資源簡介

在猜想中發現規律 在驗證中總結規律
——《商不變的規律》
【學習內容】
北師大版《義務教育教科書.數學》四年級上冊第六單元除法第7課時第77-78頁。
【教材分析】
一、本課關聯的核心素養分析
推理意識：“觀察兩組算式，你能照樣子再寫一組嗎？”通過觀察兩組算式，發現被除數和除數的變化規律，類比仿寫算式，得出初步的猜想。再借助豐富的素材進行驗證，從眾多算式中尋找共性，經過觀察、辨析、修正、完善，最終歸納概括出商不變的規律，經歷從特殊到一般的歸納推理過程。最后遷移所學，指導計算或解釋生活現象、解決現實問題。本課的推理意識充分體現在規律發現全過程，也就是讓學生借助簡單的類比推理、歸納推理來發現、理解與應用商不變的規律。
運算能力：商不變的規律既是對前面所學除法意義的進一步鞏固，也是進行除法簡便運算的依據，是在梳理算法的基礎上對普適性規律的歸納與提煉。商不變的規律的發現，有利于學生尋找合理簡潔的運算策略解決問題，感受算法的多樣化，在體會規律價值的同時，提高運算能力。同時，商不變的規律的探究過程依托對算式形式與意義的探索，能幫助學生進一步理解除法算式各部分之間的關系，有利于學生的運算能力的發展，及通過運算促進數學推理能力的發展。
模型意識：本課通過“從生活中來——探索規律”“到生活中去——應用規律”兩個過程，充分建立數學與外部世界的聯系，發展學生的模型思想。從現實情境中抽象出除法算式，初步感受商不變規律的現實原型，進而用數學符號表達發現的數量關系和變化規律，通過多元表征感悟規律、總結規律，最終借助語言簡潔概括規律，在規律發現的過程中完成數學建模過程。最后解讀與應用模型，感受模型對于解決現實問題的作用。
二、本課的核心任務分析
本課的核心任務是“觀察下面兩組算式，你能照樣子再寫一組嗎？說一說你發現了什么？”
在規律推理的整個過程中，最重要和最基礎的環節在于理解除法算式間各部分的內在聯系，發現變與不變的本質規律，因此把“觀察下面兩組算式，你能照樣子再寫一組嗎？說一說你發現了什么？”作為本課的核心問題，通過觀察被除數、除數和商的變化情況而初步感悟與發現規律。但此時規律呈現的方式還不夠直觀，順勢引出第二個問題，通過多樣化的解釋表征方式引發學生之間的交流、辨析，從而總結、概括規律，最后運用規律使一些除法的運算過程更合理簡潔，感受學習的必要性。整節課以“發現規律——總結規律——運用規律”為線索，環環相扣、層層遞進，其中第一個問題是基礎性問題。
【學情分析】
本節課是在學生已經較好掌握了三位數除以兩位數的計算方法的基礎上學習的，學生具備有序觀察的能力，初步掌握了探索規律的一般方法。掌握這部分知識，既為學習簡便運算做好準備，又有利于以后學習小數除法、分數和比的有關知識。在本課中，學生需要準確觀察、比較商不變時被除數和除數的變化規律，并用語言抽象概括出發現的規律，因此借助已有知識經驗，主動有效地探索或解釋規律存在較大的難度。基于此，本課的學習重點是經歷探索與發現商不變規律的過程，理解商不變的規律，難點是在探究的過程中自主抽象、概括出商不變的規律。
【學習目標】
1.經歷探索與發現商不變規律的過程，理解商不變的規律，發展提出問題和解決問題的能力。
2.結合具體的問題，能運用商不變的規律，尋找合理便捷的運算途徑，感受算法的多樣化，體會規律的價值，提高運算能力。
3.在探索規律的過程中，逐步培養獨立思考、合作交流、反思質疑的良好學習習慣。
【學習重難點】
教學重點：經歷探索與發現商不變規律的過程，理解商不變的規律。
教學難點：抽象、概括出商不變的規律。
【學習準備】
學習單、課件。
【學習過程】
一、趣味引入，提出問題。
1.（1）今天，老師給大家帶來了一場魔術表演，可不要眨眼哦。請看：這里有把八塊糖果，把它平均放到兩個1號盒子里。現在8塊糖果搖身一變，變成了80塊，平均放到20個2號盒子里。再變成800塊，平均放到200個3號盒子里。幾號盒子糖果多？
明明變出了這么多糖果，為什么每個盒子里的糖果數始終不變？8÷2=4，80÷20=4，800÷200=4。
老師的魔術變得這么厲害，是因為我有一本魔術秘籍。購買秘籍有三種方案:48元12本，24元12本，6元3本。你們打算怎么買？
48÷24=2、24÷12=2、6÷3=2。每本的價錢一樣多。
魔術表演結束了，思考還沒停止。仔細觀察，你能發現算式中的神奇之處嗎？
2.引出核心任務。
觀察兩組算式，你能照樣子再寫一組嗎？說一說你發現了什么？完成學習單。
活動一：
觀察兩組算式，你能照樣子再寫一組嗎？說一說你發現了什么？
我的仿寫：
我的發現：
【設計意圖：借助具體情境抽象出除法算式，引導學生觀察算式，發現算式中隱藏的信息，并根據信息直接提出問題，核心任務蘊含其中。觀察發現豎著看兩組算式商不變，被除數和除數成倍數增大或縮小，對規律形成初步的感知。數據的設計有代表性，利于學生整體觀察，在對比中有所發現，進而引發猜想。】
二、探索新知，發現規律。
1.自主探究，猜想規律。
（1）仿寫中你有什么發現？有沒有解決不了的問題？
（2）你為什么這樣寫？能用自己的方式說明其中的道理嗎？
小組成員都完成后，請在組內先交流一下，說說你是怎么寫的，你的發現別人認同嗎？
交流猜想。同學們討論的差不多了，老師這里也有幾位同學的作品，讓我們一起來分享。（教師在巡視指導時對典型作品進行拍照收集。）
層級一：
層級二：
層級三：
層級一：機械構造商相同的算式。學生只關注到商相同，沒有發現被除數和除數的變化規律，因此學生是根據商不變的特點先寫商，再湊出被除數和除數，不能清楚說明不同算式之間被除數和除數發生了怎樣的變化。
層級二：算式之間被除數和除數是10倍關系，或只關注到被除數和除數放大到某一倍數，未能從縮小的角度觀察發生的變化。
層級三：既能關注到被除數和除數同時放大或縮小，又不拘泥于范例中的10倍和2倍，能呈現更多的倍數關系。
雖然每組算式都不一樣，但它們的商都是相同的。看來被除數和除數都變了，商不變。被除數和除數怎樣變化而商不變？
【設計意圖：能不能寫出類似的算式，就是有沒有發現規律的試金石，通過仿寫算式，讓學生的思維水平外顯出來。這個環節讓學生主動建構規律，驗證自己初步的發現與猜想。在學生作品交流與分享時，注意分層級呈現，通過生生互動，使層次一和層次二的學生頓悟，從對個別倍數算式的關注逐漸上升到對普遍現象的理解，在頭腦中初步自主構建規律。學生通過自己舉的例子，在驗證觀察得出的猜想的同時，能提高對探索方法的認可度和探索結果的深刻性。】
2.理解表征，感悟規律。
（1）被除數和除數怎樣變化而商不變？
活動二：
被除數和除數怎樣變化而商不變？請選擇喜歡的方式具體記錄變化的過程。
交流分享。
方法一：畫圖
方法二：列算式
方法三：文字表達
【設計意圖：此環節借由數形結合助力構建商不變規律的數學模型。借由多種表征形式對頭腦中感知的規律進行具象的表達，凸顯第二、三個算式與第一個算式的關聯，使學生更容易理解被除數與除數是怎樣發生變化的，有利于尋找相同點進行概括與歸納。如果有學生在此時借用文字表達，可以順勢展開討論，探尋概括規律的簡潔表達形式。】
3.歸納概括，總結規律。
（1）請你用語言說一說，被除數和除數怎樣變化而商不變？
層級一 層級二 層級三 層級四
層級一：與商不變的規律無關。
層級二：提到被除數、除數和商，能用自己的語言描述特例中商的規律。
層級三：同時提到被除數、除數和商，能用“乘”或“除以”等關鍵詞描述。
層級四：能結合“同時乘”和“同時除以”較為全面地描述商的變化規律。
小結：被除數和除數同時乘或除以相同的數，商不變。
（2）思考到這里，同學們還有什么問題嗎？
引發學生疑惑：真的所有算式都有這樣的規律嗎？
像這樣通過幾個例子獲得的規律，還只是“猜想”，想知道是否正確，還要想辦法“驗證”。大家可以舉例試試看。
思考1：如果被除數和除數同時乘0，則算式沒有意義，應該作為特例排除在外。
思考2：被除數和除數中只有一個乘或除以一個數，商會變化，強調“同時”。
思考3：被除數和除數乘或除以不同的數，商會變化，強調“同一個數”。
思考4：當出現有余數的情況，雖然余數不同，但商始終相同。
總結：被除數和除數同時乘或除以相同的數（零除外），商不變。這就是商不變的規律。
【設計意圖：本環節經歷從直觀呈現到抽象概括的過程，用相對簡潔的語言概括規律，再次明確有規律的變才會產生不變。在探究過程中，學生必然產生質疑，從而用自己想到的方式去驗證猜想，不斷嘗試、修正和完善自己的思考，更能培養思維的嚴謹性，體現學會確定發現的路徑比發現的規律更重要。】
解釋應用，理解規律。
1.你能解釋他們這樣計算350÷50的理由嗎？
討論：運用了商不變的規律，使除數是整十、整百數的除法變得簡便易算。
【設計意圖：350÷50的算法是之前探索過的數學問題，將懸而未決的數學問題再次提出來，運用本節課所學加以解決，是知識的遷移應用。把除法算式先化簡再計算，使運算過程更簡便，能夠使學生更深刻地體會商不變規律的價值所在。在感受簡捷運算的同時，進一步理解運算的道理，體會規律的價值，感受算法的多樣化。】
2.計算下面各題，并與同伴進行交流。
【設計意圖：商不變的規律從新知探索到鞏固練習，這是學法的遷移，借助之前學過的算式幫助學生再一次感受規律探尋的必要性，在應用中深刻理解規律。】
3.請你舉例說一說，商不變的規律在生活中有哪些應用。在你的身邊，商不變能幫助你解決什么與除法有關的數學問題？
【設計意圖：再次回歸生活，到生活中去應用規律，借助學習的規律指導生活實踐，使學生對規律的認識更加全面、豐富，培養學生用數學的眼光觀察生活、解決現實問題的意識。】
四、全課總結，反思學情。
這節課探索發現了商不變的規律，你學得怎么樣？我們經歷了怎樣的探究過程？還有什么困難？舉例說一說。
【設計意圖：課后總結與反思應該回歸學生主體，充分展示學生學習的個性化感受，是 “四基”“四能”““情感、態度、價值觀”目標是否達成教學的一個反饋良機，也有助于素養的形成。】
五、學情檢測，改進教學。
1.根據第一個算式的結果直接寫得數。
（1）480 ÷ 10 = 48 360 ÷ 30 = 12
（480÷2）÷（10÷2）= □ （360×□）÷（30×9）=12
（480÷5）÷（10÷5）= □ （360÷□）÷（30÷10）=12
（2）20÷5=4 16÷8=2
（20×6）÷（5×□）=4 （16×□）÷（8×3）=2
（20÷5）÷（5÷□）=4 （16÷□）÷（8÷4）=2
2.一捆鐵絲有多少米？
【設計意圖：此題解決問題的思路是開放性的，提高學生靈活應用知識解決實際問題的能力。】
【課后反思】
一、在規律探索中有意識地培養推理意識。
全課的學習充滿著推理，為了有效地把推理意識落地在課堂教學中，本課學習策略的路徑為：觀察與比較、歸納與解釋、關聯與應用，三部分形成完整的閉環。
首先，鼓勵學生仔細觀察兩組算式，根據素材進行充分的對比和分析，初步得出變與不變的猜想。在大膽猜想的基礎上舉例驗證，通過反思、質疑修正，再不斷完善，明晰怎樣有規律的“變”才能產生“不變”。接著運用較為科學的語言歸納表述規律，并再次舉例驗證。最后應用規律解決問題或解釋相關現象。在探究過程中，當學生對已有發現產生質疑，教師應鼓勵學生用自己想到的方式去驗證猜想，不斷嘗試、修正和完善自己的思考，使學生明確數學推理的一般路徑。正是“觀察發現——提出猜想——舉例驗證——得出結論——應用結論”的探究過程，給予學生觀察、比較、操作、分析、綜合、概括的機會，使得規律得以發現、生長、形成，有利于學生推理意識的發展和推理經驗的積累。
二、在體系建構中發展運算能力。
本課應用規律部分充分聯系與回顧前期學習，借助本課規律來解釋之前學習中的“12個百”里有幾個“4個百”的口算方法，感知除數是整十數的口算本質。在感受簡捷運算的同時，進一步理解運算的道理，體會規律的價值，感受算法的多樣化。如果出現（8÷9）÷（2÷9）＝4這樣的例子，不僅能讓學生再次感受到這個“相同的數”是除0以外的所有數，還能提前滲透分數的計算內容。商不變的規律作為橋梁，幫助學生架構起知識的體系，把已學的知識和后延的知識有效聯系起來。
三、在層層遞進的探索過程中發展模型意識。
本課在模型構建上經歷了四個過程，首先創設情境，將模型原型情境化，然后通過觀察比較，使得模型建立過程化，接著驗證規律，將模型理解本質化，最后借由練習，使得模型應用生活化。
利用魔術情境引入，觀察算式并類比仿寫，然后觀察比較幾組算式，初步發現“被除數與除數都變了，商不變”的這一事實，為模型建構做準備。接下來，將數與形相結合，形成多種表征形式，通過學生之間充分的交流與辨析，盡可能地讓學生經歷模型建立的過程，進一步深入理解“商不變的規律”本質。通過舉例驗證這一規律是否對其他的除法算式也適用，完善規律，歸納出“商不變的規律”的文字模型。最后，用模型指導現實生活，鞏固理解“商不變的規律”，也將規律用于解決實際問題，體會數學模型與現實生活的密切聯系，發展學生的模型意識。

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