資源簡介

(共20張PPT)
第8章 三角形
8.1 與三角形有關的邊和角
3.三角形的三邊關系
知識點1 三角形的三邊關系
1. 如圖，從點到點 ，共有三條路
線可走，依據“兩點之間，__________”可知路線
____最短，由此得出中， ，
即三角形兩邊之和______第三邊；依據不等式的
線段最短
②
大于
小于
基本性質將上式變形為___（填“ ”“ ”或“ ”），即三角
形兩邊之差______第三邊.
2.[2024·濮陽期中] 下列各組長度的線段能組成三角形的是( )
D
A.2、3、5 B.3、5、10 C.5、5、10 D.4、5、8
3.[2024·淮安中考] 用一根小木棒與兩根長度分別為， 的小木
棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以是( )
B
A. B. C. D.
4.[2024·泉州期中] 若等腰三角形的兩邊長分別為和 ，則它的
周長為_______________.
或
5.[2024·重慶期末] 已知一個三角形的一邊長為2，另一邊長為5.
（1）求這個三角形的第三邊長的取值范圍；
解：設第三邊長為 ，
由題意得，即 ，
第三邊長的取值范圍是大于3且小于7.
（2）當第三邊長為偶數時，求這個三角形周長的最大值.
解： 第三邊長為偶數， 第三邊長可以為4或6，
易知當第三邊長為6時，三角形的周長最大，
這個三角形周長的最大值為 .
6.李大爺準備用一段長 的籬笆圍成一個三角形形狀的場地用于養雞，
已知第一條邊長為 .由于條件限制，第二條邊長只能比第一條邊長的
2倍少 .
（1）第二條邊長為_________，第三條邊長為__________
（用含 的式子表示）；
（2）第一條邊長能否為 ？請說明理由.
解：不能.理由如下：
若第一條邊長為，則第二條邊長為 ，第三條
邊長為 ，
， 不能構成三角形，
故第一條邊長不能為 .
知識點2 三角形的穩定性
7.[2024·舟山期末] 空調安裝在墻上時，一般都會采
用如圖的方法固定，這種方法應用的幾何原理是
( )
D
A.垂線段最短 B.兩點之間，線段最短
C.兩點確定一條直線 D.三角形具有穩定性
8.下列圖形中不具有穩定性的是( )
B
A. B. C. D.
9. [2024·鄭州期末] 如圖是跪姿射擊的情形，要使射擊者在射擊
過程中保持槍的穩定性，可以選擇①右腳尖，②右膝，③左腳，④左手，
⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩中的哪三個支點？________________________
（填序號，寫一種即可）.
①②③或④⑤⑥或④⑥⑦
（第10題）
10.[2024·南充期中] 如圖，中， 邊的
長為10，則 的周長可能為( )
D
A.16 B.18 C.20 D.22
11.[2024·洛陽期中] 學具盒中裝有四根長度分別為、、
和的細木棒，小明手中有一根長度為 的細木棒，現從盒中取
出兩根細木棒與小明手中的細木棒放在一起組成三角形，則不同的取法
有( )
B
A.3種 B.4種 C.5種 D.6種
（第12題）
12. [2024·安陽期末] 如圖，用四顆螺絲將
不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中
相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根
木條的夾角均可以調整，若調整木條的夾角時不破壞
此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是____.
10
13.如圖是一個用六根竹條連結而成的凸六邊形風箏骨架，考慮到骨架
的穩固性、美觀性、實用性等因素，需再加竹條與其頂點連結.
（1）在右面兩圖中分別加適當根竹條，設計出兩種不同的連結方案；
解：如圖所示.（答案不唯一）
（2）通過上面的設計，可以看出至少需再加____根竹條，才能達到設
計要求.
三
14.已知的三邊長分別為、、 .
（1）化簡： _________；
（2）若，，且的周長不超過37，求 的取值
范圍.
解：根據題意和三角形的三邊關系，
得解得 .
15.[2024·長春期中] 用一條長為 的細繩圍成一個等腰三角形.
（1）如果腰長是底邊長的2倍，則各邊的長分別是
_____________________；
，，
（2）能圍成有一邊長是 的等腰三角形嗎？說明理由.
解：能.理由：
當為腰長時，底邊長 ，
， 不能構成三角形；
當為底邊長時，腰長 ，
， 能構成三角形；
綜上，能圍成有一邊長是 的等腰三角形.
16.［推理能力］如圖，小夢一家計劃從家（點）出發，到景點 旅游，
由于，之間是一片湖，無法通過，只有和 兩條路
線，哪一條比較近？請說明理由.（提示：延長交于點 ）
解：路線 較近.理由如下：
如圖，延長交于點 .
在中， ，
在中， ，
，
，
，
路線 較近.(共13張PPT)
第8章 三角形
8.1 與三角形有關的邊和角
2.三角形的內角和與外角和
第2課時 三角形的外角和
知識點1 三角形外角的性質
1.如圖，在中，外角 , ，則 的度數是
_____.
（第1題）
2.如圖，，，的大小關系為______________.（用“ ”連接）
（第2題）
3.[2024·周口模擬] 如圖，, , ，則 的度
數為_____.
（第3題）
4.一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則_____ .
105
（第4題）
5.[2024·安陽期末] 如圖，在 中，
，是邊上的高，與交于點 .
若 ，求 的度數.
解：是邊上的高， .
， .
， .
知識點2 三角形的外角和
6.如圖，，，是 的三個外角.
（1） ______；
（2）若 ， ，則
______；
（3）若，則 中最小內角
的度數為_____.
7.[2024·綿陽期中] 如圖，是的平分線，是 的外角平
分線，若 ， ，則____ .
30
（第7題）
8.[2024·駐馬店期末] 一個三角形的一個外角的補角等于與它不相鄰的
兩個內角的差，則這個三角形的形狀是____________.
直角三角形
9. 某零件的部分數據如圖，已知這四個數據中有一個標錯了，
若，，所標數據正確，則圖中 所標數據應為_____.
（第9題）
10.三個完全相同的三角形按如圖的形式擺放，則 的度數
是______.
11.如圖，是的外角的平分線，交的延長線于點 .
（1）若 ， ，則 _____；
（2）請你寫出，， 之間存在的等量關系，并說明理由.
解： .
理由：平分， .
又 ，
.(共14張PPT)
第8章 三角形
8.1 與三角形有關的邊和角
2.三角形的內角和與外角和
第1課時 三角形的內角和
知識點1 三角形的內角和
1.[2024·臨汾期末] 在中， ， ，則 的度數
為_____.
2. 在中，， ，則 的
形狀為____________.
鈍角三角形
3.如圖，是的角平分線， ， ，則
____ ，____ .
40
95
（第3題）
知識點2 直角三角形的兩個銳角互余
4. 在中， ， ，則____ .
50
（第5題）
5.如圖，在中， ，
于點 ，下列結論不一定成立的是
( )
B
A. B.
C. D.
知識點3 兩銳角互余的三角形是直角三角形
6.下列條件: ； ；
，能確定 是直角三角形的是______.
（填序號）
①②
7.[2024·呂梁月考] 如圖，在 中，
，平分 ，且
，試說明： 是直角三角形.
解： ， .
平分， .
， ，
，
是直角三角形.
8.[2024·長春期末] 如圖，在中， ，
，平分，交于點，過點作于點 ，
則 的度數為_____.
（第8題）
9.如圖，在中，是和 的平分線的交點，
，則____ .
90
（第9題）
10.[2024·鄭州期中] 如圖，是的角平分線，是 的
高， ， ，為邊上一點，當 為直角
三角形時， ___________.
或
（第10題）
[解析] 點撥：如圖①，當
時， ，
易得 ， 在
中，
；如
圖②，當 時，
易得 .
， ，
.
綜上，的度數為 或 .
11.[2024·商丘柘城期中] 如圖，在 中，
， ，平分 .
（1）求 的度數；
解： ， ，
.
平分 ，
.
（2）若于點，是上一點， ，試說明：
是直角三角形.
解：， ，
，
.
， ，
是直角三角形.(共14張PPT)
第8章 三角形
8.2 多邊形的內角和與外角和
第2課時 多邊形的外角和
知識點1 多邊形的外角和
1.正六邊形的外角和為( )
B
A. B. C. D.
2.[2024·上海期中] 如果一個多邊形的邊數由4增加到 為整數，且
，那么它的外角和的度數( )
A
A.不變 B.增加 C.減少 D.不能確定
3.[2024·資陽中考] 已知一個多邊形的每個外角都等于 ，則該多邊
形的邊數是( )
C
A.4 B.5 C.6 D.8
4.[2024·重慶期中] 如圖，在五邊形中， ，則
的度數是______.
知識點2 多邊形的內角和與外角和的綜合應用
5.[2024·遂寧中考] 佩佩在“黃峨古鎮”研學時學習扎染技術，得到一個
內角和為 的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為( )
C
A. B. C. D.
6.[2024·洛陽期中] 一個多邊形內角和的度數比外角和的度數的4倍多
，則這個多邊形的邊數為____.
11
7.已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內角與一個外角的度數之
比為 ，求這個多邊形的邊數和內角和.
解：由題可知該多邊形為正多邊形，設這個多邊形的一個內角的度數為
，則一個外角的度數為 .
根據題意，得 ，解得 ，
一個外角的度數為 ，
邊數為 ，
內角和為 .
8.[2024·開封期末] 如圖，正六邊形和正五邊形 的邊
，在同一直線上，連結，則 的度數為_____.
（第8題）
9.如圖，在五邊形中，，、、分別是 、
、的外角，則 ______.
（第9題）
10.如圖是正邊形紙片的一部分，其中，是正 邊形兩條邊的一部分，
若，所在的直線相交形成的銳角為 ，則 的值是___.
6
（第10題）
11.如圖，已知 ，則與 相鄰的
外角的度數為_____.
（第11題）
12.一機器人以 的速度在平地上按如圖的程序行走，走過的路徑是
一個多邊形.
（1）求從開始到停止所需的時間；
解：由題意可知機器人走過的路徑是一個正多邊形，
正多邊形的邊數為 ，
所以走過的路程是 ，
所以所需的時間是 .
（2）求這個多邊形的內角和.
解：這個多邊形的內角和為 .(共14張PPT)
第8章 三角形
專題訓練11 模型整合
求不規則多邊形的角度和的典型模型
模型1 運用“A字形”求角度
模型歸納
如圖，有如下結論：
；
.
1.[2024·漯河月考] 如圖，直線與的邊，
相交于點,，則與 的數量關系為
( )
C
A. B.
C. D.無法確定
2.如圖，求 的度數.
解：如圖，易得 ， .
，， ，
.
模型2 運用“8字形”求角度
模型歸納
如圖，，交于點，連結,.
結論： .
3.如圖， 的度數是______.
（第3題）
4.如圖， ______.
（第4題）
5.[2024·重慶期中] 如圖，已知， ，
判斷，與 之間的數量關系，并說明理由.
解： .
理由：易得 ，①
，②
，得 .
，， .
模型3 運用“飛鏢形”求角度
模型歸納
如圖，有如下結論：
.
6.[2024·洛陽期末] 如圖，，是的邊，上的點，是點
上方一點，若 ， ，則 _____.
7.如圖， ______.
（第7題）
8.[2024·長春期中] 如圖， ， ，則
______.
（第8題）
[解析] 點撥：連結 ，如圖所示.
易得 ，
， .
4
3
1
2
8
6
5
7
3
2
A
F
B
E
C
D
A
B
E
3
C
4
D
A
E
C
135
B
D
F
E
130°
100°
B
C
D
解析點拔：連結AD,如圖所示
易得∠ABC=∠3+∠5+∠6=100
FED
∠2+∠4+∠1
=130°
ABC+∠FED=∠3+∠5+∠6+
∠2+∠4+∠1=∠FAB+∠C+∠EDC+∠F=100°+130°=230°.
F
A4
E
130°
5
100°
B
3%
D
6(共7張PPT)
第8章 三角形
綜合與實踐
【項目主題】三角形的角平分線與高的夾角問題.
【項目內容】數學活動課上，老師給興趣小組的同學們布置了一道探究
題：在中，，平分，于點 ，
，交直線于點.猜想與和 的數量關系.同學
們通過畫圖、計算等方法進行推理，得到了有關結果.
“智慧小組”：如圖①， ，設置表格，通過給
，賦值求 的值，得到幾組對應值，如下表.
60 70 60 80 80
10 20 30 20 40
25 15 30 20
“創新小組”：若 ，根據題目條件，作出圖②.
“奮斗小組”：通過推理發現，當 時，點，， 重合，故
.
【實踐解決】
（1）如圖①，根據“智慧小組”的表格，可得____，猜想 與
， 的數量關系為_ ________________________.
25
（2）若，請你根據圖②，判斷（1）中 與
， 的數量關系是否依然成立.若成立，請說明理由；若不成
立，請寫出它們所滿足的數量關系，并說明理由.
解：不成立， .理由:
， ,
.
又，平分 ，
，
.
， ,
.
（3）通過本次活動說出一條在解決此類數學問題中你得到的啟示.
解：解決此類數學問題要全面，要分類討論.（答案不唯一，合理即可）(共25張PPT)
第8章 三角形
全章整合與提升
整合1 兩個概念
概念1 與三角形有關的概念
1.[2024·許昌期中] 下列圖形中，三角形的個數為___.
1
概念2 與多邊形有關的概念
2.下列圖形中，是正八邊形的是( )
C
A. B. C. D.
3.[2024·深圳期末] 從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發，連結
各個頂點得到2 025個三角形，則這個多邊形的邊數為_______.
2 026
整合2 三種線段
線段1 三角形的高
4.[2024·周口期末] 在下列圖形中，正確畫出的邊 上的高的是
( )
C
A. B. C. D.
線段2 三角形的中線
5.如圖，在中，，為的中點，連結， ，取
的中點，連結，若的面積是1，則 的面積是___.
6
（第5題）
線段3 三角形的角平分線
6.如圖，在中， ，平分，交 于點
，，交于點，則 的度數是_____.
（第6題）
整合3四種關系
關系1 三角形形狀與三角形中兩銳角的關系
7.如圖，在中， ，，則 的形
狀是______三角形.
直角
（第7題）
關系2 三角形的三邊關系
8. 如圖，將長為8的線段分成三條線段，， ，且
，若這三條線段首尾相連能夠圍成一個三角形，則 的值
可以是( )
（第8題）
B
A.2 B.3 C.4 D.5
關系3 三角形的內、外角的關系
9.一副透明三角板如圖放置,若 ,則 的度數為_____.
（第9題）
10. 在 中，
，過點作 ，
交的角平分線 所在直線于
點.設 .
（1）如圖①，當 時，點
在線段的延長線上.當
時， 的度數為_____；
（2）“智慧”小組借助圖②進一步探究當 時，與 之間
的數量關系，請你補全圖形并求出結論.
解：補全的圖形如圖.
，
.
.
平分 ，
.
.
關系4 多邊形的內、外角的關系
11.[2024·駐馬店期末] 如果一個多邊形的每一個外角都是 ，那么這
個多邊形的內角和為______.
整合4 兩種操作
操作1 鋪設地面
12.在下列正多邊形組合中，不能鋪滿地面的是( )
B
A.正八邊形和正方形 B.正五邊形和正八邊形
C.正六邊形和正三角形 D.正三角形和正方形
操作2 折疊
13.[2024·白山期末] 如圖，在中， ，將
沿直線翻折，使點落在處，，分別交邊于點， .若
，則 _____.
（第13題）
整合5 兩種計算
計算1 三角形中的簡單計算
（第14題）
14.如圖為兩直線,與相交的情形，其中, 分
別與, 平行.根據圖中標示的角度，回答下列問題：
（1）與 所夾銳角的度數為_____；
（2） 的度數為_____.
計算2 多邊形中的簡單計算
15.［幾何直觀］正五邊形 按如圖所示的方式疊放在正六邊形
上，邊互相重合，延長交于點，則 的度數為
______.
整合6 兩種思想
思想1 轉化思想
（第16題）
16.[2024·寧波月考] 在社會實踐手工課上，小明同學設
計了如圖這樣一個零件，如果 ，
， ， ， ，那
么____ .
70
思想2 方程思想
17.[2024·重慶期中] 如圖，在中，，是 邊上的中
線，把原三角形的周長分為15和9兩部分，則腰 的長為____.
10
（第17題）
整合7 兩種易錯
易錯1 未驗證是否滿足三邊關系而致錯
18.[2024·泉州期中] 若等腰三角形的周長為18，一邊為4，則腰的長度
為___.
7
易錯2 未分情況討論而致錯
19.將一個五邊形紙片剪去一個角后得到的另一個多邊形的內角和是
____________________.
或 或
20.[2024·南陽期中] 我們已經學過三角形的內角和為 ，即如圖①，
在中， .如果三角形兩個內角 與 滿足
，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”.如圖②，
，若點是射線上一點，且 是“準直角三角形”，
則 __________.
或
[解析] 點撥：設 ，
，解得 （舍去）；
設 ， ，
， ，解得 ，
（舍去）；
設 ， ，
，解得 ，
；
設 ， ，
，解得 ， ；
設 ， ，
， ，解得 ， ，
（舍去）.
綜上所述， 或 .(共11張PPT)
第8章 三角形
專題訓練9 專項整合
三角形的中線、高線重難題型突破
題型1 利用中線解決面積問題
（第1題）
1.[2024·大同期末] 如圖，是 的中線，
是的中點，連結，，若 的面積
為24，則陰影部分的面積是( )
A
A.12 B.8 C.6 D.16
2.[2024·信陽期中] 如圖，在中，，，分別為，，
的中點，且 ，則陰影部分的面積為___.
4
（第2題）
3.[2024·周口淮陽區期末] 如圖，在中，是 上的一點，
，是的中點.若，則 ___.
4
4.[2024·開封蘭考期末] 如圖，在中，， 分
別是，邊上的中線，它們相交于點 ，且
，求 的面積.
解：連結，是 邊上的中線，
， ，
，即 .
同理 .
， .
題型2 等面積法在三角形高線問題中的應用
5.[2024·洛陽月考] 如圖，，分別是的邊, 上的高，且
,,，則 ____.
20
（第5題）
6.如圖，在中，，，垂足分別為點，，
與相交于點，連結并延長交于點.若， ，
，則 __________.
（第6題）
7.[2024·南通聯考] 如圖，中， ，是 上一點，
連結，過，兩點分別作直線的垂線，垂足分別為， .若
，，，則 的值是___.
題型3 分類討論思想在高線問題中的應用
8.已知是的高， ， ，則
___________.
或
[解析] 點撥：如圖①，當高在 內部時，
， ，
；
如圖②，當高在 外部時，
， ，
.綜上，
或 .
9.[2024·長春期中] 已知，分別是的邊 上的高和中線，
且，，，求 的面積.
解：如圖①，當高在 內部時，
,， .
是的中線， .
, .
如圖②，當高在 外部時，
,， .
是的中線， .
, .
綜上， 的面積為30或6.(共22張PPT)
第8章 三角形
8.1 與三角形有關的邊和角
1.認識三角形
第2課時 三角形的高、中線與角平分線
知識點1 三角形的高
1. 如圖，是的邊上的高，則與 的位置關
系是_________， __________ ， __________.
90
2.[2024·鄭州鄭東新區期中] 用直角三角板作 的高，下列作法正
確的是( )
D
A. B. C. D.
3.銳角三角形的三條高都在____________；鈍角三角形有____條高在三
角形外；直角三角形有兩條高恰是它的____________，它的三條高的交
點在__________處.
三角形內部
兩
兩條直角邊
直角頂點
4.[2024·重慶期中] 如圖，在中， .
（1）畫出的邊上的高 ；
解：如圖所示, 即為所求.
（2）畫出的邊上的高 ；
解：如圖所示， 即為所求.
（3）若，則 的面積為___.
9
知識點2 三角形的中線
5. 如圖，是的中線，則____； 是
的中點，則是________的中線，____， ________
____________________ ________.
（或）
6.[2024·成都期中] 如圖，在中，， 分別
是，邊上的中線，若， ，且
的周長為15，求 的長.
解：，分別是，邊上的中線， ，
， ，
.
的周長為15， .
知識點3 三角形的角平分線
（第7題）
7.[2024·長春期中] 如圖，， ，下列
結論中錯誤的是( )
D
A.是 的角平分線
B.是 的角平分線
C.
D.是 的中線
8.[2024·許昌月考] 如圖所示，是的角平分線，是 的
角平分線.若 ，則 的度數是_____.
（第8題）
9.如圖，是的邊上一點，
交于點，交于點，連結 ，
若，試說明是 的角平分線.
解：， .
， .
， ，
是 的角平分線.
10. 下列說法正確的是( )
C
①三角形的角平分線是射線；
②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且相交于一點；
③三角形的三條高都在三角形內部；
④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
11. 嘉淇拿一個銳角三角形 做折紙游戲，折疊方法如圖①
②③所示，折痕與交于點，連結，則線段分別是 的
( )
B
A.高，中線，角平分線 B.高，角平分線，中線
C.角平分線，高，中線 D.中線，角平分線，高
12.若線段和線段分別是的邊 上的中線和高，則下列判
斷正確的是( )
B
A. B. C. D.
13.[2024·鄭州期中] 如圖，是的中線的中點，若 的面
積為12，則 的面積為___.
3
14. 在中，是角平分線，是 邊上的高，
， ，則 的度數為___________.
或
[解析] 點撥：如圖①，當在 內
部時，
， ，
.
是角平分線，
；
如圖②，當在外部時， ，
，，
是角平分線， .
綜上，的度數為 或 .
15.[2024·洛陽西工區期中] 如圖，， 分
別是的高和中線，且 ，
，， .
（1）求 的長；
解： ,是邊 上的高，
，
.
（2）求與 的周長差.
解：為 的中線，
，
的周長的周長 ，
即與的周長差是 .
16.［推理能力］如圖，在 中，
，，是 的中點，點
在邊上，與四邊形 的周長相等.
（1）求線段 的長；
解：與四邊形 的周長相等，
.
是的中點，， .
設，則 ，
，解得， .
（2）若圖中所有線段長度的和是，求 的長.
解：圖中共有8條線段，由題意得
.
,， ，
.(共22張PPT)
第8章 三角形
階段綜合訓練
一、選擇題
1.[2024·長春期中] 下列各組長度的線段能組成三角形的是( )
D
A.，， B.，，
C.，， D.，，
2.如圖，在中， ， ，則 的度數是
( )
A
（第2題）
A. B. C. D.
3.[2024·鄭州期末] 在 中，下列作輔助線的方法不能說明三角形
的內角和為 的是( )
D
A. B. C. D.
（第4題）
4.如圖，工人師傅做了一個長方形窗框，、 、
、 分別是四條邊上的中點，為使它穩固，需要在窗
框上釘一根木條，則這根木條可以釘在( )
A
A.、兩點之間 B.、 兩點之間
C.、兩點之間 D.、 兩點之間
5.[2024·太原期中] 如圖，在中，是高，是角平分線，
是中線.則下列結論錯誤的是( )
D
A. B.
C. D.
（第6題）
6.[2024·黃岡月考] 如圖，三角形紙片 中，
， ，將沿折疊，使點
落在外的點處，若 ，則 的度
數為( )
D
A. B. C. D.
二、填空題
7.如圖，為估測池塘兩岸,間的距離，在其一側取點 ，測得
，，則, 間的距離可能是____________________.
（寫出一個即可）
（答案不唯一）
（第7題）
8.如圖，是中邊上的中線，，分別是， 的中點，
若的面積為，則的面積為___ .
3
（第8題）
9.如圖，，平分，平分，和交于點 ，
則圖中共有___個直角三角形.
3
（第9題）
10.[2024·廈門期中] 如圖，在中，，是 上任意
一點，于點，于點.若，則
___.
1
（第10題）
11.小明將一副三角尺按如圖的方式疊放在一起， 且點
在直線的上方，若三角尺有一條邊與斜邊平行，則
__________________.
或 或
（第11題）
三、解答題
12.[2024·北京期中] 如圖，在中， 是角平
分線，且， .
（1）求 各內角的度數；
解：平分， ，
，
， ，
，
， ， .
（2）求 的度數.
解： ，
.
13.[2024·南陽期末] 已知、、為的三邊長，、 滿足
，且為方程的解.求 的周長并
判斷 的形狀.
解：，， ，
，.解方程 ，
得或， 可能為3或9.
當時，不滿足三角形的三邊關系，故 .
，， ，
的周長為8， 為等腰三角形.
14. 如圖，在中， 是角平分線，
點在邊上（不與點，重合），與 交
于點 .
（1）若 ，是角平分線，則 的度數為______；
（2）若 ，是高，求 的度數；
解：是的高， ，
，是 的角平分線，
，
.
（3）若是中線，的周長為22，且三邊長均為整數， 的
周長比的周長大2，則 長的可能值有哪些？
解：的周長為22， ，
的周長比的周長大2，是 的中線，
，
根據三角形的三邊關系，可得, ，即
，
解得.易得 ，
又的長為整數， 的長為偶數，
或6或8或10.
15.
（1）如圖①是一個五角星，求 的度數；
解：連結，設和交于點 ，如圖①.
， ，
.
（2）如果把圖①中的點向下移動到 上，如圖②，那么五個角的和
有無變化？說明理由；
解：無變化.理由：連結，設和交于點 ，如圖②.
， ，
.
故五個角的和沒有變化.
（3）如果把圖②中的點向上移動到 上，如圖③，
那么五個角的和 有
無變化？說明理由.
解：無變化.理由： ，
，
故五個角的和沒有變化.(共13張PPT)
第8章 三角形
8.1 與三角形有關的邊和角
1.認識三角形
第1課時 三角形的有關概念及分類
知識點1 三角形的有關概念
1.下列圖形中是三角形的是( )
B
A. B. C. D.
2.如圖，在中，是上的點，是 上的點.
（第2題）
（1）圖中有___個三角形，分別是_____________
_______________________________；
5
、、、、
（2）在 中，頂點分別為_______________，
所對的邊為____， 所對的角為
_______；
點、點、點
（3）以為內角的三角形是________________，是 ________
___________和 ________________的外角.
、
（或）
（或）
知識點2 三角形的分類
3. 如圖， ，則圖中的銳角三角形是_________
_______，鈍角三角形是________________________，直角三角形是
________.
、
、、
（第3題）
4.下列關于三角形按邊分類的集合中，正確的是( )
D
A. B. C. D.
5.[2024·信陽月考] 下列被遮擋的三角形中，不能判斷三角形類型的是
( )
D
A. B. C. D.
6.[2024·平頂山期中] 已知的三邊長，， 滿足
，則 的形狀按角分類是____________.
銳角三角形
7.[2024·濟寧期中] 將一個三角形紙片剪開分成兩個三角形，關于這兩
個三角形的說法：①可能都是直角三角形；②可能都是鈍角三角形；③
可能都是銳角三角形；④可能是一個直角三角形和一個鈍角三角形.其
中錯誤的是____.（填序號）
③
8.已知的周長為22，三邊長，，滿足 .
（1）___，___， ___；
（2）若按邊分類，則 是______三角形.
6
8
8
等腰
9.[2024·長春期中] 如圖，在正方形網格中，以 為一邊，以格點為頂
點，畫出符合下列條件的三角形，并把對應的三角形用字母表示出來.
（1）鈍角三角形；
解：（答案不唯一）
如圖所示， 即為所求.
（2）等腰直角三角形；
解：如圖所示， 即為所求.
（3）等腰三角形.
解：如圖所示， 即為所求.(共25張PPT)
第8章 三角形
8.2 多邊形的內角和與外角和
第1課時 多邊形的內角和
知識點1 多邊形及其有關概念
1.下列圖形中，屬于多邊形的有( )
A
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
2.如圖，在四邊形中，延長， ，則圖中四邊形的內角有
________________________，外角有______________.
、、、
、
3.[2024·巴中中考] 從五邊形的一個頂點出發可以引___條對角線.
2
知識點2 正多邊形
4.下列圖形是正多邊形的是( )
C
A. B. C. D.
5.下列說法不正確的是( )
A
A.各邊都相等的多邊形是正多邊形
B.正多邊形的各邊都相等
C.正三角形就是等邊三角形
D.各內角都相等的多邊形不一定是正多邊形
知識點3 多邊形的內角和
6.如圖，從多邊形的一個頂點出發作它的對角線，結合圖形完成下表：
多邊形的邊數 4 5 6 …
分成三角形的個數 …
多邊形的內角和 …
解：2; 3; 4; ; ; ; ;
7.[2024·日照中考] 一個多邊形的內角和是 ，則這個多邊形是
____邊形.
八
8.[2024·駐馬店期末] 一個多邊形從一個頂點出發有4條對角線，則這個
多邊形的內角和為______.
9.若一個正多邊形的每個內角均為 ，則這個正多邊形的邊數是____.
10
10.求如圖所示的圖形中 的值：
解：①根據題意可得 ，
整理，得，解得 .
②根據題意可得 ，
整理，得，解得 .
, ， .
根據題意可得 ，解得
.
11.已知邊形的內角和 .
（1）甲同學說， 能取 ；而乙同學說， 也能取 .甲、乙
兩位同學的說法對嗎？若對，求出邊數 ；若不對，說明理由.
解：甲同學的說法對.
當 時， ，解得 .
乙同學的說法不對.理由：當 時， ，
解得.因為 為正整數，所以乙同學的說法不對.
（2）若邊形變為邊形，發現內角和增加了 ，用列方程的
方法確定 .
解：依題意有 ，
解得 .
12. 一個多邊形截去一個角后，得到的多邊形內角和為 ，
則原多邊形的邊數為____________.
15，16或17
13.[2024·寧夏中考] 如圖，在正五邊形的內部，以 為邊作正
方形，連結，則 _____.
（第13題）
14.[2024·河北中考改編] 直線與正六邊形的邊, 分別相交
于點，，如圖所示，則 ______.
（第14題）
15.[2024·許昌期末] 如圖， ______.
（第15題）
16.[2024·長春期末] 如圖，六邊形內部有一點，連結 ，
.若 ，則 _____.
（第16題）
17.[2024·南陽期末] 根據如圖所示的對話回答問題：
（1）少加的內角是_____ ，這個凸多邊形的邊數是____；
100
11
（2）求這個凸多邊形的內角和及對角線條數.
解：這個凸多邊形的內角和為 ，
對角線條數為 （條）.
18.
（1）【問題發現】由“三角形的一個外角等于與它不相鄰
的兩個內角的和”聯想到四邊形的外角.
如圖①，，是四邊形 的兩個外角.
四邊形的內角和是 ，
.
又 ，
，與， 的數量關系是___________________；
（2）【知識應用】如圖②，已知四邊形，， 分別是其外角
和的平分線，若 ，則 _____；
（3）【拓展提升】如圖③，在四邊形中， ，
和是它的兩個外角，且 ，
，求 的度數.
解：由（1）得 ，
又 ， .
， ，
.
， ，
，即
.
又 ，
.(共24張PPT)
第8章 三角形
8.3 用正多邊形鋪設地面
1.用相同的正多邊形 2.用多種正多邊形
知識點1 用一種正多邊形鋪設地面
1.用一種正多邊形鋪滿地面的條件是( )
D
A.內角是整數度數 B.邊數是3的倍數
C.內角能整除 D.內角能整除
2.[2024·平頂山期末] 下列幾種形狀的瓷磚中，只用一種不能鋪滿地面
的是( )
B
A.正六邊形 B.正五邊形 C.正方形 D.正三角形
3.[2024·泉州期末] 用一批相同的正六邊形地磚鋪地面，每個頂點處的
正六邊形地磚有___塊.
3
知識點2 用兩種正多邊形鋪設地面
4.[2024·成都期末] 如圖是用邊長相等的正三角形和
正多邊形兩種地磚鋪設的部分地面示意圖，這種正
多邊形地磚的邊數是( )
A
A.12 B.10 C.8 D.6
5.[2024·長春二道區期末] 下列正多邊形的組合中，能夠鋪滿地面的是
( )
B
A.正六邊形和正五邊形 B.正方形和正八邊形
C.正十二邊形和正方形 D.正三角形和正八邊形
6.已知2個正多邊形和3個正多邊形可繞一點周圍鑲嵌（密鋪）， 的
一個內角的度數是的一個內角的度數的 .
（1）試確定， 分別是什么正多邊形；
解：設正多邊形的每個內角的度數為 ，則正多邊形 的每個內角的
度數為 ，則，解得，則 為
正方形， 為正三角形.
（2）畫出用這5個正多邊形在平面鑲嵌（密鋪）的圖形（畫一種即可）.
解：（畫法不唯一）如圖.
（第6題）
知識點3 用多種正多邊形鋪設地面
7.下列圖案中,是由正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形中的三種鑲
嵌而成的是( )
D
A. B. C. D.
8.用正三角形、正十邊形與第三種正多邊形鋪設地面，則第三種正多邊
形是( )
D
A.正十二邊形 B.正十三邊形 C.正十四邊形 D.正十五邊形
9.[2024·成都期末] 如圖，用不同的正多邊形地磚鋪設地面.已選擇了正
三角形、正四邊形和正六邊形.
（1）在頂點 處的空缺部分應為正____邊形；
四
（2）若只選用這三種地磚鋪設地面，畫出點 處空缺部分的鋪設方式
（畫出一種即可）；
解：如圖.（畫法不唯一）
（第9題）
（3）若選用四種地磚鋪設地面，則還可以選擇正______邊形的地磚.
十二
10.有以下邊長相等的正多邊形：①正六邊形；②正三角形；③正方形；
④正八邊形；⑤正五邊形，組合后可以鋪滿地面的是( )
C
A.①②④ B.①③⑤ C.①②③ D.③④⑤
11.如圖是一種特殊五邊形 ，3個這種五邊形可以密鋪成一個正六
邊形.若 ，則 _____.
（第11題）
（第12題）
12. 現要求用個相同的正 邊形進行拼接，使相
鄰兩個正 邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個
正多邊形.
（1）如圖，若，則 的值為___；
6
[解析] 點撥：根據題意，所用正六邊形的一個外角為
，則圍成的正多邊形的一個內角為
，所以圍成的是正六邊形，所以 .
（2）符合要求的拼法中， 的最大值為____.
12
[解析] 點撥：因為正邊形的邊數 越大，外角越小，所圍成的正多邊
形的內角就越小，而內角最小的正多邊形為正三角形，其內角均為 ，
所以易得此時為，所以 的最大值為12.
13. 在研究正多邊形密鋪問題時，常結合方程知識進行推算，
請解答下列問題：
（1）圖①是鋪在某大樓入口的彭羅斯地磚，它由圖②和圖③兩種不同
的四邊形鋪設成，則____ ，____ ；
72
36
（2）圖④是邊長相等的正三角形和正六邊形地磚，用這兩種地磚能鋪
設出哪幾種不同的圖案？請通過計算說明；
解：設鋪設的圖案用個正三角形， 個正六邊形，
則，即 .
,均為正整數，或
當時，有兩種鋪設方法，為 , , , 或 ,
, , ；
當時，有一種鋪設方法，為 , , , , .
能鋪設出三種不同的圖案.
（3）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再從其他正多邊形
中選一種，探究這兩種正多邊形能鋪設出幾種不同的圖案，說明理由.
解：（答案不唯一，以選擇正四邊形和正八邊形為例）
設鋪設的圖案用個正四邊形， 個正八邊形，
則，即 .
，均為正整數，
只能鋪設出一種圖案.
14.［推理能力］【探究】
（1）觀察下列算式，并完成填空：； ；
； ；
____.（ 是正整數）
（2）用地磚鋪設如圖所示的圖案，圖案中央是一塊正六邊形地磚，周
圍是正方形和正三角形地磚.從里向外第一層包括6塊正方形和6塊正三
角形地磚；第二層包括6塊正方形和18塊正三角形地磚；以此遞推.
①第三層包括___塊正方形和____塊正三角形地磚；
②第層包括___塊正方形和__________（用含 的代數式表示）塊正三
角形地磚.
30
【應用】
（3）某展廳用如圖樣式的圖案鋪設地面，現有1塊正六邊
形、150塊正方形地磚，還需要多少塊正三角形地磚？
解： （層），
塊正方形地磚可以鋪設這樣的圖案25層.
鋪設 層需要正三角形地磚
（塊），
當時， ，
還需要3 750塊正三角形地磚.(共15張PPT)
第8章 三角形
專題訓練10 模型歸類
與三角形角平分線有關的計算
類型1 兩條內角平分線的夾角
1.如圖，在中，與的平分線交于點 .
（1）當 時，求 的度數；
解：是的平分線，是 的平分線，
， ，
.
， ，
，
.
（2）當 時，求與 的數量關系.
解：由（1）知 .
， ，
，
.
.
【變式題1】 [2024·洛陽期末] 如圖，在中， ，設
,的兩條三等分線分別對應交于點,，則
_ _________.
【變式題2】 如圖，點，分別在射線，上運動（不與點 重
合），，分別平分和，射線交于點 .
（1）若 ，則 _____；
（2）若 ，請求出 的度數.
解：，分別平分和 ，
, .
， ，
，
.
類型2 一條內角平分線與一條外角平分線的夾角
2.（1）如圖①，若，分別平分 ，
，試說明： ；
解：是的外角，是 的外
角，， .
，分別平分，， ，
，
， .
（2）如圖②，若平分，平分， ，
，請直接寫出 的度數.
解： .
【變式題1】 [2024·達州中考] 如圖，在中，， 分別是內
角，外角的三等分線，且 ，
，在中，，分別是內角 ，外
角的三等分線，且， ，
，以此規律作下去.若 ，則_ ____ .
【變式題2】 [2024·鄭州期末] 如圖， ，點， 分別在射
線，上，是的平分線，的反向延長線與 的平分
線交于點 .
（1）若 ，則 的度數為_____；
（2）當點，分別在射線，上任意移動時（不與點 重合），
的大小是否變化？請說明理由.
解： 的大小不變.理由如下：
由題易得 ，
，
.
類型3 兩條外角平分線的夾角
3.如圖，是的外角， 的平分線的交點.
（1）若 ，則______， _____；
（2）試探索與 之間的數量關系.
解：是的外角， 的平分線的交點，
， .
， ，
，
.
【變式題】 如圖，在中， ，若
，，與 交
于點，求 的度數.
解：， ，
, ,
， ，
， .

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