資源簡介

(共14張PPT)
第5章 一元一次方程
5.2 解一元一次方程
1.等式的性質與方程的簡單變形
第1課時 等式的基本性質
知識點1 等式的基本性質1
1. 已知,把等式兩邊都_____，得 ___.
減2
2.[2024·咸陽期末] 若等式能變形得到，則， 應
滿足的條件是( )
B
A. B. C. D.
3.[2024·南陽期末] 若 ，則下列式子一定成立的是( )
D
A. B. C. D.
4.將的兩邊都______，可得____ ，其依據是______
___________.
加
等式的基本性質1
知識點2 等式的基本性質2
5.（1）將的兩邊都________，得到 ，其依據是_______
___________；
乘以
等式的基本性質2
（2）由變形為，則 滿足_______.
6.[2024·成都期末] 下列變形：①由得；②由 得
；③由得；④由得 .其中正確的
是____.（填序號）
②
7.若，則 的值為____.
8.[2024·信陽期末] 下列變形正確的是( )
D
A.若，則 B.若，則
C.若，則 D.若，則
9.等式的兩邊都減去一個多項式，可得等式 ，則
這個多項式是________.
10.若，則___（填“ ”“ ”或“ ”）
11.小明將等式 變形的過程如下：
，①
，②
.③
（1）出錯的步驟是____，錯因是________________；
（2）正確的結果為_______.
③
未考慮是不是0
12. 老師寫了一個等式：.王聰說 ，劉
敏說不一定，當 時，這個等式也可能成立.你同意誰的觀點？請用
等式的基本性質說明理由.
解：同意劉敏的觀點，理由如下：
當時， 為任意實數；
當時，等式兩邊同時除以，得 .
13.［推理能力］小紅學習了等式的基本性質后，在甲、乙兩臺天平的
左右兩邊分別放入“ ”“ ”“ ”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡.
若設“”與“ ”的質量分別為， ，則下列關系式正確的是( )
C
A. B. C. D.(共18張PPT)
第5章 一元一次方程
5.3 實踐與探索
第3課時 工程問題、行程問題
知識點1 工程問題
1. 某段鐵路由甲工程隊單獨鋪設需要40天，由乙工程隊單獨
鋪設需要60天，那么甲工程隊每天完成總工作量的___，乙工程隊每天
完成總工作量的___，若這兩個工程隊從兩端同時相向施工需要 天完成，
則可列方程為______________，解得 ____.
24
2.[2024·無錫宜興期末] 某工程隊需動用14臺挖土、運土機械，每臺每
小時能挖土或運土，為了使挖出的土能及時運走，設安排 臺
機械挖土，則可列方程為( )
B
A. B.
C. D.
3.[2024·廣州期末] 市政府將一段長為360米的綠化規劃道路承包給了甲、
乙兩個工程隊，兩隊共用20天接力完成.已知甲隊每天可以完成24米，
乙隊每天可以完成16米.則甲工程隊完成了_____米綠化帶.
120
4.[2024·洛陽期中] 汛期到來之前某水利部門利用挖掘機挖掘土方，甲
機單獨挖完需要12天，乙機單獨挖完需要15天，現在兩機合作若干天后，
再由乙機單獨挖6天完成任務，問甲機挖了幾天？
解：設甲機挖了天，根據題意得 ，
解得 .
答：甲機挖了4天.
知識點2 行程問題
5. 三清高速公路全長 ，甲、乙兩車同時從昆明清水、
曲靖三寶兩地高速公路收費站相向勻速出發，經過 相遇，甲車
每小時比乙車多行駛 ，求甲、乙兩車的速度.設乙車的速度為
，可列方程為_ _________________，解得 ____，則甲車的速
度為___________.
86
6.[2024·駐馬店期中] 一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，用了 ；從
乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用了.若水流的速度是 ，則船
在靜水中的平均速度是____ .
27
7.［數學文化］[2024·宜賓中考改編] 元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》
中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，
駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240
里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快
馬追上慢馬的天數是____.
20
8. [2024·呂梁交城期末] 有“最美扶貧高鐵”之稱的張吉懷高
鐵開通后，張家界到懷化的運行時間由原來的縮短至 ，運行里
程縮短了 .已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時快
，求高鐵的平均速度.
解：設高鐵的平均速度為 ，則普通列車的平均速度為
，
由題意得，解得 .
答：高鐵的平均速度為 .
9.[2024·長春月考] 某車間每天需生產50個零件，才能在規定時間內完成
任務，實際上該車間每天比計劃多生產了6個零件，結果比規定的時間提
前3天并超額生產120個零件，則該車間要完成的零件個數為_______.
2 400
10.[2024· 漯河期中] 一列火車勻速行駛，從車頭開始進入長800米的隧
道到車尾離開隧道共需要50秒的時間，在隧道中央的頂部有一盞燈，垂
直向下發光照到火車上的時間是18秒，則這列火車的長為_____米.
450
11. [2024·鄭州期末] 小明家距學校3 000米，放學后小明以80米/
分的速度步行回家，10分鐘后，小亮以280米/分的速度騎自行車回家，
小明和小亮是鄰居，則小亮出發_ _____________時，兩人相距300米.
分鐘或分鐘
12.[2024·廣州期末] 運動場的跑道一圈長 ，小明練習騎自行車，
平均每分鐘騎，小軍練習跑步，平均每分鐘跑 .
（1）兩人從跑道的同一處同時反向出發，經過多長時間首次相遇？
解：設經過首次相遇，則 ，
解得 .
答：經過 首次相遇.
（2）若兩人從跑道的同一處同時同向出發，小軍跑 后，體能下降，
平均速度下降到每分鐘跑 ,經過多長時間兩人首次相遇？
解：設經過 兩人首次相遇，則
，解得 .
答：經過 兩人首次相遇.
13.[2024·周口西華期末] 整理一批圖書，如果由一個人單獨做要用80小
時，假設每個人的工作效率相同.
（1）若限定32小時完成，一個人先做8小時，則需要再增加多少人幫忙
才能在規定的時間內完成？
解：設需要再增加 人幫忙才能在規定的時間內完成，由題意得
,解得 .
答：需要再增加2人幫忙才能在規定的時間內完成.
（2）若計劃由一部分人先做4小時，然后增加3人與他們一起做4小時，
正好完成這項工作的 ，則應該安排多少人先整理？
解：設應該安排人先整理，由題意得，解得 .
答：應該安排6人先整理.
14. 某條城際鐵路線列車運行信息如下表.已知 次列車的
速度千米/分，離站的路程為千米； 次列車的速度
千米/分，離站的路程為 千米.
車次 站 站 站
發車時刻 到站時刻 發車時刻 到站時刻
8：00 9：30 9：50 10：50
8：25 途經 站，不停車 10：30
請根據表格中的信息，回答下列問題：
（1）次列車從站到站行駛了____分鐘，從站到 站行駛了
____分鐘；
90
60
（2）若從8：00開始計時，時長記為分鐘,在 次列車的行駛過程
中 ，
①次列車經過站時， _____；
②若，則 _________.
100
75或125(共17張PPT)
第5章 一元一次方程
專題訓練3 專項整合
一元一次方程的其他典型應用
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答 案 呈 現
2
類型1 計分問題
1.[2024·新鄉期中] 足球比賽計分規則為：勝一場得3分，平一場得1分，
負一場得0分.一個隊進行了14場比賽，其中負5場，共得分19分，則該
隊獲勝___場.
5
2. [2024·承德期末] 如圖，小明和小麗進行鉛球投擲測試，每人
投擲10次，若投擲在區域線上計下一區域，計分規則如下：
投中位置 A區 B區 出界
一次計分/分 2 3
在小明投擲的10次中，投中區4次， 區4次，出界2次.
（1）小明本次投擲測試得分為____分；
18
（2）小麗投擲的10次中，投中區次， 區2次，
其余全部出界，若她的投擲測試得分比小明少了5
分，求 的值.
解： 小麗投擲的10次中，投中區次，區2次，其余全部出界，
出界的次數是 （次）.
她的投擲測試得分比小明少了5分，
，解得 .
類型2 盈不足問題
3.[2024·南陽聯考] 由于換季，商場準備對某商品打折出售，如果按原
售價的七五折出售，將虧損25元，而按原售價的九折出售，將盈利20元.
求該商品的原售價.
解：設該商品的原售價為 元，
根據題意，得，解得 .
答：該商品的原售價為300元.
類型3 數字問題
4.[2024·淄博期末] 一個兩位數，十位數字是個位數字的2倍，交換這個
兩位數的十位數字與個位數字，得到的新兩位數比原來的兩位數小36，
則原來的兩位數是____.
84
5.在某月內,王老師要參加三天的業務培訓,已知這三天日期的數字之和
為39.如果培訓時間是連續三周的周六, 那么培訓第一天的日期是___號.
6
類型4 配套問題
6.[2024·長春月考] 手工制作社的同學用一種彩色硬紙板制作某種長方
體包裝盒，每張硬紙板可制作盒身12個或盒底18個，1個盒身與2個盒底
配成一套.現有28張這種彩色硬紙板，要使盒身和盒底剛好配套，若設
需要 張做盒身，則可列方程為_____________________.
7.[2024·吉林期中] 某工廠生產一批太空漫步器
（如圖）.每套設備由3根立柱，4個腳踏板
（其他零部件已具備且足夠多）組裝而成.工廠現
共有40名工人，每人每天平均生產36根立柱或48
個腳踏板，若每天生產的立柱和腳踏板恰好配套，
則一天可以生產多少套太空漫步器？
解：設安排名工人生產立柱，則安排 名工人生產腳踏板，由
題意，得，解得 ，
（套）.
答：一天可以生產240套太空漫步器.
類型5 分段計費問題
8.[2024·衡陽期中] 我市為提倡節約用水，采取分段收費政策，若每戶
每月用水不超過，每立方米收費3元；若用水超過 ，超過的
部分每立方米加收1元，王老師家3月份交水費89元，則他家該月用水
____ .
26
9. 為響應“建設節約型社會”的號召，某市制定如下規定：每
戶用天然氣如果不超過立方米，按每立方米0.8元收費，超過 立方米，
超過的部分按每立方米1.2元收費.小穎家10月，11月的用氣量和交費金
額如下表：
月份 用氣量（立方米） 交費金額（元）
10 50 40
11 75 66
（1）求 的值；
解：因為， ，
所以 .
依題意得，解得 .
（2）由于天氣轉冷，用氣量增加，小穎預計她家12月使用天然氣的平
均價格為每立方米0.95元.為了節約天然氣，爸爸換用了高科技燃氣灶具，
該灶具在提供相同熱量的情況下，用氣量是原灶具的 .則小穎家12
月比預計可少交天然氣費多少元？
解：設小穎家預計使用天然氣立方米， 預計使用天然氣的平均價格
為每立方米0.95元， 易得 .
根據題意，得，解得 ，
使用高科技燃氣灶具后，用氣量為 （立方米）.
， 應交天然氣費 （元），
可少交天然氣費 （元）.
類型6 方案決策問題
10.[2024·商洛山陽期末] 張老師需要辦一種 套餐.運營商推出了兩種
包月套餐：
套餐一：每月50元月租費，流量資費0.4元/ ；
套餐二：沒有月租費，流量資費0.6元/ .
設張老師每月使用流量 .
（1）張老師使用套餐一每月需花費____________元，使用套餐二每月
需花費______元；（用含 的代數式表示）
（2）張老師每月使用_____ 流量時，兩種套餐花費一樣多；
（3）若張老師平均每月使用流量 ，選擇套餐____比較合算.
250
二
11. [2024·周口鄲城模擬] 春節假期期間，為讓返鄉游子感受到
“老家河南，味道中原”的魅力，某河南特色美食店優惠大酬賓，推出以
下兩種優惠方案：
方案一 可購買100元代金券，每張79元，每次消費時最多可使用3
張，未滿100元的部分不得使用代金券
方案二 消費滿300元按總價的九折優惠，不得同時使用代金券
（1）若某次消費240元，按照方案一使用代金券后，實際花費_____元.
（2）若某次實際花費360元，則在使用優惠方案前可能消費__________
____.
198
400元或423元
（3）小明一家春節假期期間去該美食店消費了 元.
①若按照方案一使用代金券進行優惠，實際花費_________元；若按照
方案二進行優惠，實際花費______元.（用含 的代數式表示）
②選擇哪種方案更省錢？
解：令，解得 ，
易得當 時，選擇方案一更省錢；
當 時，兩種方案花費金額一樣；
當 時，選擇方案二更省錢.(共20張PPT)
第5章 一元一次方程
5.2 解一元一次方程
2.解一元一次方程
第3課時 一元一次方程的簡單應用
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3
D
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A
C
答 案 呈 現
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知識點1 列方程解決實際問題的步驟
1. 某網店上架兩種《西游記》人物模型，“孫悟空”模型60元/件，
“豬八戒”模型40元/件，兩種模型當天共賣出20件，且銷售額相同，求
兩種模型各賣出多少件.
（1）審題：審清題意，弄清已知數、未知數.
（2）設未知數：設“孫悟空”模型賣出 件，則“豬八戒”模型賣出
_________件.
（3）列方程：根據等量關系列方程為__________________.
（4）解方程： ___，則“豬八戒”模型賣出____件.
8
12
（5）檢驗：將 的值代入實際問題進行驗證.
（6）作答：答：“孫悟空”模型賣出___件，“豬八戒”模型賣出____件.
8
12
知識點2 根據“表示同一個量的兩個不同的式子相等”列方程解決問題
2.[2024·重慶黔江區月考] 某車隊運送一批救災物資，若每輛車裝4噸，
還剩下8噸未裝；若每輛車裝4.5噸，恰好裝完.
（1）設車隊有 輛車，可列方程：______________；
（2）設共有 噸物資，可列方程：_ ________.
3.[2024·棗莊期末] 在“垃圾分類”活動中，實踐組有23人，宣傳組有16
人.從宣傳組調 人到實踐組，恰好能使實踐組的人數是宣傳組的2倍，
則 的值為___.
3
4. 一條山路，某人從山腳往山頂走3小時，還有1千米才到山頂，
若從山頂走到山腳則只用150分鐘，已知下山速度是上山速度的1.5倍，
求山腳到山頂的路程.
解：設上山速度為千米/分，則下山速度為 千米/分，
根據題意，得 ，
解得.經檢驗， 符合題意.
山腳到山頂的路程為 （千米）.
知識點3 根據“總量=各分量的和”列方程 解決問題
5.[2024·平頂山期末] 小萌用13元在超市購買了1瓶果汁和4瓶可樂，已
知1瓶果汁比1瓶可樂多0.5元，設1瓶可樂的價格為 元，則可列方程為
( )
D
A. B.
C. D.
6.[2024·鄭州鞏義期末] 新學年，七年級一班共有30名同學報名加入了
籃球、音樂社團.已知加入籃球社團的人數比加入音樂社團的人數多4人，
兩個社團都加入的有8人，設加入籃球社團的有 人，則可列方程為
____________________.
7. 在某中學舉行的“我愛祖國”征文活動中，七年級和八年級
共收到征文118篇，且七年級收到的征文篇數比八年級收到的征文篇數
的一半還少2篇，則七年級收到的征文篇數為____篇.
38
8. 學校組織老師和同學們參觀故宮，并安排了大、小兩種型號
的客車接送師生.若七年級125名師生共租用5輛車，且剛好坐滿，則乘
坐大客車和小客車的各有多少人？
解：設乘坐大客車的有人，則乘坐小客車的有 人，根據題意，
得，解得 .
經檢驗，符合題意，則 .
答：乘坐大客車的有105人，乘坐小客車的有20人.
9.［數學文化］[2024·宿遷中考改編] 我國古代有一道問題，其大意是：
用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余
繩一尺.繩長、井深各幾尺？若設繩長為 尺，則可列方程為( )
A
A. B.
C. D.
10.某班在校園安全教育主題班會上舉行安全知識競賽，一共30道題目.
規則：每道題答對得5分，答錯或不答扣2分.曉紅最后得分80分，則曉
紅答對的題數是( )
C
A.18道 B.19道 C.20道 D.22道
11.[2024·營口期末] 今年小明媽媽和小明的年齡之和是36歲，再過5年，
媽媽的年齡比小明年齡的4倍還大1歲，則今年小明的年齡為幾歲？若設
今年小明的年齡為 歲，則可列出方程為_________________________.
12.[2024·陜西中考改編] 星期天，小峰和爸爸進行一次家庭衛生大掃除.
若小峰單獨完成，需；若爸爸單獨完成，需 .當天，小峰先單獨打
掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成了剩余的打掃
任務.小峰和爸爸這次一共打掃了 ,求這次小峰打掃了多長時間.
解：設小峰打掃了，則爸爸打掃了 ，
由題意，得 ，
解得 .經檢驗，符合題意.
答：這次小峰打掃了 .
13. 小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬
是 型平板電腦一臺和1 500元現金，當她工作滿20天后因故結束實習，
結算工資時公司給了她一臺 型平板電腦和300元現金.
（1）這臺 型平板電腦價值多少元？
解：設這臺型平板電腦價值元，由題意，得 ，
解得 .經檢驗，符合題意.
答：這臺 型平板電腦價值2 100元.
（2）小敏若工作 天，將上述工資支付標準折算為現金，她應獲得多
少報酬？（用含 的代數式表示）
解：由題意，得 （元）.
答：她應獲得 元的報酬.
14.［應用意識］隨著信息技術的發展，停車場普遍采用智能管理系統，
有效控制了車輛出入，可以自動計算停車費用.下表為某停車場收費標準：
收費標準汽車類 型 及以內（不足 按 計算） 超過 的部分加收
（不足按 計算）
小型汽車 3元/ 1元/
大型汽車 4元/ 2元/
（1）小王某日10:00將一輛小型汽車停在該停車場內，當日15:00離開，
則需要繳費___元；
9
（2）若小李將一輛大型汽車停在該停車場若干小時后繳費30元，則小
李最多停了多久？
解：設小李最多停了 ，
根據題意，得，解得 .
答：小李最多停了 .(共11張PPT)
第5章 一元一次方程
專題訓練2 專項整合
利用一元一次方程的解求待定字母的值
類型1 利用方程的解的定義求待定字母的值
1.[2024·駐馬店期末] 已知是方程的解，則 的值
為( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
2.[2024·信陽期末] 方程中被“ ”蓋住了一個數，已知
方程的解是 ，則被蓋住的這個數是____.
10
類型2 利用兩個方程的解之間的關系求待定字母的值
3.[2024·晉城期中] 若關于的方程與 的解相同，則
的值為___.
4
4.若關于的方程的解是方程 的解的3.5倍，
則 的值為___.
4
5.[2024·周口期末] 已知方程的解與關于 的方程
的解互為相反數，求 的值.
解：解方程，得 ，
方程的解與關于的方程 的解互為
相反數，
方程的解是 ，
把代入方程，得 ，解得
.
類型3 利用方程的錯解求待定字母的值
6.[2024·衡陽實驗中學期中] 馬小虎同學在解關于 的方程
時，誤將等號右邊的“”看作“ ”，其他解題
過程均正確，從而解得方程的解為，則原方程正確的解為 ___.
3
7.小明解關于的方程 ，在去分母時，常數1沒有乘以12，
從而解出，請你試著求出 的值，并求出方程正確的解.
解：由題意可知是方程的解，把 代
入方程 ，
得，解得 ，
把代入原方程 ，
得，解得 .
類型4 結合新定義確定待定字母的值
8.[2024·長春期中] 我們規定：若關于的一元一次方程 的解為
，則稱該方程為“和解方程”.例如：方程 的解為
，而，則方程 為“和解方程”.
（1）判斷 是不是“和解方程”；
解：解方程，得 ，
，
方程 不是“和解方程”.
（2）若關于的一元一次方程是“和解方程”，求 的值.
解：解方程，得 .
關于的一元一次方程 是“和解方程”，
，解得 .
類型5 利用方程的解的情況求待定字母的值
9.[2024·重慶沙坪壩區期末] 已知關于的方程 的解是非負
整數，則正整數 的所有可能的值之和為____.
15(共5張PPT)
第5章 一元一次方程
綜合與實踐
【項目主題】設計稱乒乓球和紙杯的質量.
【項目內容】在綜合實踐課上，老師讓同學們利用天平和一些物品探究
等式的基本性質，現有一架天平和一個10克的砝碼，若干個大小相同的
乒乓球（質量相同），若干個大小相同的紙杯（質量相同），設每個乒
乓球的質量是 .下面是“智慧小組”的探究過程：
天平左邊 天平右邊 天平狀 態 乒乓球總 質量/ 一次性紙
杯總質量
/
記錄1 8個乒乓球和1 個 的砝碼 14個一次性紙 杯 平衡
記錄2 4個乒乓球 2個一次性紙杯 和1個 的砝 碼 平衡
【實踐解決】
（1）根據“智慧小組”的探究完成下列問題：
①將表格中的空白部分用含 的式子表示；
解：; ; ;
②分別求1個乒乓球的質量和1個一次性紙杯的質量.
解：由題意得，，解得 ，
，
個乒乓球的質量為，1個一次性紙杯的質量為 .
（2）“創新小組”根據“智慧小組”的探究過程提出這樣一個問題：請你設
計一個方案，使得乒乓球的個數為一次性紙杯個數的2倍，并填入下表：
天平左邊 天平右邊 天平狀態
記錄3 ___個乒乓 球 ___個一次性紙杯和2個10克的砝碼 平衡
完成表格，利用方程的知識說明理由.
8
4
[答案] 理由如下：設一次性紙杯的個數為，則乒乓球的個數為 ，
由題意得，解得， ，
乒乓球的個數為8，一次性紙杯的個數為4.(共23張PPT)
第5章 一元一次方程
5.2 解一元一次方程
1.等式的性質與方程的簡單變形
第2課時 方程的變形規則
知識點1 方程的變形規則
1. 將下列方程的變形補充完整，并寫明依據.
（1）如果，那么 ___，依據是方程的變形規則___.
（2）如果，那么____ ，依據是方程的變形規則___.
2
2
1
2.下列方程變形中，正確的是( )
D
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
知識點2 移項
3.下列各式的變形屬于移項的是( )
C
A.由，得
B.由，得
C.由，得
D.由，得
4.[2024·周口期中] 將方程 移項后，正確的是( )
D
A. B.
C. D.
5.[2024·海南中考] 若代數式的值為5，則 等于( )
A
A.8 B. C.2 D.
6.解下列方程：
（1） ；
解：移項，得，合并同類項，得 .
（2） .
解：移項，得，合并同類項，得 .
知識點3 將未知數的系數化為1
7.解方程 時，應將方程兩邊( )
C
A.都乘以 B.都乘以 C.都除以 D.都除以
8.解方程 ，
合并同類項，可得_________，
將未知數的系數化為1，可得_______.
9.解下列方程：
（1） ；
解：系數化為1，得 .
（2） .
解：系數化為1，得 .
知識點4 利用方程的變形規則解方程
10.下列解方程的過程：①合并同類項，得 ；②
移項，得；③兩邊都除以，得 .排序正確的是
( )
D
A.①③② B.②③① C.③①② D.②①③
11.有一個密碼系統，其原理如圖所示，當輸出的數為 時，輸入的數
是____.
12.解下列方程：
（1） ；
解：移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
（2） .
解：移項，得 .
合并同類項，得 .
系數化為1，得 .
13.[2024·臺州月考] 若與是同類項，則 等于( )
A
A.2 B.0 C. D.3
14.[2024·重慶開學考] 若是方程的解，則 的值是
( )
D
A.6 B. C.2 D.
15.小李在解關于的方程時（其中為已知數），誤將“ ”
看成“”，得方程的解為 ，則原方程的解為______.
16.[2024·成都期末] 如圖，用相同的平行四邊形紙片按照規律拼成下列
圖案，若第個圖案中有2 025張紙片，則 _____.
506
17.如圖，已知直線， ， ，那么
____ .
80
18.解下列方程：
（1） ；
解：移項，得 .
合并同類項，得 .
系數化為1，得 .
（2） .
解：移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
19.[2024·松原期末] 若方程的解比關于 的方程
的解大2，求 的值.
解：解方程，得 ，
方程的解比關于的方程 的解大2，
方程的解為 ，
把代入方程，得，解得 .
20. 將無限循環小數化為分數，可設 ，則
，解得.仿此方法，將無限循環小數 化為分數為
_ __.
21.［運算能力］ [2024·商丘期末改編] 我們規定：若關于 的方程
的解為，則該方程為“差解方程”.例如： 的解為
，且，則方程 是“差解方程”.
（1）方程 是不是“差解方程”？說明理由；
解：方程 是“差解方程”.
理由：解，得 .
， 方程 是“差解方程”.
（2）若關于的方程是“差解方程”，求 的值.
解：解，得 .
關于的方程 是“差解方程”，
，解得 .(共20張PPT)
第5章 一元一次方程
全章整合與提升
整合1 兩個概念
概念1 一元一次方程
1.下列方程中是一元一次方程的是( )
D
A. B. C. D.
概念2 一元一次方程的解
2.下列方程的解是 的是( )
B
A. B.
C. D.
整合2 一組性質——等式的基本性質
3.[2024·北京順義區期末] 如果 ，那么下列等式中，不一定成立的
是( )
D
A. B. C. D.
4.由等式 的兩邊都_____________________，可得到等式
.
乘以（或除以）
整合3 一種解法——一元一次方程的解法
5.下列解方程的變形過程正確的是( )
C
A.，移項，得
B.，系數化為1，得
C.，去括號，得
D.，去分母，得
6.解方程：
（1） ;
解：移項,得 ，
合并同類項，得，系數化為1，得 .
（2） .
解：去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項，得 ，
合并同類項，得，系數化為1，得 .
整合4 一種應用——一元一次方程的實際應用
7.［數學文化］[2024·長春朝陽區一模] 我國古代數學著作《孫子算經》
中記載“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問
人與車各幾何 其大意是：每車坐3人，有2車空出來；每車坐2人，多出9
人無車坐.問人數和車數各是多少 設共有車輛，可求得 的值為____.
15
8.[2024·廣安鄰水期末] 某中學學生軍訓，沿著與筆直的鐵路并列的公
路勻速前進，每小時走4.5千米.一列火車以每小時120千米的速度迎面開
來，測得從火車頭與隊首學生相遇，到火車尾與隊末學生相離，共經過
12秒.如果隊伍長150米，那么火車長_____米.
265
9. 如圖，某校的飲水機有溫水、開水兩個按鈕.溫水和開水共
用一個出水口.溫水的溫度為，流速為 ；開水的溫度為
，流速為 .整個接水的過程中不計熱量損失.
研究表明，蜂蜜的最佳沖泡溫度是 ，某教師攜帶一個容量
為 的水杯接水，用來泡蜂蜜，要使接滿水時杯中水溫在最佳沖
泡溫度范圍內，求該教師接溫水和開水的時間（接水時間按整秒計算）.
解：設泡蜂蜜時接溫水時間是 ，
則混合后溫度為 ，
當時，解得，當 時，解得
，所以 .
因為為整數，所以 ，
所以接開水時間為 .
所以泡蜂蜜時，接溫水，接開水 .
10. [2024·北京中考] 為防治污染，保護和改善生態環境，自
2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標準 階段（以下簡稱
“標準”）.對某型號汽車，“標準”要求 類物質排放量不超過
，，兩類物質排放量之和不超過 .已知該型號
某汽車的，兩類物質排放量之和原為 .經過一次技術改進，
該汽車的類物質排放量降低了，類物質排放量降低了， ，
兩類物質排放量之和為.判斷這次技術改進后該汽車的 類
物質排放量是否符合“標準”，并說明理由.
解：這次技術改進后該汽車的 類物質排放量符合“標準”，理由如下：
設技術改進前該汽車的類物質排放量為， 類物質排放量為
，
根據題意得，解得 ，
，
“標準”要求類物質排放量不超過， ，
這次技術改進后該汽車的 類物質排放量符合“標準”.
整合5 三種思想
思想1 整體思想
11.已知等式，則整式 的值為___.
3
思想2 數形結合思想
12.［數學文化］把9個數填入
的方格中，使其任意一行、一列及
兩條對角線上的數之和都相等，這
樣便構成了一個“九宮格”.它源于我
國古代的“洛書”（圖①），洛書是
8
世界上最早的“幻方”.圖②是僅可以看到部分數值的“幻方”，則 的值為
___.
思想3 分類討論思想
13. [2024·鄭州期中] 如圖，在數軸上，為原點，點 對應的
數為2，點對應的數為.在數軸上有兩動點和 ，它們同時向右運
動，點從點出發，速度為每秒4個單位長度，點從點 出發，速度
為每秒6個單位長度，設運動時間為秒，當點，， 中的一點正好位
于另外兩點所確定線段的中點時， 的值為_ _____.
1或
[解析] 點撥：根據題意得，經過秒后，點表示的數為，點 表
示的數為 .
當點為的中點時，,解得；當點 為
的中點時，，解得;當點為 的中
點時，,解得 （舍去）.
綜上，的值為1或 .
整合6 三種易錯
易錯1 運用等式的基本性質時隱含條件挖掘不透徹致錯
14.[2024·杭州濱江區期末] 已知，，是實數，若 ，則( )
C
A. B. C. D.
易錯2 對一元一次方程的概念不熟致錯
15.[2024·周口期末] 若是關于 的一元一次方程，則
的值是( )
B
A.3 B. C.3或 D.1
易錯3 去分母解方程漏乘致錯
16.解一元一次方程 時，去分母正確的是( )
D
A. B.
C. D.(共20張PPT)
第5章 一元一次方程
5.2 解一元一次方程
2.解一元一次方程
第2課時 解含分母的一元一次方程
知識點1 去分母變形
1.將方程 去分母，需要將方程兩邊都乘以( )
C
A.8 B.10 C.12 D.14
2.[2024·長春期中] 方程 去分母正確的是( )
C
A. B.
C. D.
3.將方程去分母，得 ，錯在( )
C
A.各分母的最小公倍數找錯 B.去分母時，漏乘某項出錯
C.去分母時，分子部分沒有加括號 D.去分母時，各項所乘的數不同
知識點2 解含分母的一元一次方程
4.方程 的解為( )
D
A. B. C. D.
5.[2024·洛陽期中] 代數式與代數式的和為4，則 ____.
6.解方程：
（1） ；
解：去分母，得 .
去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
（2） .
解：去分母，得 .
去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
知識點3 解一元一次方程的步驟
7.下面是嘉淇同學解一元一次方程 的過程，請認真閱讀并
回答相應的問題.
解：去分母，得 ，①
去括號，得 ，②
移項，得 ，③
合并同類項，得 ，④
解得 .
以上解題步驟中，開始出錯的一步是( )
B
A.① B.② C.③ D.④
8.[2024·南陽期中] 解方程: .
（1）請將解方程的過程補充完整.（填變形步驟、變形結果或變形依據）
解：①________，得 .
去括號，得②_______________________.
③______，得④_______________________.（⑤_________________）
合并同類項，得⑥____________.
系數化為1，得⑦_ ________.（ _________________）
去分母
移項
方程的變形規則1
方程的變形規則2
（2）請你寫出上面的解答中，容易出錯的地方（至少寫出兩個）.
解：容易出錯的地方：去分母時忘記每一項都要乘以各分母的最小公倍
數；移項時忘記改變所移項的符號.（答案不唯一）
9.解方程 的最佳方法是先( )
C
A.去括號 B.去分母
C.移項合并 項 D.以上方法均可
10.[2024·內江期中] 已知，，， 為有理數，現規定一種新運算：
，若，則 ___.
1
11.[2024·衡陽月考] 小明在做家庭作業時，發現練習冊上的一道解方程
的題目中有一個數字被墨水污染了：，其中“ ”是被
污染的內容，翻開書后面的答案，這道題的解是，那么“ ”處的
數字為___.
4
12.[2024·成都錦江區期末] 已知關于的方程 與
的解互為倒數，則 的值為__.
13.解方程：
（1） ；
解：去分母，得 .
去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
（2） .
解：方程分母化為整數，得 .
化簡，得 .
去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得 .
系數化為1，得 .
14.[2024·四平期末] 小李在將關于的方程 去分母時，方
程右邊的漏乘了6，因而求得方程的解為 .
（1）試求 的值；
解：由題意，可得的解為 ，則
，解得 .
（2）請你求出原方程正確的解.
解：， 原方程為 ，
解得.即原方程正確的解為 .
15. 如圖，在數軸上，點表示的數為，點 表
示的數為 .
（1）當點與點之間的距離為1時，求 的值；
解：由題意可得，解得 .
（2）若點到原點的距離是點到原點距離的一半，求 的值.
解：由數軸可知，原點不可能在點 的右側，
則可分以下兩種情況：①當原點在點 的左側時，
，解得 .
②當原點在點， 之間時，
,解得 .
綜上所述，的值為5或 .(共17張PPT)
第5章 一元一次方程
5.3 實踐與探索
第1課時 幾何圖形問題
知識點1 平面圖形的形狀變化
1.[2024·揚州江都區期中] 一個長方形的周長為 ，這個長方形的長
減少，寬增加就可成為一個正方形，設長方形的長為 ，
則可列方程為( )
D
A. B.
C. D.
2. 如圖，小彬家的墻上釘著一個用彩繩圍成的三角形，小彬通
過移動釘子，把它變成一個等邊三角形，則該等邊三角形的邊長為___.
7
3.[2024·衡陽期末] 一塊長方形地長18米，如果把它的長增加到22米，
寬減少3米，面積的大小正好不變，這塊長方形地的面積是多少平方米？
解：設原長方形的寬為米，由題意得 ，
解得， （平方米）.
答：這塊長方形地的面積是297平方米.
知識點2 立體圖形的形狀變化
（第4題）
4.如圖，在水平桌面上有甲、乙兩個圓柱形的容器，
內部底面積分別為， .現將甲容器裝
滿水，乙容器是空的.若將甲容器中的水全部倒入乙
容器中，則乙容器中的水面高度比原先甲容器的水
面高度高了，設甲容器的容積為 ，則可
列方程為( )
D
A. B. C. D.
5.某軋鋼廠把一塊底面直徑為、長為 的圓柱形鋼錠軋制成一根
外徑為、內徑為 的無縫鋼管（外徑、內徑均指直徑）.不計加
工過程中的損耗，則這根無縫鋼管的長度是____ .
4.5
知識點3 平面圖形的拼接與分割
（第6題）
6.[2024·南陽鎮平期中] 如圖，軒軒將一個正方形
紙片剪去一個寬為 的長條后，再從剩下的長
方形紙片上剪去一個寬為 的長條.如果兩次剪
下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積
為多少？為解決這個問題，軒軒設正方形的邊長
為 ，則依題意可得方程為 ( )
A
A. B. C. D.
7.[2024·咸陽期末] 如圖，大長方形是由5個完全相同的小長方形和一個
正方形拼成的，其中小長方形的寬是 ，求大長方形的面積.
解：設小長方形的長為，由題意得 ，
解得， 小長方形的長為 ，
大長方形的面積為 .
（第8題）
8.[2024·洛陽期中] 如圖，一個瓶子的容積
為 ，瓶內裝著一些溶液，當瓶子正放
時，瓶內溶液的高度為 ，倒放時，空
余部分的高度為 .則瓶內溶液的體積是
( )
C
A. B. C. D.
9. 如圖，一個無蓋長方體容器的內底面長為，寬為 ，
高為，容器中水的高度為，現把一塊棱長為 的立方體金
屬塊放入水中，則容器內的水將升高___ .
1
（第9題）
10.[2024·漯河期末] 如圖，在長方形 中放入六個完全相同的小長
方形，則圖中陰影部分的面積之和為________.
11. [2024·福州倉山區期中] 如圖是某農場的長方形豬棚.其中一
面靠墻，其他三面全部用圍欄圍住，已知三面圍欄總長為 ，豬
棚的長比寬多，且上有一扇 寬的門，圍欄銜接處的
長度忽略不計.求該豬棚的面積.
解：設豬棚的長為,則豬棚的寬為 ,
根據題意得 ，
解得， ，
該豬棚的面積為 .
12.[2024·德州期末] 如圖是某長方體包裝
盒的展開圖，具體數據如圖所示，且長方
體盒子的長是高的2倍.
（1）設長方體的高為 ，則長為____
，寬為__________；（用含 的式子表示）
（2）請求出長方體包裝盒的體積.
解：由展開圖，得 ，
解得，， ，
長方體包裝盒的體積為 .
13. 如圖，甲、乙兩個長方體透明容器放置在同一水平桌面上，
甲中盛滿水，底面積為，高為 ；乙中沒有水，底面積為
，高為.從甲向乙每分鐘注水 .
（1）甲中水面的高度每分鐘下降_ _ ，乙
中水面的高度每分鐘上升__ ；
（2）從開始注水起，經過_ _____ ，兩個容器中水面的高度相差
.
或8
[解析] 點撥：設經過，兩個容器中水面的高度相差 ，根據題
意，得甲中水面的高度為，乙中水面的高度為 ，當
時，解得；當時，解得 .
故經過或，水面的高度相差 .(共13張PPT)
第5章 一元一次方程
5.1 從實際問題到方程
知識點1 方程與方程的解
1.下列說法中正確的是( )
D
A.含有未知數的式子叫方程 B.能夠成為等式的式子叫方程
C.方程就是等式，等式就是方程 D.方程就是含有未知數的等式
2.下列各式中，屬于方程的是( )
B
A. B. C. D.
3.[2024·南陽新野期末] 下列方程中，解為 的是( )
C
A. B.
C. D.
4. 檢驗下列方程后面大括號內的數是不是相應方程的解：
（1） ；
解：把代入方程，左邊 ，右邊
， 左邊右邊， 不是方程的解.
（2） .
解：把代入方程，左邊 ，右邊
， 左邊右邊， 是方程的解.
知識點2 列方程
5.[2024·鶴壁期末] 根據“比的3倍大5的數等于 的4倍”可列方程為
_____________.
6.[2024·廣州期末] 36名學生去看演出，甲種票每張30元，乙種票每張
20元，若購票恰好用去860元，問甲、乙兩種票各買了多少張？設甲種
票買了 張，則可列方程為________________________.
7.下列式子：；；； ；
；；； .其中方程的個數為( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
8.[2024·長春期末] 已知關于的方程的解是，則
的值為( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
9.[2024·西安期末] 將正方形的一組對邊的長減少 ，得到一個周長
為的長方形，設正方形的邊長為 ，可列方程為____________
_____________.
10.[2024·廣安期中] 某車間有26名工人，每人每天可生產800個螺釘或
1 000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛
好配套，應安排生產螺釘和螺母的工人各多少名？設安排 名工人生產
螺釘，則可列方程為_________________________.
11.根據下列問題列出方程（不必解答）
（1）［數學文化］《九章算術》中有一個問題，大意是：幾個人共買一
件物品，每人出8錢，多出3錢；每人出7錢，還差4錢.問：物價是多少？
解：設物價是錢，根據題意，得 .
（2） 某上衣在實體店按成本價提高 銷售，在直播間又以
實體店售價的8折銷售，結果在直播間每賣出1件該上衣仍可獲利36元.
求1件該上衣的成本價.
解：設1件該上衣的成本價為 元，根據題意，得
.(共10張PPT)
第5章 一元一次方程
專題訓練1 方法整合
特殊一元一次方程的解法技巧
解法1 分母化整再去分母
1.解方程： .
解：方程分母化為整數，得 .
去分母，得 .
去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
2.解方程： .
解：方程分母化為整數，得 .
化簡，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
解法2 利用倒數關系去括號
3.解方程： .
解：去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得 .
系數化為1，得 .
4.解方程： .
解：整理，得 .
所以 .
方程兩邊都乘以5，得 .
去分母，得.解得 .
解法3 分組通分
5.解方程： .
解：方程兩邊分別通分，得
.
化簡，得.解得 .
6.解方程： .
解：移項，得 .
方程兩邊分別通分，得 .化簡，得
.解得 .
解法4 整體思想的應用
7.解方程： .
解：移項,得 ，合并同類
項,得 ，
即.去分母、去括號,得 .移項、合并
同類項,得 .
系數化為1,得 .
8. 方程“ ”可以有多種解
法，觀察此方程，可知運用整體法求解較為簡單.假設 .
（1）把原方程變形為關于的方程：_________________，通過先求 的
值，從而可得 ___；
2
（2）利用上述方法解方程：
.
解：設，則原方程可變形為關于 的方程：
，去括號，得 ，移項，
得 ，
合并同類項，得，系數化為1，得 ，
所以，解得 .(共18張PPT)
第5章 一元一次方程
5.3 實踐與探索
第2課時 和、差、倍、分問題及銷售
問題
知識點1 和、差、倍、分問題
1. 已知壯壯的中性筆數量是園園的2倍，若園園拿出1支中性筆
給壯壯，則壯壯的中性筆數量是園園的3倍，設園園原本的中性筆數量
為 支，則可列方程為( )
A
A. B.
C. D.
2.［數學文化］《孫子算經》中記載了一道題：今有100頭鹿進城，每
家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：城
中有多少戶人家？在這個問題中，城中有____戶人家.
75
3.[2024·南陽期末] 直播間購物已成為年輕人購物的新時尚.小張在某品
牌直播間購買電視和空調各一臺，共花去6 000元，已知空調的單價比
電視的2倍還多600元.求所買的空調與電視的單價分別是多少元.
解：設所買的電視的單價為元，則空調的單價為 元，根據
題意，得 ，
解得， （元）.
答：所買的空調與電視的單價分別為4 200元和1 800元.
知識點2 銷售利潤問題
4.[2024·長春南關區期中] 小區超市搞周末促銷活動，一袋標價135元的
大米，按照八折銷售仍可獲利，設這袋大米的成本為 元，可列的
方程為_____________________.
5. 某經銷商以150元/千克的價格收購金銀花，再以200元/千克的
價格零售，現將金銀花打折出售給某醫藥公司，并使每千克可獲利20元，
則所打折扣為________.
八五折
6.[2024·西安模擬] 一家服裝店在銷售某種服裝時，按這種服裝每件標
價的九折銷售10件的銷售額，與按這種服裝每件的標價降低30元銷售12
件的銷售額相等.求這種服裝每件的標價.
解：設這種服裝每件的標價為 元，
由題意得 ，
解得 .
答：這種服裝每件的標價為120元.
知識點3 與百分率相關的問題
7.[2024·福建中考改編] 2024年我國國民經濟開局良好，市場銷售穩定
增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120 327億元，
比2023年第一季度增長 .若將2023年第一季度社會消費品零售總額
設為 億元，則可列方程為_______________________.
8.[2024·資陽雁江區月考] 王叔叔購買了25 000元某公司1年期的債券，
1年后，扣除 的利息稅后，得到的本息和為26 000元，這種債券的
年利率為____.
9.在300千克濃度為的鹽水中，再加入多少千克濃度為 的鹽水，
就可以得到濃度為 的鹽水？
解：設再加入千克濃度為 的鹽水，
由題意得 ,
解得 .
答：再加入100千克濃度為的鹽水，就可以得到濃度為 的鹽水.
10. [2024·成都期末] 《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，
如圖，它的局部畫面裝裱前是一個長為2.4米，寬為1.4米的長方形，裝
裱后，整幅畫的長是寬的 倍，且四周邊襯的寬度相等，則邊襯的寬度
是( )
B
A.0.5米 B.0.1米 C.0.2米 D.0.25米
11.[2024·吉林開學考] 某商店有兩件進價不同的運動衫都賣了160元，一
件盈利，另一件虧損 ，在這次買賣中該商店( )
B
A.不盈不虧 B.盈利20元 C.盈利10元 D.虧損20元
12. 購買一臺售價為10 225元的家用電器，分兩期付款，且每期
付款數相等.第一期款在購買時已付清，一年后付第二期款，這樣就付
清了全部售價和第一期付款后欠款部分的利息.如果年利率為 ，那
么每期付款_______元.
5 225
13.[2024·許昌期末] 某商場銷售，兩種商品， 種商品每件進價為40
元，售價為60元；種商品每件售價為80元，利潤率為 .
（1）種商品每件利潤率為______， 種商品每件進價為______.
50元
（2）該商場同時購進， 兩種商品共50件，恰好總進價為2 300元，
求購進 種商品多少件.
解：設購進種商品件，則購進種商品 件，由題意，得
，
解得， 購進 種商品20件.
（3）在“購物節”期間，該商場對， 兩種商品進行如下的優惠促銷活動：
①消費超過500元，但不超過800元，按總售價打九折；
②消費超過800元，其中800元部分打八折，超過800元部分打七折.
小華在商場公眾號中參與活動,得到一張滿300減100的購物券，隨后購
買， 商品并實際支付575元，他購買了原價為多少元的商品？
解：設小華購買了原價為 元的商品，
當小華此次購物打折前的總金額超過500元，但不超過800元時，
，解得 ；
當小華此次購物打折前的總金額超過800元時，
，解得 .
小華購買了原價為750元或850元的商品.
14. 小王自主創業開了一家服裝店，換季時，分別以200元/件和
300元/件的價格購進，兩種服裝，共花費28 000元，其中 種服裝的
件數比種服裝的件數少 .
（1）購進， 兩種服裝各多少件？
解：設購進種服裝件，則購進種服裝 件，根據題意，得
，解得，
（件）.
答：購進種服裝50件， 種服裝60件.
（2）在銷售過程中，種服裝很快售盡；種服裝每件按進價加價
銷售，售出一部分后，出現滯銷，于是小王打七六折售完了剩余的 種
服裝，并使種服裝正好保本，求打折出售多少件 種服裝.
解：設打折出售件 種服裝，根據題意，得
，
解得 .
答：打折出售50件 種服裝.(共22張PPT)
第5章 一元一次方程
5.2 解一元一次方程
2.解一元一次方程
第1課時 解含括號的一元一次方程
知識點1 一元一次方程的概念
1.[2024·新鄉期末] 下列方程中是一元一次方程的是( )
D
A. B. C. D.
2.[2024·重慶期末] 已知關于的一元一次方程，那么
的值為( )
C
A.0 B.1 C. D.
【變式題】 已知關于的方程是一元一次方程，則
的值不能等于( )
D
A.0 B.1 C. D.
知識點2 一元一次方程中的去括號變形
3.[2024·杭州期末] 解方程 時，以下去括號正確的是
( )
D
A. B. C. D.
4.[2024·南陽宛城區月考] 解方程 時，去括號
得____________________.
知識點3 解含括號的一元一次方程
5.方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
6.[2024·北京十四中期中] 閱讀下面解方程 的步驟，
完成填空：
解：去括號，得________________.
移項，得_________________.
合并同類項，得_________.
系數化為1，得________.
7.解下列方程：
（1） ；
解：去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
（2） ；
解：去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
（3） ；
解：去括號，得.移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
（4） .
解：去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
8. 小玲解方程 的步驟
如下：
解：去括號，得 .①
移項，得 .②
合并同類項，得 .③
兩邊都除以，得 .④
但是經過檢驗知道， 不是原方程的解.請你檢查一下，上述解題
過程從哪一步開始出錯，并予以改正.
解：從第①步開始出錯.改正如下：
去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得 .
兩邊都除以，得 .
9. [2024·四平期末] 若方程是關于 的一元
一次方程，則 的值為( )
B
A.1 B. C.1或 D.0
10.[2024·吉林樺甸期中改編] 設，，若與 互
為相反數，則 的值是__.
11.[2024·徐州期末] 若代數式的值比的值大1，則
的值為____.
12.[2024·成都期中] 已知 與 互補， 與 互余， ，
則 _____.
13.[2024·許昌禹州期末] 對于兩個非零的有理數， ，規定：
，若，則 ___.
3
14.解方程：
（1） ；
解：去括號，得 ，
移項，得 ，
合并同類項，得，系數化為1，得 .
（2） .
解：去括號，得 ，
移項，得 ，
合并同類項，得，系數化為1，得 .
15.已知方程的解和關于的方程 的
解相同，求 的值.
解：解，得 ，
把代入 ，
得，解得 .
16. 在解形如 這一類含有絕對
值的方程時，我們可以根據絕對值的意義分和 兩種情況討論：
①當時，原方程可化為，解得 ，
符合 ；
②當時，原方程可化為，解得 ，符合
.
原方程的解為或 .
仿照上面的方法解下列方程：
（1） ；
解：分兩種情況：當時，原方程可化為 ，解
得，符合 ；
當時，原方程可化為，解得 ，符合
原方程的解為或 .
（2） .
解：分三種情況討論：
當時，原方程可化為，解得 ，
符合 ；
當時，原方程可化為，解得 ，
符合 ；
當時，原方程可化為，解得 ，不符
合 原方程的解為或 .(共23張PPT)
第5章 一元一次方程
階段綜合訓練
一、選擇題
1.下列方程是一元一次方程的是( )
D
A. B. C. D.
2.[2024·達州開江期末] 如果 ，那么下列等式中不一定成立的
是( )
D
A. B.
C. D.
3.[2024·鶴壁期中聯考] 下列方程變形中，正確的是( )
D
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
4.我們規定，若，則 的值
為( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
5.按如圖程序進行計算，經過兩次輸入，最后輸出的數是10，則最初輸
入的數是( )
C
A. B. C. D.4
6.[2024·綿陽江油期末] 某同學在解方程時，把“ ”處
的數字看錯了，解得，則該同學把“ ”看成了( )
D
A.3 B. C. D.7
7.［數學文化］[2024·鹽城中考改編] 中國古代數學著作《增刪算法統
宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現有一根竿子和一條繩索，用
繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比
竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？若設竿子長為 尺，則可列方程為
( )
A
A. B. C. D.
8.若關于的方程的解為，則關于 的
方程 的解為( )
C
A.2 019 B. C.2 029 D.
二、填空題
9.若關于的方程的解為，則 的值為___.
1
10. 寫一個解為，且 的系數為2的一元一次
方程：_________________________.
（答案不唯一）
11.[2024·南陽期中] 若是關于 的一元一次方
程，則 ___.
0
12.[2024·吉林九中期末] 已知，，若 ，
則 ___.
1
13. 用含鹽的甲種鹽水和含鹽 的乙種鹽水，配制成含
鹽的鹽水，則需甲種鹽水____ .
20
14.[2024·泉州期末] 已知,為定值，關于的方程 ，
無論為何值，它的解總是1，則 ____.
三、解答題
15.解方程：
（1） ；
解：移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
（2） ；
解：去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
（3） .
解：去分母，得 .
去括號，得 .
移項，得 .
合并同類項，得.系數化為1，得 .
16.[2024·安陽內黃期末] 如果兩個一元一次方程的解之和為1，那么我
們就稱這兩個方程為“美好方程”.例如：方程與方程 為
“美好方程”.
（1）請判斷方程與方程 是不是“美好方
程”，并說明理由；
解：是.理由如下：
解方程，得 ，
解方程，得 ，
方程與方程 為“美好方程”.
（2）若關于的方程與方程 是“美好方程”，
求 的值.
解：解關于的方程，得 ，
解方程，得 .
關于的方程與方程 是“美好方程”，
，解得 .
17. [2024·鄭州期末] 一快遞員需要在規定時間內開車將快遞
送到某地，若快遞員開車每分鐘行駛，就早到 ；若快遞
員開車每分鐘行駛，就遲到 .求規定的時間及快遞員所行駛
的總路程.
小明和小新在解答時先設出未知數，然后列出方程如下：
， ，其中方程①由小明
所列，方程②由小新所列.
（1）小明所設 表示____________；
小新所設 表示______________________.
規定的時間
快遞員所行駛的總路程
（2）選擇一種方法寫出完整的解答過程.
解：選擇小明的方法：設規定的時間為 ，
根據題意得，解得 ，
.
答：規定的時間為，快遞員所行駛的總路程為 .
選擇小新的方法：設快遞員所行駛的總路程為 ，
根據題意得,解得 ，
.
答：規定的時間為，快遞員所行駛的總路程為 .
（選擇一種方法即可）
18.[2024·重慶沙坪壩區期中] 圖①
是某年10月的月歷.
（1）如圖①，用一個框豎著框住三
個數，若這三個數的和為60，則這
三個數分別為____________；
13，20，27
（2）如圖①，若任意畫一個十字框，框住五個數，設這五個數為 ，
，，，，具體見圖②，若五個數的和為60，則 的值為____；
12
（3）（2）中十字框框住的五個數中，是否存在 的值，使得
？請說明理由.
解：不存在.理由如下：假設存在 的值，由（2）得
，解得
.所以.因為 ，所以假設不成立.
所以不存在的值，使得 .

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