩條對角線的長，且 1 2 +2 1 + 2 2 = 36，求 的值．
20．（9 分）某校八年級一班的一個數學綜合實踐小組去超市調查某種商品“十一”期間的銷售情況，下
面是調查后小陽與其他兩位同學交流的情況：
小陽：據調查，該商品的進價為 12元/件．
小佳：該商品定價為 20元時，每天可售 240件．
小欣：在定價為 20元的基礎上，漲價 1元，每天少售 20件．
根據他們的對話，若銷售的商品每天能獲利 1920元時，為盡快減少庫存，應該怎樣定價更合理？
21．（10 分）在一個不透明的盒子里裝有四張卡片，分別標有漢字“誠”，“實”，“守”，“信”，卡片除了
漢字不同外其余都相同，先隨機抽取一張卡片后不放回，然后再隨機抽取一張，用畫樹狀圖或列表的
方法求兩次抽到卡片上的漢字組成“誠信”的概率．
22．（10 分）如圖 1，一次函數 = + 的圖象與 x軸交于點 6,0 ，與 y軸交于點 0,3 ，與正比
例函數 = 的圖象交于點 C．
（1）求一次函數的解析式及點 C的坐標；
（2）在 y軸上是否存在一點 P，使△ 是等腰三角形，若存在，請直接寫出點 P的坐標．若不
存在，請說明理由；
（3）如圖 2，過點 C作 ⊥ 軸于點 D， ⊥ 軸于點 H，點 E是線段 OD上一動點，F是線段
OH上一動點，且∠ = 45°，連接 EF，請判斷△ 的周長是否為定值？若是，求出這個定值：
若不是，說明理由．
23．（11 分）如圖①，在菱形 ABCD中，∠BAD=120°，過點 A分別作 AE⊥BC于點 E，AF⊥CD于
點 F，且∠EAF= 60°．
（1）寫出 BE，CF，AB之間的數量關系；
（2）如圖②，當∠EAF繞著點 A逆時針旋轉到∠EAF的兩邊與菱形的兩邊相交，但不垂直時，
寫出 BE，DF，AB三者之間的關系，證明你的結論；
（3）如圖③，當∠EAF繞著點 A逆時針旋轉到∠EAF的兩邊與菱形的兩邊 BC，CD的延長線相
交，但不垂直時，請直接寫出 BE ，DF ，AB三者之間的關系．答案解析部分
1．D
2．C
3．D
4．C
4
解：∵函數 = 的圖象與直線 y＝x的交點為 A（2，2），B（ 2， 2）．
∴①當函數 y＝kx＋1的圖象過點 A（2，2）時，k＝12；
②當函數 y＝kx＋1的圖象過點 B（ 2， 2）時，k＝32．
當 k＞0時，
4 4
∵（x1， ）、（x2， ），且均在直線 y＝x的同側，1 2
∴實數 k的取值范圍是：12 < <
3
2，
1
當 k＜0時，Δ＞0，解得： 16 < < 0，
k 1 < < 3 1綜上，實數 的取值范圍是2 2 或 16 < < 0 .
故答案為：C．
先求得直線 y＝x與反比例函數 = 4 的交點坐標，然后把交點坐標代入 y＝kx＋1，求得 k的值，再根
4 4
據若這兩個交點所對應的坐標為（x1， ）、（x2， ），且均在直線 y＝x的同側，即可求得 k的取值1 2
范圍．
5．A
解：A． = ，對角線相等，能判斷平行四邊形 ABCD是矩形，不能判斷四邊形 ABCD是菱形，
符合題意
B． ⊥ ，對角線互相垂直，能判斷平行四邊形 ABCD是菱形，不符合題意；
C．∠ = ∠ ，對角線平分一組對角 ，能判斷平行四邊形 ABCD是菱形，不符合題意；
D． = ，一組鄰邊相等，能判斷平行四邊形 ABCD是菱形，不符合題意；
故答案為：A．
根據平行四邊形的條件加上對角線互相垂直，或者一組鄰邊相等，或者對角線平分一組對角即可得到
四邊形為菱形，即可求解．
6．A
∵a※b＝b2-ab ，
∴3※x＝-m 可以寫為： 2 + 3 =
∴Δ = 2 4 = 9 4 < 0
9
解得： > 4
∴m可能的值是 3
故答案為：A
首先由新運算的定義，寫出關于 x的方程，已知方程沒有實數根，所以利用根的判定公式求出 m的取
值范圍即可.
7．B
8．C
9．D
解：如圖，連接 ， ， 延長 交 于 ，
∵ 菱形 ， ∠ = 40° ，
1
∴ = ，∠ = ∠ = 2 (180° ∠ ) = 70°， // ，
∵ ， 分別為 ， 的中點，
∴ // ，∠ = ∠ = 70°， = ，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ，
∴ = ，
∵ ⊥ ，
∴ = ，∠ = ∠ = 70°，
∴ ∠ = 180° 70° = 110°.
故答案為：D
連接 ， ， 延長 交 于 ，由菱形的性質可求出 AB=AD，∠DBA=∠BDA=70°
，利用三角形中位線定理可得 NM∥DB，可得∠ = ∠ = 70°，證明△ ≌△ ， 可得
= ， 由直角三角形斜邊中線的性質可得 = ，從而可得∠ = ∠ = 70°，由
∠MPB=180°-∠MPH即可求出結論.
10．D
解：∵四邊形 ABCD是正方形， = 4，
∴ = = = 4，∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ = = 1，
∴ = = 3，
∴△ △ ， = 2 + 2 = 5，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = 90°，
∴ △ =
1 · = 12 2 · ，
∴ = · 4×3 12 = 5 = 5 .
故答案為：D.
利用正方形的性質求得 CE、BE的長度，再通過 SAS判定△ △ ，進而證得∠ = 90°，
然后利用等面積法求得 CG的長度.
11． 506
12． 5 1
解：
∵點 P是線段 AB的黃金分割點( ( < ), = 2厘米，
5 1
∴ = = 2 ,
∴ = 5 1 厘米，
故答案為： 5 1 .
根據黃金比值為 5 1計算即可.
2
13 18． 5
解：如圖所示：連接 GD，
∵四邊形 ABCD是正方形，
∴AD = CD，
∵根據折疊的性質可知：DC=DF，∠C=∠DFE=90°，
∴AD = DF，∠A=∠DFG = 90°，
又∵GD = GD，
∴△AGD≌△FGD，
∴AG=GF，
設 AG=GF=x，則 BG=6-x，
∵正方形 ABCD邊長為 6cm，點 E為 BC邊中點，
∴BE=EC=EF=3cm，
∵GE2= BE2+BG2，
∴(3+x)2=(6-x)2+32，
解得：x=2，
∴GB=6-2=4(cm)，GE= 2+3= 5(cm)，
∴S 3 3 1 18BEF = S BEG = × × 3 × 4 = 2△ 5 △ 5 2 5 ，
18
故答案為： 5 .
利用正方形的性質求出 AD = CD，再利用全等三角形的判定與性質，勾股定理和三角形的面積公式計
算求解即可。
14．7和 3．
15．②
解：如圖所示，過點 A作 ⊥ 軸于M，
在 = 3 中，當 = 3 = 2 3時， = 2，
∴ (2，2 3)，
∴ = 2， = 2 3，
∴ = 2 + 2 = 4，
如圖將△ 繞點 O順時針旋轉 90度得到△ ，
∴ = ，∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ = ∠ = 90°， = ，
∴∠ + ∠ = 180°，
∴B、C、H三點共線，
∵點 D在直線 = 上，
∴∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 45°，
又∵ = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ = + ，
∴ = + ，
∴△ 的周長= + + = + + + = + = 2 = 8，故①錯誤；
如圖所示，取 中點 K，連接 ，
= = 1∴ 2 = 2 = ，
∴△ 是等邊三角形，
∴∠ = 60°，
∴∠ = 30°，
∴∠ = 60°，
∴∠ = 30°，
∴ = 1 3 4 3；2 = 3 = 3
∴ = 4 4 3，3
設 = ，則 = 4 ，
∴ = + = 4 33 + 4
∵ 2 + 2 = 2，
∴ 2 + (4 4 33 )
2 = ( 4 33 + 4 )
2，
∴ = 12 3 12，3
∴ = 12 3 123 = 3(4
4 3 ，
3 )
∴ = 3 ，故②正確；
如圖將△ 繞點 O逆時針旋轉 90度得到△ ，連接 ，
∴ = ，∠ = 90°， = ，
∴∠ = 45° = ∠ ，
又∵ = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ < + ，
∴ < + ，故③錯誤；
∵點 P為射線 上一動點， = 12 =
4 3，
3
∴當 ⊥ + 1時， 最小，即此時 2 最小，最小值為 4 +
4 3，故④錯誤；
3
故答案為：②．
如圖所示，過點 A作 ⊥ 軸于M，先求出 (2，2 3)，則 = 2， = 2 3，利用勾股定理求出
= 4，如圖將△ 繞點 O順時針旋轉 90度得到△ ，則 = ，∠ = ∠ =
90°，∠ = ∠ = ∠ = 90°， = ，證明 B、C、H三點共線，∠ = 45°，則可證明
△ ≌△ ( )，得到 = ，進而得到 = + ，則△ 的周長= + + =
2 = 8，故①錯誤；如圖所示，取 中點 K，連接 ，證明△ 是等邊三角形，推出∠ = 30°，
得到 = 1 = 3 = 4 3， = 4 4 3，設 = ，則 = 4 ，則 = 4 3+ 4 ，利2 3 3 3 3
用勾股定理得到 2 + (4 4 33 )
2 = ( 4 3+ 4 )2，解得 = 12 3 123 ，則3 = 3
，故②正確；
如圖將△ 繞點O逆時針旋轉 90度得到△ ，連接 ，證明△ ≌△ ( )，得到 = ，
由 < + ，得到 < + ，故③錯誤；由點 P為射線 上一動點， = 1 = 4 3，2 3
則當 ⊥ 時， 1最小，即此時 + 2 最小，最小值為 4 +
4 3，故④錯誤．
3
16．（1）解：2x2-4x-5=0
∵a=2 ，b= -4 ，c= -5
2 4 = ( 4)2 4 × 2 × ( 5) = 56 > 0
∴x = 4±2 14 = 2± 144 2
∴ = 2+ 14 2 141 2 ， 2 = 2
（2）解：(x-2)2=(2x+3)2
(x-2)2-(2x+3)2=0
(x – 2 -2x -3)(x-2+2x+3)=0
(- x-5)(3x+1)=0
∴- x-5=0或 3x+1=0
1
1 = 5， 2 = 3
（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）先移項，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。
17 17．（1） < 4
（2） 1 = 1， 2 = 2
18．（1）解：由題意，將 (1， )代入 = + 3中，
∴ = 1 + 3．
∴ = 4．
∴ (1，4)．

將 (1，4)代入反比例函數 = ，
∴ = 1 × 4 = 4，
∴反比例函數的解析式為 = 4
（2）解：對于 = + 3，
當 = 0時， = 3，
∴ = 3，
∵ (0，3)，
∴ = 3，過點 A作 ⊥ 軸于點 H，過點 P作 ⊥ 軸于點 D，
∵ △ = 2 △ ，
∴12 × = 2 ×
1
2 × ，
即12 × 3 × = 2 ×
1
2 × 3 × 1，
解得 = 2，
∴點 P的縱坐標為 2或 2，
將 = 2代入 = 4 得： = 2，
= 2 = 4或 代入 得 = 2，
∴點 (2，2)或( 2， 2)．
19．（1）證明：根據題意得：
= [(3 + 3)]2 4(2 2 + 4 + 2) = ( + 1)2 ≥ 0，
∴無論 為何值，原方程都有實根；
（2）解：∵ 21、 2是 (3 + 3) + 2 2 + 4 + 2 = 0的兩根，
∴ 1 + 2 = 3 + 3， 1 2 = 2 2 + 4 + 2，
∴由 21 2 +2 1 + 2 2 = 36得，2 + 4 + 2 + 2(3 + 3) = 36，
解得： 1 = 2， 2 = 7．
∵ 1， 2為一菱形的兩條對角線的長，∴ 1 + 2 > 0， 1 2 > 0，
∴ = 2．
(1)根據根的判別式的意義得到當 = [ (3 + 3)]2 4(2 24 + 2) = + 1 2 ≥ 0 無論 k為何值，總
有 + 1 2 ≥ 0，方程有實數根；
(2)根據根與系數的關系得到 1 + 2 = 3 + 3 1 2 = 4 + 2， 再代入所求的代數式進行求值，然后根
據菱形的面積公式進行計算即可.
20．解：設每件商品定價為 x元，則每件商品的銷售利潤為（x﹣12）元，
根據題意得：[240﹣20（x﹣20）]×（x﹣12）＝1920
整理，得 x2﹣44x+480＝0，
解得，x1＝20，x2＝24；
∵要盡快減小庫存，
∴x＝20，
答：為盡快減少庫存，每件定價 20元．
設每件商品定價為 x元，則每件商品的銷售利潤為（x﹣12）元，根據題意列出方程[240﹣20（x﹣20）]×
（x﹣12）＝1920求解即可。
21．解：根據題意畫圖如下：
共有 12種等可能的結果，其中兩次摸出的卡片上的漢字組成“誠信”的結果為 2種，
2 1
∴兩次摸出的卡片上的漢字組成“誠信”的概率 P＝ = 12 = 6 ；
先畫樹狀圖求出 共有 12種等可能的結果，其中兩次摸出的卡片上的漢字組成“誠信”的結果為 2種，
再求概率即可。
22．（1 1）一次函數表達式為： = 2 + 3，點 2,2
（2）點 P的坐標為 0,1 或 0,3 + 5 或 0,3 5 1或 0,2
（3）是定值，值為 4
23．（1）解：如圖①，連接 AC．在菱形 ABCD中，
∵∠BAD= 120° ，∴△ABC，△ACD都為等邊三角形，AE⊥BC于點 E，AF⊥CD于點 F，
∴∠AEB=90° ，∠B=60°，∠AFC=90°，∠ACD= 60°，
∴∠BAE= 30°，∠CAF=30°，
BE=12AB，CF=
1
2AC．
∵AB=AC，∴BE+CF=AB．
（2）BE+DF=AB；
證明：如圖②，連接 AC ，在菱形 ABCD中，
∵∠BAD=120。∴△ABC，△ACD均為等邊三角形，∠ACE=∠ADF= 60° ，AD=AC．
∵∠EAC+∠CAF=∠EAF=60° ，∠DAF+∠CAF=∠CAD= 60°，
∴∠CAE=∠DAF．∴△AEC≌△AFD(ASA) ，∴EC=DF，∴BE+DF=BE+EC=BC=AB．
（3）BE-DF=AB；
解：（3）結論： = ，理由如下：
連接 AC，如下圖：
在菱形 ABCD中，∵∠ = 120°，，
∴△ABC，△ACD均為等邊三角形，∠ = ∠ = 60°， = ，
∴∠ = ∠ = 120°，
∵∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，且∠ = ∠ = 60°，
∴∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中
∠ = ∠
=
∠ = ∠
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∴ = = ，
∴ = .
（1）連接 AC，根據菱形的性質和∠ = 120°，得到△ABC，△ACD都為等邊三角形，且 AE⊥BC
于點 E，AF⊥CD 1于點 F，進而得到 = 2 ， =
1
2 ．進而即可求解；
（2）連接 AC，根據菱形的性質和∠ = 120°，得到△ABC，△ACD都為等邊三角形，得到：∠ =
∠ = 60°， = ，進而根據角的運算和等量代換即可得到∠ = ∠ ，即可利用"ASA"證
明△ ≌△ ，得到 = ，進而即可求解；
（3）連接AC，根據菱形的性質和∠ = 120°，得到△ABC，△ACD都為等邊三角形，得到：∠ =
∠ = 60°， = 進而根據角的運算和等量代換即可得到∠ = ∠ ，即可利用"ASA"證明
△ ≌△ ，得到 = ，進而即可求解.

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