資源簡介

(共11張PPT)
第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第2課時 運用代入法解二元一次方程
組（2）
知識點1 用一個未知數表示另一個未知數
1.[2024·濮陽期末] 已知方程，用含的代數式表示 ，則
_______；用含的代數式表示，則 _ ______.
知識點2 利用代入法解較復雜的二元一次方程組
2.用代入法解二元一次方程組 最恰當的變形是( )
B
A.由①得 B.由②得
C.由①得 D.由②得
3.解方程組 將①變形為_______③，將③代入②
消去___，解得________，將求得的值代入③，解得________，所以方
程組的解為_ ________________________________________________.
4.解下列方程組：
（1）
解：由①，得 ，③
將③代入②，得，解得 ，
將代入③，得， 方程組的解為
（2）
解：由②，得 ，③
將③代入①，得，解得 ，
將代入③，得， 方程組的解為
5. [2024·信陽期末] 老師設計了一個解方程組的接力游戲，四名
同學每人做一步，每人只能看到前一人給的步驟，并進行下一步計算，
再將結果傳遞給下一個人，過程如圖所示，合作中開始出現錯誤的同學
是____.
丙
6.[2024·周口月考] 對于，，定義新運算“ ”：
，，為常數，若, ，則
____.
41
7.解方程組：
解：整理原方程組，得
由①,得 ，③
將③代入②，得 ，
解得.將代入③，得，即 .所以原方程
組的解為
8.[2024·北京平谷區期中] 閱讀材料：
解方程組由②，得 ，把①代入③，
得，解得.把代入①，得 ，解得
.
方程組的解為
這種解法叫“整體代入法”.請用“整體代入法”解方程組：
解：把②變形為 ，③
把①代入③，得，解得 ，
把代入①，得,解得 ，
方程組的解為(共17張PPT)
第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第5課時 二元一次方程組的簡單應用
知識點1 根據實際問題建立二元一次方程組模型
1.[2024·商丘期中] 已知一張紙可裁成2張紙或4張 紙，現計劃將
10張紙裁成紙和紙共32張，設用張紙裁成紙，用張
紙裁成 紙，則可列方程組為( )
D
A. B.
C. D.
2.某青銅編鐘由八個大小不同的鐘組成，其中最大鐘的高度比最小鐘的
高度的3倍少，且它們的高度相差 .若設最大鐘的高度為
，最小鐘的高度為 ，則可列方程組為_ ____________.
知識點2 二元一次方程組的簡單應用
3. [2024·德陽期末] 市域（郊）鐵路成都至德陽線（ 線），
全長約71千米.中鐵二院兩個班組分別從德陽南站和四川建院站同時開
工掘進.已知甲班組比乙班組平均每天多掘進2.4米，經過5天施工，兩組
共掘進了110米.則甲班組平均每天掘進_____米.
12.2
4.[2024·南陽內鄉開學考] 六年前，的年齡是的年齡的3倍，現在 的
年齡是的年齡的2倍，則 現在的年齡是____歲.
24
5.根據圖中兩人的對話可知，籃球的原價（打折前的價格）為_____元/個.
140
6. [2024·安徽中考] 鄉村振興戰略實施以來，很多外出人員返鄉
創業.某村有部分返鄉青年承包了一些田地，采用新技術種植A，B兩種
農作物，種植這兩種農作物每公頃所需人數和投入資金如下表：
品種 每公頃所需人數 每公頃所需資金/萬元
A 4 8
B 3 9
已知農作物種植人員共24位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金
共60萬元.問A，B兩種農作物的種植面積各為多少公頃？
解：設A種農作物的種植面積為公頃，B種農作物的種植面積為 公頃，
由題意可得解得
答：A種農作物的種植面積為3公頃，B種農作物的種植面積為4公頃.
7.[2024·運城期末] 某農戶種植一種能食用的香椿，去年的利潤
（利潤 收入-支出）為24 000元；今年引進大棚種植技術，今年種植香
椿的收入比去年增加了，支出減少了 ，今年的利潤為44 800元.
則該農戶去年的收入和支出各為多少元？
解：設該農戶去年的收入、支出分別為元， 元，
根據題意，得
解得
答：該農戶去年的收入為64 000元，支出為40 000元.
8.［數學文化］[2024·深圳中考改編] 在明朝程大位的著作《算法統宗》
中有首住店詩，大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客
房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一
間房.設該店有客房間，房客 人，則可列方程組為_ _____________.
9.[2024·成都模擬] 從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果保持
上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走 ，那么從
甲地到乙地需54分鐘，從乙地到甲地需42分鐘，則甲地到乙地全程是
____ .
3.1
10.[2024·北京大興區模擬] 現有，兩種書籍疊放在桌子上，一本 書
籍和一本書籍厚度的比為，則一本書籍的厚度為___ .
1
11. [2024·吉林月考] 某興趣小組進行活動，每個男生都頭戴藍色
帽子，每個女生都頭戴紅色帽子，帽子戴好后，每個男生都看見戴紅色
帽子的人數比戴藍色帽子的人數的2倍少1，而每個女生都看見戴藍色帽
子的人數是戴紅色帽子的人數的 ，問該興趣小組男生、女生各有多少
人？
解：設該興趣小組有男生人，女生 人，
根據題意，得解得
答：該興趣小組男生有7人，女生有11人.
12. 某校七年級一班布置教室，購買了一些日常用品和裝飾品，
清單見下表（部分信息不全）
物品名 單價/元 數量/個 金額/元
掛鐘 30 2 60
拖把 3
小黑板 2
格言貼 2 90
門墊 35 1
合計 10 310
請完成下列各題：
（1）____， ____.
45
35
（2）已知二班從同一處以相同的價格購買相同的4個拖把和3個小黑板
花了180元，求拖把和小黑板的單價.
解：設拖把的單價為元，小黑板的單價為 元，根據題意，得
解得
答：拖把的單價為15元，小黑板的單價為40元.
（3）若干天后，該班級再次購買格言貼和拖把兩種物品（兩種物品都
有），共花費105元，有幾種不同的購買方案？請將方案列舉出來.
解：設購買個格言貼， 個拖把，
根據題意，得， .
又，都是正整數，或
該班級共有2種不同的購買方案：
方案1：購買1個格言貼，4個拖把；
方案2：購買2個格言貼，1個拖把.
榮老師告訴你
列二元一次方程組解應用題時,應從題目中找出兩個獨立的等量關系,根
據兩個等量關系列方程組求解即可.(共16張PPT)
第6章 一次方程組
6.4 實踐與探索
知識點1 建立二元一次方程組解決實際問題
1.[2024·鄭州鄭東新區] 某廠生產物理電學實驗器材，一個電表包內裝
有1個電壓表和2個電流表.生產線共60名工人，每名工人每天可生產14
個電壓表或20個電流表.若分配名工人生產電壓表， 名工人生產電流
表，恰好使每天生產的電壓表、電流表配成套，則可列方程組為( )
D
A. B.
C. D.
2.某商店推出促銷活動，同時購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打
七折，需要花費224元，已知一副羽毛球拍的標價比一副乒乓球拍的標
價的2倍多20元.設一副乒乓球拍的標價為元，一副羽毛球拍的標價為
元，則根據題意，可列方程組為_ _________________.
3.［數學文化］[2024·遼寧中考改編] 我國古代數學著作《孫子算經》
中有“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，
問雉兔各幾何？”其大意是：雞兔同籠，共有35個頭，94條腿，則雞有
____只，兔有____只.
23
12
4.[2024·成都期末] 在一次有12個隊參加的足球單循環賽（每兩隊之間
必須比賽一場）中，規定勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分.某
隊在這次足球賽中所勝場數比所負場數多2場，結果共積18分，該隊戰
平幾場？
解：設該隊勝了場，戰平 場.
根據題意，得解得
答：該隊戰平了3場.
知識點2 建立二元一次方程組解決幾何問題
5.一塊長方形菜園，長是寬的3倍，如果長減少3米，寬增加4米，這個
長方形就變成一個正方形.設這個長方形菜園的長為米，寬為 米，根
據題意，可列方程組為( )
B
A. B.
C. D.
6.已知梯形的高是，面積是，它的上底比下底短 ，則
該梯形的上底長___，下底長___ .
3
5
7.[2024·宜賓期末] 如圖①，在大正方形
中剪去一個小正方形，再將圖中的陰影
部分剪拼成一個長方形，如圖②，這個
長方形的長為24，寬為16，則圖②中
部分的面積是____.
64
[解析] 點撥：設大正方形的邊長為，小正方形的邊長為 ，根據題意，
得解得故題圖②中部分的面積是 .
8.[2024·長春開學考] 在長為，寬為 的長
方形空地中，沿平行于長方形各邊的方向分割出
三個完全相同的小長方形花圃，其示意圖如圖所
示.則小長方形花圃的長和寬分別是多少？
解：設小長方形花圃的長為，寬為 ，
由題意，得解得
答：小長方形花圃的長為，寬為 .
9.［數學文化］[2024·成都中考改編] 中國古代數學著作《九章算術》
中記載了一個題目，大意是：今有人合伙買琎 石（像玉的石頭），
每人出錢，會多出4錢；每人出 錢，又差了3錢.問人數，琎價各是多少？
設人數為，琎價為 錢，則可列方程組為_ ____________.
10.[2024·大同平城區聯考] 兩人練習跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可
追上乙，如果乙先跑2秒鐘，則甲6秒可追上乙，則甲、乙兩人的速度分
別為_______________.
8米/秒，6米/秒
11.［運算能力］為督促市民規劃停車，某市中心城區開啟公共區域停車
收費模式，收費標準如下：不超過1小時按1小時收費，標準為 元/時；
1小時之后，每30分鐘計費一次， 元/30分.白天該停車場兩臺車分別停
車3小時和4.5小時，分別收費10元和14.5元，則___， ____.
4
1.5
12. 如圖，把一個長，寬
的長方形分成五塊，其中兩個大正方形完全相同，
兩個小長方形完全相同.求中間小正方形的面積.
解：設大正方形的邊長為，中間小正方形的邊長為 ，根據題
意，得解得
故中間小正方形的面積為 .
13. [2024·信陽期末] 某景點的門票價格如下表所示：
購票人數/人 100以上
門票單價/元 20 18 15
某校七年級 兩班計劃去該景點游覽，其中（1）班人數少于50人，
（2）班人數多于50人且少于100人，如果兩班都以班為單位單獨購票，
則一共支付1 950元；如果兩班聯合起來作為一個團體購票，則只需花
費1 545元.
（1）兩個班各有學生多少人？
解：設七年級（1）班有學生人，七年級（2）班有學生 人，
的結果不是正整數， （人），103是正
整數， ，
由題意，得解得
答：七年級（1）班有學生48人，七年級（2）班有學生55人.
（2）在售票中心了解到該景點為“游園會”推出了“買四贈一”的優惠活
動，即每買4張20元的票可獲得一張同等價值的贈票，為了節約費用，
請問七年級 兩班是否應該集體用“游園會”贈票方式購票？
解：兩個班一共有學生103人，每5人一組，
（組） （人），
需要 （元）.
元元， 七年級 兩班不應該集體用“游園會”贈票
方式購票.(共12張PPT)
第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第3課時 運用加減法解二元一次方程
組（1）
知識點1 加減消元法——某一相同未知數的系數相同
1. 方程組中， 的系數特點是______，故
只要將兩方程______，即可消去未知數，為使 的系數為正，可以用
____-____得到方程________.
相等
相減
②
①
2.方程組 的解為_ ________.
3.[2024·蘇州中考] 解方程組：
解：，得，解得 ，
將代入①，得，解得 ，
方程組的解為
知識點2 加減消元法——某一相同未知數的系數互為相反數
4. 方程組中， 的系數特點是___________，
故只要將兩方程______，即可消去未知數___，得到方程________.
互為相反數
相加
5.解二元一次方程組 下列加減消元正確的是( )
A
A.，得 B.，得
C.，得 D.，得
6.[2024·樂山中考] 解方程組：
解：，得，解得 ，
將代入①，得，解得 ，
方程組的解為
7. 解關于和的二元一次方程組 時，若
可直接消去未知數，則和 ( )
B
A.大小相等 B.互為相反數 C.有一個為0 D.互為倒數
8.[2024·周口模擬] 已知，滿足方程組則
____.
9.用加減法解方程組：
解：整理原方程組，得
，得，解得 ，
將代入①，得，解得 ，
所以原方程組的解為
10.[2024·長春德惠月考] 已知關于，的方程組 和
的解相同.求, 的值.
解： 方程組和 的解相同，
與④組合，得解得
把 代入②與③組合的方程組中，得
解得(共6張PPT)
第6章 一次方程組
綜合與實踐
[2024·寧波余姚期末] 根據以下素材，探索完成任務.
如何設計板材裁切方案？ 素材1 圖①是一張學生椅，主要由靠背、 坐墊及鐵架組成.經測量，該款學生 椅的靠背尺寸為 ， 坐墊尺寸為 .圖②是 靠背與坐墊的尺寸示意圖. ________________________________
如何設計板材裁切方案？ 素材2 因學校需要，某工廠配合制作該款式學生椅.清點庫存時發
現，工廠倉庫已有足夠的學生椅鐵架，只需在市場上購進某
型號板材加工制作該款式學生椅的靠背與坐墊即可.已知該型
號板材長為，寬為 （裁切時不計損耗）.
續表
我是板材裁切師
任務一 擬定裁切方案
若要不造成板材浪費，請你設計出一張該型號板材的所有裁切方法.
方法一：裁切靠背16張和坐墊0張.
方法二：裁切靠背___ 張和坐墊___ 張.
方法三：裁切靠背___ 張和坐墊___ 張.
9
3
2
6
點撥：設一張該型號板材裁切靠背張，坐墊 張，根據題意，
得 ，
，， 為非負整數，
或或
方法二：裁切靠背9張和坐墊3張；
方法三：裁切靠背2張和坐墊6張.
任務二 解決實際問題
現需要制作700張學生椅，該工廠倉庫現有1張坐墊和11張靠背，若用方法
二和方法三裁切，那么還需要購買該型號板材多少張（恰好全部用完）？
解：設用張該型號板材每張裁切靠背9張和坐墊3張，用 張該型號板材
每張裁切靠背2張和坐墊6張，
根據題意，得
解得
（張）， 還需要購買該型號板材145張.(共12張PPT)
第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第4課時 運用加減法解二元一次方程
組（2）
知識點 用加減法解較復雜的二元一次方程組
1.[2024·懷化期末] 用加減法解方程組 時，無法消元的是
( )
C
A. B. C. D.
2.[2024·新鄉期中] 用加減法解方程組 時，下列變形正確
的是( )
A
A. B.
C. D.
3.解方程組請你寫出一種消去未知數 的思路：
_____________________________，方程組的解是_ ________.
（答案不唯一）
4.用加減法解下列方程組：
（1）
解：，得，解得 .
把代入①，得，解得 ，
故原方程組的解是
（2）
解：，得，解得 ，
將代入①，得,解得 ，
故原方程組的解為
5.方程組 的解為_ _______.
6.［整體思想］若方程組的解滿足，則
的值為__.
7.[2024·南陽期中] 已知，滿足若 可
整體得到的值，則____， ___.
5
8. [2024·成都期末] 已知方程組 有整數解，求正
整數 的值.
解：
，得 ，
是正整數， .
又 方程組有整數解， 易得，解得 .
9.［運算能力］閱讀下文，運用文中方法解題.
解方程組 時，若用常規的代入消元法、加減消元法
來解，將十分復雜，而采用下面的解法則比較簡單： ，得
，所以，，得 ，
，得，將代入③，可求得 ，所以原方程組的
解是
解方程組：
解：，得 ，③
，得 ，④
，得，解得 ，
把代入③，得，解得 ，
所以原方程組的解是(共8張PPT)
第6章 一次方程組
專題訓練6 重難特訓
二元一次方程組的實際應用
1. 某藥店用3 000元購進甲、乙兩種體溫計，體溫計賣出后，甲
種體溫計的利潤率是，乙種體溫計的利潤率是 ，兩種體溫計共
獲利675元，若甲種體溫計的進價為每支2元，乙種體溫計的進價為每支
5元，則甲、乙兩種體溫計共購進_______支.
1 050
2. [2024·鄭州開學考] 佳佳坐在勻速行駛的車上，將每隔一段時
間看到的里程碑上的數描述如下：
時刻 12：00 13：00 14：00
里程碑上 的數 是一個兩位 數，數字之和 為7 十位數字和個位數字 與12：00看到的剛好 相反 比12：00看到的兩
位數中間多了個0
則佳佳12：00看到的兩位數是____.
16
3. 如圖，一列快車長70米，
一列慢車長80米，若兩車同向而行，快車
從追上慢車到完全超過慢車，所用時間為
20秒.若兩車相向而行，則兩車從相遇到完
全分離所用的時間為4秒，求兩車每秒鐘
各行多少米.
解：設快車每秒行米，慢車每秒行 米，根據題意，得
解得
答：快車每秒行22.5米，慢車每秒行15米.
4.甲、乙兩工程隊共同修建 的公路，原計劃30個月完工.實際施
工時，甲隊通過技術創新，施工效率提高了 ，乙隊施工效率不變，
結果提前5個月完工.甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建多長？
解：設甲工程隊原計劃平均每月修建 ，乙工程隊原計劃平均每月
修建 ，根據題意，得
解得
答：甲工程隊原計劃平均每月修建 ，乙工程隊原計劃平均每月修
建 .
5.[2024·周口商水期中] 已知用2輛型車和1輛 型車載滿貨物一次可運
貨10噸；用1輛型車和2輛 型車載滿貨物一次可運貨11噸.某物流公司
現有31噸貨物，計劃同時租用型車輛，型車 輛，一次運完，且恰
好每輛車都載滿貨物，根據以上信息，解答下列問題：
（1）1輛型車和1輛 型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？
解：設1輛型車和1輛型車都載滿貨物一次可分別運貨噸， 噸，
依題意，得解得
答：1輛型車載滿貨物一次可運貨3噸，1輛 型車載滿貨物一次可運貨
4噸.
（2）請你幫該物流公司設計租車方案，并把符合要求的租車方案都列
出來.
解：由（1）得，， ，
，都是正整數，或或
即有3種租車方案：
方案一：租型車9輛， 型車1輛；
方案二：租型車5輛， 型車4輛；
方案三：租型車1輛， 型車7輛.
（3）若型車每輛需租金100元/次， 型車每輛需租金120元/次，則（2）
中最省錢的租車方案是______________________，最少租車費為_____元.
租型車1輛，型車7輛
940(共19張PPT)
第6章 一次方程組
全章整合與提升
整合1 三個概念
概念1 二元一次方程（組）
1.[2024·東營期末] 下列方程組中是二元一次方程組的是( )
C
A. B.
C. D.
概念2 二元一次方程（組）的解
2.[2024·北京昌平區期末] 若是關于， 的二元一次方程
的一個解，則 的值為( )
D
A. B.1 C. D.2
3.[2024·南陽宛城區月考] 已知是二元一次方程組
的解，則 的值是___.
4
概念3 三元一次方程組
4.下列方程組不是三元一次方程組的是( )
B
A. B.
C. D.
整合2 兩種解法
解法1 二元一次方程組的解法
5.解下列兩個方程組：和 較為簡單
的解法應為( )
B
A.均用代入法 B.①用代入法，②用加減法
C.均用加減法 D.①用加減法，②用代入法
6.利用加減消元法解方程組嘉嘉說：要消去 ，可以
將；琪琪說：要消去，可以將 ；關于嘉
嘉、琪琪的說法，下列判斷正確的是( )
D
A.嘉嘉對，琪琪不對 B.嘉嘉不對，琪琪對
C.嘉嘉和琪琪都不對 D.嘉嘉和琪琪都對
7.解方程組：
解：方程組整理，得
，得，解得 ，
把代入②，得，解得 ，
方程組的解是
解法2 三元一次方程組的解法
8.[2024·洛陽期末] 解方程組：
解：，得 ，④
，得，解得 ，
把代入④，得,解得 ，
把代入②，得,解得， 方程組的解為
整合3 三個應用
應用1 二元一次方程組與其他概念的應用
9.若與的值互為相反數，則 的值為
( )
A
A.11 B.3 C.10 D.
應用2 二元一次方程組與幾何圖形的應用
10. [2024·臨汾期末] 如圖，在長方形
中放置10個形狀、大小都相同的小長方形，
與 的差為2，小長方形的周長為28，則圖中
陰影部分的面積為( )
A
A.120 B.110 C.90 D.80
應用3 二元一次方程組的實際應用
11.[2024·漯河期中] 某商場按定價銷售某種商品時，每件可獲利30元；
按定價的八折銷售該商品5件與將定價降低20元銷售該商品8件的利潤相
等.設該商品每件的進價，定價分別為元， 元，則可列方程組為
_ ___________________________.
12. [2024·山西中考] 科學處理廢舊智能手機，既可減少環境污
染，還可回收其中的可利用資源.據研究，從每噸廢舊智能手機中能提
煉出的白銀比黃金多760克.已知從2.5噸廢舊智能手機中提煉出的黃金，
與從0.6噸廢舊智能手機中提煉出的白銀克數相等.求從每噸廢舊智能手
機中能提煉出黃金與白銀各多少克.
解：設從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金克，白銀 克，
根據題意，得解得
答：從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金240克，白銀1 000克.
整合4 兩種思想
思想1 轉化思想
13.[2024·眉山期中] 對于任意有理數，，， ，我們規定
.已知，同時滿足，，則
____.
思想2 整體思想
14.[2024·義烏期末] 若關于，的二元一次方程組 的解
還滿足，則 的值為___.
6
15.解方程組：
解：將①代入②，得，解得 ，
將代入①，得 ，
解得， 方程組的解為
整合5 兩種易錯
易錯1 二元一次方程求解中漏解或多解
16. [2024·南陽期末] 學習委員為班級購買知識競賽獎品后與生
活委員的對話如下：
學習委員連忙拿出發票，發現的確錯了.因為她還多買了一個文具袋，
但文具袋的單價已模糊不清，只能辨認出單價是小于10的正整數，那么
文具袋的單價可能是 ___________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_________________________ 元.
2或6 點撥：設文具袋的單價為 元，單價為6元
的鋼筆購買了支，則單價為10元的鋼筆購買了 支，依題意，
得，解得， 文具袋的
單價是小于10的正整數，是整數， 易得當時， ，
符合題意；當時， ，符合題意.綜上所述，文具袋的
單價可能是2或6元.
易錯2 忽視二元一次方程定義的隱含條件
17.已知方程組是關于,的二元一次方程組,則
的值是____.(共22張PPT)
第6章 一次方程組
6.1 二元一次方程組和它的解
知識點1 二元一次方程（組）的定義
1.[2024·商丘期末] 下列方程中是二元一次方程的是( )
B
A. B. C. D.
2.[2024·周口期末] 下列方程組中，是二元一次方程組的是( )
D
A. B.
C. D.
3.已知是關于，的二元一次方程，則 的取值范圍
是 _______.
4. 寫出一個未知數為, 的二元一次方程組：
_ __________________________.
（答案不唯一）
知識點2 二元一次方程（組）的解
5.[2024·長春南關區期中] 方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
6.[2024·濮陽華龍區期中] 若 是二元一次方程組的解，則這個方
程組可以是( )
C
A. B.
C. D.
7. 已知兩個二元一次方程：
； .
（1）對于給出的值，在下表中分別寫出對應的 的值；
0 1 2 3 4
____________ __ ____ ___ ___ __ ___ ____
____ ______ ____ ____ __ ____ ____
填表如下：
0
3
6
9
12
2.5
6
9.5
13
（2）請你寫出方程組 的解.
解：
知識點3 根據題意列二元一次方程組
8.[2024·朔州期末] 為支持某村農戶發展特色種養業和手工作坊，政府
特提供專項資金共240萬元，且特色種養業專項資金金額是手工作坊專
項資金金額的3倍.若設特色種養業專項資金金額為 萬元，手工作坊專
項資金金額為 萬元，則可列方程組為( )
A
A. B.
C. D.
9.有一塊面積為180畝的荒地需要綠化，計劃甲隊先綠化，然后乙隊接
替甲隊，兩隊共用20天完成.已知甲隊每天綠化8畝，乙隊每天綠化12畝，
計劃甲隊需綠化天，乙隊需綠化 天，則可列方程組為
_ ________________.
10.設適當的未知數，列出二元一次方程組：
甲、乙兩人相距50千米，若同向而行，乙10小時可追上甲；若相向而行，
2小時兩人相遇.求甲、乙兩人每小時各行多少千米.
解：設甲每小時行千米，乙每小時行 千米，則可列方程組為
11.[2024·開封蘭考期中] 若是關于， 的二元一
次方程，則 的值是( )
A
A.1 B.任何數 C.2 D.1或2
12.[2024·呂梁模擬] 某校為物理興趣小組的同學購買了一根長度為
的導線，將其全部截成和 兩種長度的導線
（每種長度的導線至少一根）用于實驗操作，則截取方案共有( )
B
A.8 種 B.7種 C.6種 D.5種
13.[2024·長春高新區期末] 若是關于， 的二元一次方程
的解，則 的值是__.
【變式題】 ［整體思想］已知是二元一次方程 的解，
則代數式 的值是____.
[解析] 點撥：是二元一次方程的解， ，
.
14.[2024·吉林期中] 小亮求得方程組的解為 由于不
小心，墨水滴在紙上剛好遮住了兩個數和●，則 ●的值為___.
7
15. [2024·洛陽期中] 一個二元一次方程組的解是
試寫出一個符合要求的方程組：
_ ___________________________.
（答案不唯一）
16.［數學文化］[2024·天津中考改編] 《孫子算經》是我國古代著名的
數學典籍，其中有一道題，大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還
剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設木
長尺，繩子長 尺，則可以列出的方程組為_ _____________.
17.［模型觀念］某兩位數，兩個數位上的數字之和為11.這個兩位數加
上45，得到的新兩位數恰好等于原兩位數的兩個數位上的數字交換位置
所表示的數，求原兩位數.
（1）列一元一次方程求解；
解：設原兩位數的個位數字為，則十位數字為 ，依題意，得
，
解得， .
答：原兩位數為38.
（2）如果設原兩位數的十位數字為，個位數字為 ，列二元一次方程
組，并檢驗（1）中求得的結果是否滿足該方程組.
解：依題意，得
當，時， ，
， 中求得的結果滿足該方程組.
18.［運算能力］[2024·鄭州月考]
小紅和小明兩人共同解關于， 的
方程組 閱讀下圖
中他們的對話內容，計算：
___.
0(共14張PPT)
第6章 一次方程組
6.2 二元一次方程組的解法
第1課時 運用代入法解二元一次方程
組（1）
知識點1 直接利用代入法解二元一次方程組
1. 解方程組 時，把____代入____，得
，合并同類項，得____，解得___，再將
___代入②，得 _____，故方程組的解為_ _________.
②
①
4
4
2.[2024·新鄉期中] 二元一次方程組 的解是_ ________.
3.解方程組：
解：把②代入①，得 ，
解得 ，
把代入②，得 ，
方程組的解是
知識點2 轉化后利用代入法解二元一次方程組
4. 解方程組時，由②得 _______③，把③
代入①，得__________________，解得___，再把求得的 的值代入
③，得 ___，故原方程組的解為_ _______.
1
3
5.[2024·焦作模擬] 方程組 的解為_ _______.
6.[2024·浙江中考] 解方程組：
解：由①，得 ，③
把③代入②，得 ，
解得 ，
把代入③，得 ，
方程組的解是
7.已知關于，的方程組用含的式子表示為 _______.
8.[2024·資陽期末] 已知與是同類項，則
___， ____.
2
9.[2024·鶴壁期中] 已知是二元一次方程組 的解，
則 ___.
7
10.[2024·東莞期末] 如果，那么 ___.
9
11.解下列方程組：
（1）
解：由①，得 ，③
把③代入②，得，解得 ，
把代入③，得 ，
方程組的解為
（2）
解：由①，得 ，③
把③代入②，得，解得 ，
把代入③，得 ，
方程組的解為
12. 在方程中，當時，；當
時，.當時，求 的值.
解：根據題意，得解得
方程為 ，
當時， .(共13張PPT)
第6章 一次方程組
*6.3 三元一次方程組及其解法
知識點1 三元一次方程組及其解法
1.下列是三元一次方程組的是( )
C
A. B.
C. D.
2.解方程組 最簡便的消元方法是先消去___.
3.解方程組：
解：，得 ，④
，得 ，⑤
聯立④⑤得方程組解得
把代入①，得 ，
所以方程組的解為
知識點2 三元一次方程組的簡單應用
4.設一雙鞋的單價為元，一頂帽子的單價為元，一個口哨的單價為
元，根據下圖可列方程組：_ _____________.
5.[2024·洛陽宜陽期中] 某車間有職工63人，加工一件產品需經三道工
序，平均每人每天在第一道工序能加工300件，在第二道工序能加工500
件，在第三道工序能加工600件，為使工作量飽和，三道工序應分別安
排____人、____人和____人.
30
18
15
6. 在中，當時，；當
時，；當時，，則當時， ____.
18
7.[2024·宜賓期中] 若 ，則
____.
10
8.[2024·泉州期末] 已知是方程組 的解，則
___.
2
9. [2024·濟南期中] 在求代數式的值時，可以用整體求值的方法，
化難為易.
例：已知要求的值，先由 ，得
，③
再由，得 .
（1）已知求 的值；
解：
，得，則 .
（2）馬上期中了，班委準備把本學期賣廢品的錢給同學們買期中獎品，
根據商店的價格，購買40本筆記本、20支簽字筆、4支記號筆需要488元.
通過還價，班委購買了80本筆記本、40支簽字筆、8支記號筆，只花了
732元，請問比原價購買節省了多少錢？
解：設筆記本、簽字筆、記號筆的原價分別為 元/本，
元/支，元/支，根據題意，得 ，
， （元），
比原價購買節省了244元.(共17張PPT)
第6章 一次方程組
專題訓練4 方法整合
靈活求解二元一次方程組
類型1 選擇適當的方法解方程組
方法指導
（1）當方程組中某一個未知數的系數是1或其中一個方程的常數項為0
時，用代入消元法較簡單；（2）當方程組中某一個未知數的系數相同
或互為相反數或成倍數時，用加減消元法較簡單；（3）當兩個方程都
較為復雜時，用加減消元法更適合.
1.用合適的方法解下列方程組.
（1）[2024·洛陽期中]
解：將②代入①，得 ，
解得 ，
將代入②，得 ，
所以方程組的解是
（2）
解：，得，解得 ，
將代入①，得，解得 ，
所以方程組的解為
（3）
解：，得，解得 ，
將代入①，得，解得 ，
所以方程組的解為
（4）[2024·重慶期末]
解：，得，解得 ，
將代入①，得，解得 ，
所以方程組的解是
（5）[2024·南陽期中]
解：，得，解得 ，
把代入①，得，解得 ，
所以方程組的解為
（6）
解：由①，得，將③代入②，得 ，
解得，將代入③，得，解得 ，
所以方程組的解為
（7）[2024·攀枝花期末]
解：由①，得 ，③
，得，解得 ，
將代入③，得，解得 ，
所以方程組的解為
（8）
解：整理方程組，得
，得,將代入①，得,解得 ,
所以方程組的解為
（9）[2024·樂山期中]
解：整理方程組，得
，得，解得 ，
將代入①，得，解得 ，
所以方程組的解為
類型2 巧解方程組
方法1 設參數法
2.[2024·重慶期末] 如果二元一次方程組中含有未知數的比例，那么可
以用參數換元法，如解方程組設，則 ，代
入②中，得，解得，則, 原方程組的解為
請用這種方法解下列方程組：
（1）
解：設，則，， ，
代入②中，得，解得 ，
,, 方程組的解為
（2）
解：設，則 ，
代入②中，得，解得 ，
,， 方程組的解為
方法2 整體代入法
3.[2024·周口十九中月考] 小智在解方程組 時發現，
可將①變形為 ，代入②，可以很輕松地解出這個方程組.小智
發現的這種方法叫做“整體代入法”.
（1）按照小智的方法，求得這個方程組的解為_ _______；
（2）用整體代入法解方程組
解：整理方程組，得
把②整體代入①，得，解得 ，
把代入②，得，解得 ，
方程組的解為
方法3 換元法
4.[2024·洛陽西工區期中] 樂樂在解方程組
時，采用了一種“整體換元”的解法：把， 分別看成一個整體，
設，，則原方程組可化為 解得
即解得
運用“整體換元”的方法，回答下列問題：
（1）方程組的解是 則方程組
的解是_ ________；
（2）解方程組
解：令， ，
則原方程組可化為
解得即解得(共12張PPT)
第6章 一次方程組
專題訓練5 專項整合
利用含參二元一次方程（組）的解求
參數值
類型1 已知二元一次方程（組）的解求參數值
1.[2024·吉林期中] 和都是方程的解，則
___.
2
2.[2024·開封期中] 若是二元一次方程組 的解，則
___.
7
類型2 已知二元一次方程組的解的關系求參數值
3.[2024·新鄉原陽期中] 方程組的解滿足，則
的值是___.
2
4.關于，的方程組的解滿足 ，則
___.
3
[解析] 點撥： ，得
，， ，
， .
5.[2024·洛陽洛寧期中] 已知關于,的方程組 的解滿足
，則 的值為___.
2
[解析] 點撥：，得，解得 ，
，得，解得 ，
，，解得 .
類型3 已知二元一次方程組的錯解求參數值
6.已知方程組 甲正確地解出乙抄錯了 解得
則，， 的正確值應為( )
C
A.,, B.1,, C.2,, D.3,1,
7.[2024·重慶沙坪壩區期中] 解方程組甲因抄錯了 ，解得
乙因抄錯了，解得則 ___.
1
8.[2024·四平鐵西區期末] 解同一個方程組 時，甲因看錯
，解得乙因看錯，解得 請求出原方程組的解.
解：把代入②，得 ，
解得，把代入①，得 ，
解得 ，
所以原方程組為
，得，解得 ，
把代入①，得，解得 ，
所以原方程組的解是
類型4 已知兩個二元一次方程組有相同解求參數值
9.[2024·南陽西峽期中] 已知方程組 和方程組
的解相同，求 的值.
解： 方程組和方程組 的解相同，
解得此時的, 的值就是兩方程組的相同解.
將代入
得解得
.(共21張PPT)
第6章 一次方程組
階段綜合訓練
一、選擇題
1.[2024·駐馬店泌陽期末] 下列方程中，是二元一次方程的是( )
A
A. B. C. D.
2.用代入法解方程組 的簡單方法是( )
B
A.消去 B.消去 C.消去和 一樣 D.無法確定
3.[2024·長春期中] 解方程組 時，下列消元方法不正確
的是( )
C
A.，消去
B.，消去
C.，消去
D.由②，得，把③代入①，消去
4.已知關于，的二元一次方程組且，則 的
值為( )
C
A.2 B. C.1 D.
5.[2024·西安質檢] 按如圖所示的運算程序，能使輸出結果為3的， 的
值可以是( )
D
A. B. C. D.
6.[2024·泰安中考] 我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，大
意如下：用九百九十九文錢，可買甜果、苦果共一千個，若 ，試
問買甜果、苦果各幾個？若設買甜果個，買苦果 個，可列出方程組
則題中用“……”表示的缺失的條件應為( )
D
A.甜果七個用四文錢，苦果九個用十一文錢
B.甜果十一個用九文錢，苦果四個用七文錢
C.甜果四個用七文錢，苦果十一個用九文錢
D.甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢
二、填空題
7.[2024·開封期末] 已知方程，用含的代數式表示 ，則
_______.
8.寫出有一個解為 的二元一次方程:________________________.
（答案不唯一）
9.若方程的一個解是則 ___.
2
10.已知方程組中，的值相等，則 ____.
11.[2024·德陽期末] 若關于， 的二元一次方程
無論實數 取何值，此二元一次
方程都有一個相同的解，則這個解是_ _______.
12.[2024·宿遷中考] 若關于，的方程組的解是
則關于，的方程組 的解是_ ________.
三、解答題
13.[2024·許昌期末] 解下列方程組：
（1）
解：將①式變形為 ，代入②式，
得，解得 ，
將代入①式中，得 ，
故方程組的解為
（2）
解：②式化簡為 ，③
，得，解得 ，
將代入①式中，得 ，
故方程組的解為
14. 小明、小文都到黑板上做同一道題：解二元一次方程組
小明得出的答案是小文得出的答案是
老師點評指出，小明的答案正確，小文的錯了.小文經檢查后發現是把
第二個方程中的 看錯了，根據上述信息，把小明、小文做的這道題寫
出來.
解：由題意知 .
小文做錯的原因是把第二個方程中的 看錯了，
可將代入,得 ，
解得
小明、小文做的這道題為
15.[2024·武漢期中] 某中學為改善辦學條件，計劃拆除一部分舊校舍、
建造新校舍，合計 .在實施中為擴大綠化面積，新建校舍只完
成了原計劃的，而拆除校舍則比原計劃多 ，結果恰好完成了原
計劃的拆、建總面積.
（1）求原計劃拆、建面積各是多少平方米.
解：設原計劃拆、建面積各是、 ，
由題意，得
解得
答：原計劃拆、建面積分別是、 .
（2）已知拆除舊校舍的費用為80元/ ，建造新校舍的費用為700元/
，求實際拆、建的總費用為多少.
解：
（元）.
答：實際拆、建的總費用為1 766 400元.
16. 規定：形如與的兩個關于, 的方程互
為共軛二元一次方程，其中且 ；由這兩個方程組成的方程組
叫做共軛方程組.
（1）方程 的共軛二元一次方程是___________；
（2）已知關于，的方程組 為共軛方程組，求
和 的值；
解： 關于，的方程組 為共軛方程組，
，，， .
（3）若方程中，， 的值滿足下列表格，求這個方程的共
軛二元一次方程.
0
0 2
解：由題意，得
原方程為 ，
方程的共軛二元一次方程是 .

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