資源簡介

章末檢測試卷三(第八章)
［時間：120分鐘 分值：150分］
一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)
1.下列說法正確的是(　　)
A.多面體至少有3個面
B.有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
C.各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D.棱柱的側棱相等，側面是平行四邊形
答案　D
解析　一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個面，不存在有3個面的多面體，所以選項A錯誤；選項B錯誤，反例如圖1，各側棱的延長線不能交于一點，則該幾何體不是棱臺；選項C錯誤，反例如圖2，上、下底面是全等的菱形，各側面是全等的正方形，它不是正方體；根據棱柱的定義可知選項D正確.
2.空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是(　　)
A.平行
B.異面
C.相交或平行
D.平行或異面或相交均有可能
答案　D
解析　根據條件作出示意圖，容易得到以下三種情況，
由圖可知AB與CD有相交、平行、異面三種情況.
3.我國古代《九章算術》里記載了一個“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈.問積幾何？其意思是：今有上、下底面皆為長方形的草垛(如圖所示)，下底寬2丈，長3丈，上底寬3丈，長4丈，高3丈.問它的體積是多少？該書提供的算法是：上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘，同樣下底長的2倍與上底長的和與下底寬相乘，將兩次運算結果相加，再乘以高，最后除以6.則這個問題中的芻童的體積為(　　)
A.13.25立方丈 B.26.5立方丈
C.53立方丈 D.106立方丈
答案　B
解析　由題意知，芻童的體積為［(4×2+3)×3+(3×2+4)×2］×3÷6=26.5(立方丈).
4.已知水平放置的△ABC，按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么原三角形ABC的面積是(　　)
A. B.2 C. D.
答案　A
解析　由斜二測畫法的性質可得，BC=B'C'=2，AO=2A'O'=2×=，由圖易得AO⊥BC，∴S△ABC==×2×=.
5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列說法正確的是(　　)
A.A1C1⊥AD
B.D1C1⊥AB
C.AC1與DC成45°角
D.A1C1與B1C成60°角
答案　D
解析　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1C1與AD所成的角為45°，故A錯誤；直線D1C1與直線AB平行，故B錯誤；
異面直線AC1與DC所成的角為∠C1AB，其正切值為=≠1，所以異面直線AC1與DC所成的角不是45°，故C錯誤；連接A1D，DC1，因為A1D∥B1C，所以異面直線A1C1與B1C所成的角就是直線A1C1與直線A1D所成的角，而△A1DC1是等邊三角形，所以∠C1A1D=60°，即A1C1與B1C所成的角為60°，故D正確.
6.已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=，若球O的表面積為4π，則SA等于(　　)
A. B.1 C. D.
答案　B
解析　根據已知把三棱錐S-ABC補成如圖所示的長方體.因為球O的表面積為4π，所以球O的半徑R=1，
則2R=
==2，
解得SA=1.
7.PA，PB，PC是從P點出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　構造正方體如圖所示，連接AB，CA，CB，過點C作CO⊥平面PAB，垂足為O，
在正四面體CABP中，易知O是正三角形ABP的中心，連接PO并延長交AB于點D，于是∠CPO為直線PC與平面PAB所成的角.
設PC=a，則PD=a，
故PO=PD=a，
故cos∠CPO==.
8.如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA=SB=SC=15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F，H，且D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為(　　)
A.　　　　　　　　B.　　　　　　　C.45　　　　　　　D.45
答案　A
解析　如圖，取AC的中點G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，且SG∩BG=G，SG，BG 平面SGB，
故AC⊥平面SGB，
又SB 平面SGB，
所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH，SB 平面SAB，平面SAB∩平面DEFH=HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點，則H，F也分別為AS，SC的中點，從而得HFACDE，所以四邊形DEFH為平行四邊形.又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S=HF·HD=AC·SB=.
二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，點A∈α，A l，若直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列結論正確的是(　　)
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
答案　ABC
解析　因為m∥α，m∥β，α∩β=l，所以m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，故A正確；因為AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，故B正確；因為A∈α，AB∥l，l α，所以B∈α，所以AB β，又l β，所以AB∥β，故C正確；因為AC⊥l，當點C在α內時，AC⊥β成立，當點C不在α內時，AC⊥β不成立，故D不正確.
10.如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點，則下列結論中正確的是(　　)
A.AE⊥CE
B.BE⊥DE
C.DE⊥平面CEB
D.平面ADE⊥平面BCE
答案　ABD
解析　由AB是底面圓的直徑，知∠AEB=90°，即AE⊥EB.
∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面，
∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.
又BE 平面AEB，∴AD⊥BE，
又AD∩AE=A，AD，AE 平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，∵DE 平面ADE，
∴BE⊥DE.
同理可得AE⊥CE.
又BE 平面BCE，∴平面BCE⊥平面ADE.
可得A，B，D正確.若DE⊥平面CEB，
則DE⊥BC，顯然不成立，C錯誤.
11.如圖，在矩形ABCD中，M為BC的中點，將△ABM沿直線AM翻折成△AB1M，連接B1D，N為B1D的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是(　　)
A.存在某個位置，使得CN⊥AB1
B.翻折過程中，NC的長是定值
C.若AB=BM，則AM⊥B1D
D.若AB=BM=1，當三棱錐B1-AMD的體積最大時，三棱錐B1-AMD的外接球的表面積是4π
答案　BD
解析　對于A，如圖1，取AD的中點E，連接EC交MD于點F，連接NE，NF，
則NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，
∵∠AB1M=∠ABM=90°，
∴EN⊥NF，又EN⊥CN，且三線NE，NF，NC共面共點，∴CN⊥AB1不可能，故A錯誤；
對于B，如圖1，易得∠NEC=∠MAB1(定值)，NE=AB1(定值)，EC=AM(定值)，在△NEC中，由余弦定理可得
NC2=NE2+EC2-2NE·EC cos∠NEC，
∴NC的長是定值，故B正確；
對于C，如圖2，取AM的中點O，連接B1O，DO，假設AM⊥B1D成立，由AB=BM知B1O⊥AM，易得AM⊥平面ODB1，即可得OD⊥AM，從而AD=MD，由題意不成立，故C錯誤；
對于D，當平面B1AM⊥平面AMD時，三棱錐B1-AMD的體積最大，易得AD的中點就是三棱錐B1-AMD外接球的球心，球的半徑為1，表面積是4π，故D正確.
三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)
12.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點E是SA上一點，當SE∶SA=　　　　　時，SC∥平面EBD.
答案　1∶2
解析　連接AC，設AC與BD的交點為O，連接EO(圖略).∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點O是AC的中點.∵SC∥平面EBD，
且平面EBD∩平面SAC=EO，∴SC∥EO，
∴點E是SA的中點，此時SE∶SA=1∶2.
13.如圖(1)所示，一個裝了水的密封瓶子，其內部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體.當這個幾何體如圖(2)水平放置時，液面高度為20 cm；當這個幾何體如圖(3)水平放置時，液面高度為28 cm，則這個簡單幾何體的總高度為　　　　　cm.
答案　29
解析　設上、下圓柱的半徑分別是r cm，R cm，高分別是h cm，H cm.由水的體積不變得，πR2H+πr2(20-H)=πr2h+πR2(28-h)，又r=1，R=3，故H+h=29.即這個簡單幾何體的總高度為29 cm.
14.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是A1B1，CD的中點，則點B到截面AEC1F的距離為　　　　　　，四棱錐B-AEC1F的體積為　　　　.
答案　　
解析　設點B到截面AEC1F的距離為d，則三棱錐E-AFB的體積V=S△AEF·d=S△ABF×1，∵AE=EC1=C1F=FA，
∴四邊形AEC1F為菱形，
∴S△AEF=×AC1·EF=××=，
又S△ABF=，∴d=×1，
∴d=.∴=××AC1·EF·d=××××=.
四、解答題(本題共5小題，共77分)
15.(13分)有一個高為3π cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度.
解　把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖所示)，由題意知BC=3π cm，AB=4π cm，點A、點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.
AC==5π(cm)，故鐵絲的最短長度為5π cm.
16.(15分)如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1⊥平面ABCD，F為棱AA1的中點，M為線段BD1的中點.求證：
(1)MF∥平面ABCD；(7分)
(2)MF⊥平面BDD1B1.(8分)
證明　(1)如圖，連接AC交BD于點O，連接MO，
∵O，M分別為BD和BD1的中點，∴OMDD1.
又DD1A1A，
∴OMA1A.
又AF=A1A，∴OMAF，
∴四邊形MOAF是平行四邊形，∴MF∥CA.
又CA 平面ABCD，MF 平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD.
(2)∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
又B1B⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥B1B，而BD∩B1B=B，
BD，B1B 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又MF∥AC，∴MF⊥平面BDD1B1.
17.(15分)如圖①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.
(1)求證：CD⊥平面A1OC；(7分)
(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36，求a的值.(8分)
(1)證明　在圖①中，因為AB=BC=AD=a，E是AD的中點，∠BAD=，
所以BE⊥AC.
即在圖②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
又A1O∩OC=O，A1O，OC 平面A1OC，
從而BE⊥平面A1OC.
因為在圖①中，BCADED，所以四邊形BCDE為平行四邊形，
所以在圖②中，CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)解　由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE=BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，A1O 平面A1BE，
所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.
由圖①知，A1O=AB=a，
平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2，
從而四棱錐A1-BCDE的體積為
V=S·A1O=×a2×a=a3.
由a3=36，得a=6.
18.(17分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且∠ABC=90°，側面AA1B1B是菱形，∠A1AB=60°，平面AA1B1B⊥平面ABC，點M是AA1的中點.
(1)求證：BB1⊥CM；(8分)
(2)求直線BM與平面CMB1所成角的正弦值.(9分)
(1)證明　在Rt△ABC中，∠ABC=90°，即BC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B=AB，BC 平面ABC，
∴BC⊥平面AA1B1B，
∵BB1 平面AA1B1B，
∴BC⊥BB1.
在菱形AA1B1B中，∠A1AB=60°，連接A1B(圖略)，
則△A1AB是等邊三角形，
∵點M是AA1的中點，
∴AA1⊥BM.
又AA1∥BB1，
∴BB1⊥BM，
又BM∩BC=B，BM，BC 平面BMC，
∴BB1⊥平面BMC，
又CM 平面BMC，
∴BB1⊥CM.
(2)解　如圖，作BG⊥MB1于點G，連接CG.
由(1)知BC⊥平面AA1B1B，
又MB1 平面AA1B1B，
∴BC⊥MB1，
又BG⊥MB1，且BC∩BG=B，
BC，BG 平面BCG，
∴MB1⊥平面BCG.
∵MB1 平面CMB1，
∴平面CMB1⊥平面BCG，作BH⊥CG于點H，則BH⊥平面CMB1，連接MH，
則∠BMH即為直線BM與平面CMB1所成的角.
設AB=BC=2，則BB1=2，BM=，
在Rt△MBB1中，MB1=，
則BG==.
在Rt△CBG中，CG=，
則BH==，
∴sin∠BMH===，
即直線BM與平面CMB1所成角的正弦值為.
19.(17分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，PD的中點為F.
(1)在線段AB上是否存在一點G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出點G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由；(7分)
(2)請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.
①AB⊥BC；②FC與平面ABCD所成的角為；③∠ABC=.若　　　　，求二面角F-AC-D的余弦值.(10分)
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分
解　(1)在線段AB上存在中點G，
使得AF∥平面PCG.
證明如下：
如圖所示，連接PG，CG，設PC的中點為H，連接FH，GH，
∵FH∥CD，FH=CD，
AG∥CD，AG=CD，
∴FH∥AG，FH=AG，
∴四邊形AGHF為平行四邊形，則AF∥GH.
又GH 平面PCG，AF 平面PCG，
∴AF∥平面PCG.
(2)若選擇條件①.
如圖①，過點F作FM⊥AD于點M，過點M作MO⊥AC于點O，連接FO.
∵F為PD的中點，
PA⊥平面ABCD，
∴FM∥PA，且FM⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，∴FM⊥AC.
又AC⊥MO，FM∩MO=M，FM，MO 平面FMO，∴AC⊥平面FMO，又FO 平面FMO，
∴AC⊥FO，
∴∠FOM為二面角F-AC-D的平面角.
∵AB⊥BC，四邊形ABCD為正方形，
∴∠CAD=，
∴MO=AMsin =.
又FM=PA=1.
∴cos∠FOM===，
即二面角F-AC-D的余弦值為.
若選擇條件②.
與選擇條件①一樣作相同的輔助線，
如圖②，連接MC.
∵FC與平面ABCD所成的角為，∴∠FCM=，
∴MC===.
∴MC2+MD2=CD2，∴CM⊥AD.
∴在Rt△AMC中，
MO===.
∴cos∠FOM===.
若選擇條件③.
與選擇條件①一樣作相同的輔助線.
∵∠ABC=，∴∠DAC=，
∴MO=AMsin=.
∴cos∠FOM===.章末檢測試卷三(第八章)
［時間：120分鐘 分值：150分］
一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)
1.下列說法正確的是(　　)
A.多面體至少有3個面
B.有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
C.各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D.棱柱的側棱相等，側面是平行四邊形
2.空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是(　　)
A.平行
B.異面
C.相交或平行
D.平行或異面或相交均有可能
3.我國古代《九章算術》里記載了一個“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈.問積幾何？其意思是：今有上、下底面皆為長方形的草垛(如圖所示)，下底寬2丈，長3丈，上底寬3丈，長4丈，高3丈.問它的體積是多少？該書提供的算法是：上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘，同樣下底長的2倍與上底長的和與下底寬相乘，將兩次運算結果相加，再乘以高，最后除以6.則這個問題中的芻童的體積為(　　)
A.13.25立方丈 B.26.5立方丈
C.53立方丈 D.106立方丈
4.已知水平放置的△ABC，按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么原三角形ABC的面積是(　　)
A. B.2 C. D.
5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列說法正確的是(　　)
A.A1C1⊥AD
B.D1C1⊥AB
C.AC1與DC成45°角
D.A1C1與B1C成60°角
6.已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=，若球O的表面積為4π，則SA等于(　　)
A. B.1 C. D.
7.PA，PB，PC是從P點出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是 (　　)
A. B. C. D.
8.如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA=SB=SC=15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F，H，且D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為(　　)
A.　　　　　　　　B.　　　　　　　C.45　　　　　　　D.45
二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，點A∈α，A l，若直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列結論正確的是(　　)
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
10.如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點，則下列結論中正確的是(　　)
A.AE⊥CE
B.BE⊥DE
C.DE⊥平面CEB
D.平面ADE⊥平面BCE
11.如圖，在矩形ABCD中，M為BC的中點，將△ABM沿直線AM翻折成△AB1M，連接B1D，N為B1D的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是(　　)
A.存在某個位置，使得CN⊥AB1
B.翻折過程中，NC的長是定值
C.若AB=BM，則AM⊥B1D
D.若AB=BM=1，當三棱錐B1-AMD的體積最大時，三棱錐B1-AMD的外接球的表面積是4π
三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)
12.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點E是SA上一點，當SE∶SA=　　　　　時，SC∥平面EBD.
13.如圖(1)所示，一個裝了水的密封瓶子，其內部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體.當這個幾何體如圖(2)水平放置時，液面高度為20 cm；當這個幾何體如圖(3)水平放置時，液面高度為28 cm，則這個簡單幾何體的總高度為　　　　　cm.
14.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是A1B1，CD的中點，則點B到截面AEC1F的距離為　　　　　　，四棱錐B-AEC1F的體積為　　　　.
四、解答題(本題共5小題，共77分)
15.(13分)有一個高為3π cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度.
16.(15分)如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1⊥平面ABCD，F為棱AA1的中點，M為線段BD1的中點.求證：
(1)MF∥平面ABCD；(7分)
(2)MF⊥平面BDD1B1.(8分)
17.(15分)如圖①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.
(1)求證：CD⊥平面A1OC；(7分)
(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36，求a的值.(8分)
18.(17分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且∠ABC=90°，側面AA1B1B是菱形，∠A1AB=60°，平面AA1B1B⊥平面ABC，點M是AA1的中點.
(1)求證：BB1⊥CM；(8分)
(2)求直線BM與平面CMB1所成角的正弦值.(9分)
19.(17分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，PD的中點為F.
(1)在線段AB上是否存在一點G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出點G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由；(7分)
(2)請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.
①AB⊥BC；②FC與平面ABCD所成的角為；③∠ABC=.若　　　　，求二面角F-AC-D的余弦值.(10分)
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分
答案精析
1.D　2.D　3.B　4.A　5.D　6.B
7.C　[構造正方體如圖所示，連接AB，CA，CB，過點C作CO⊥平面PAB，垂足為O，
在正四面體CABP中，易知O是正三角形ABP的中心，連接PO并延長交AB于點D，于是∠CPO為直線PC與平面PAB所成的角.
設PC=a，則PD=a，
故PO=PD=a，
故cos∠CPO==.]
8.A　[如圖，取AC的中點G，
連接SG，BG.
易知SG⊥AC，
BG⊥AC，
且SG∩BG=G，
SG，BG 平面SGB，
故AC⊥平面SGB，
又SB 平面SGB，
所以AC⊥SB.
因為SB∥平面DEFH，
SB 平面SAB，
平面SAB∩平面DEFH=HD，
所以SB∥HD.同理SB∥FE.
又D，E分別為AB，BC的中點，
則H，F也分別為AS，SC的中點，
從而得HF綊AC綊DE，
所以四邊形DEFH為平行四邊形.
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，
所以四邊形DEFH為矩形，
其面積S=HF·HD=AC·SB
=.]
9.ABC　10.ABD
11.BD　[對于A，如圖1，取AD的中點E，連接EC交MD于點F，
連接NE，NF，
則NE∥AB1，NF∥MB1，
如果CN⊥AB1，
∵∠AB1M=∠ABM=90°，
∴EN⊥NF，又EN⊥CN，且三線NE，NF，NC共面共點，∴CN⊥AB1不可能，故A錯誤；
對于B，如圖1，易得∠NEC=∠MAB1(定值)，NE=AB1(定值)，EC=AM(定值)，在△NEC中，由余弦定理可得NC2=NE2+EC2-2NE·EC cos∠NEC，
∴NC的長是定值，故B正確；
對于C，如圖2，取AM的中點O，連接B1O，DO，假設AM⊥B1D成立，由AB=BM知B1O⊥AM，易得AM⊥平面ODB1，即可得OD⊥AM，從而AD=MD，由題意不成立，故C錯誤；
對于D，當平面B1AM⊥平面AMD時，三棱錐B1-AMD的體積最大，易得AD的中點就是三棱錐B1-AMD外接球的球心，球的半徑為1，表面積是4π，故D正確.]
12.1∶2　13.29　14.　
15.解　把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖所示)，由題意知BC=3π cm，AB=4π cm，點A、點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.
AC==5π(cm)，
故鐵絲的最短長度為5π cm.
16.證明　(1)如圖，連接AC交BD于點O，連接MO，
∵O，M分別為BD和BD1的中點，
∴OM綊DD1.
又DD1綊A1A，
∴OM綊A1A.
又AF=A1A，∴OM綊AF，
∴四邊形MOAF是平行四邊形，
∴MF∥CA.
又CA 平面ABCD，
MF 平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD.
(2)∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
又B1B⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，
∴AC⊥B1B，而BD∩B1B=B，
BD，B1B 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又MF∥AC，∴MF⊥平面BDD1B1.
17.(1)證明　在圖①中，因為AB=BC=AD=a，E是AD的中點，
∠BAD=，
所以BE⊥AC.
即在圖②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
又A1O∩OC=O，A1O，
OC 平面A1OC，
從而BE⊥平面A1OC.
因為在圖①中，BC綊AD綊ED，
所以四邊形BCDE為平行四邊形，
所以在圖②中，CD∥BE，
所以CD⊥平面A1OC.
(2)解　由已知，
平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE=BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，
A1O 平面A1BE，
所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.
由圖①知，A1O=AB=a，
平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2，
從而四棱錐A1-BCDE的體積為
V=S·A1O=×a2×a
=a3.
由a3=36，得a=6.
18.(1)證明　在Rt△ABC中，
∠ABC=90°，即BC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA1B1B，
平面ABC∩平面AA1B1B=AB，
BC 平面ABC，
∴BC⊥平面AA1B1B，
∵BB1 平面AA1B1B，
∴BC⊥BB1.
在菱形AA1B1B中，∠A1AB=60°，
連接A1B(圖略)，
則△A1AB是等邊三角形，
∵點M是AA1的中點，
∴AA1⊥BM.
又AA1∥BB1，
∴BB1⊥BM，
又BM∩BC=B，
BM，BC 平面BMC，
∴BB1⊥平面BMC，
又CM 平面BMC，
∴BB1⊥CM.
(2)解　如圖，作BG⊥MB1于點G，
連接CG.
由(1)知
BC⊥平面AA1B1B，
又MB1 平面AA1B1B，
∴BC⊥MB1，
又BG⊥MB1，且BC∩BG=B，
BC，BG 平面BCG，
∴MB1⊥平面BCG.
∵MB1 平面CMB1，
∴平面CMB1⊥平面BCG，作BH⊥CG于點H，則BH⊥平面CMB1，
連接MH，
則∠BMH即為直線BM與平面CMB1所成的角.
設AB=BC=2，
則BB1=2，BM=，
在Rt△MBB1中，MB1=，
則BG==.
在Rt△CBG中，CG=，
則BH==，
∴sin∠BMH===，
即直線BM與平面CMB1所成角的正弦值為.
19.解　(1)在線段AB上存在中點G，
使得AF∥平面PCG.
證明如下：
如圖所示，連接PG，CG，設PC的中點為H，連接FH，GH，
∵FH∥CD，
FH=CD，
AG∥CD，AG=CD，
∴FH∥AG，FH=AG，
∴四邊形AGHF為平行四邊形，
則AF∥GH.
又GH 平面PCG，AF 平面PCG，
∴AF∥平面PCG.
(2)若選擇條件①.
如圖①，過點F作FM⊥AD于點M，過點M作MO⊥AC于點O，
連接FO.
∵F為PD的中點，
PA⊥平面ABCD，
∴FM∥PA，且FM⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，∴FM⊥AC.
又AC⊥MO，FM∩MO=M，
FM，MO 平面FMO，
∴AC⊥平面FMO，
又FO 平面FMO，
∴AC⊥FO，
∴∠FOM為二面角F-AC-D的平面角.
∵AB⊥BC，四邊形ABCD為正方形，
∴∠CAD=，
∴MO=AMsin =.
又FM=PA=1.
∴cos∠FOM==
=，
即二面角F-AC-D的余弦值為.
若選擇條件②.
與選擇條件①一樣作相同的輔助線，
如圖②，連接MC.
∵FC與平面ABCD所成的角為，
∴∠FCM=，
∴MC=
==.
∴MC2+MD2=CD2，∴CM⊥AD.
∴在Rt△AMC中，
MO===.
∴cos∠FOM==
=.
若選擇條件③.
與選擇條件①一樣作相同的輔助線.
∵∠ABC=，∴∠DAC=，
∴MO=AMsin=.
∴cos∠FOM==
=.(共80張PPT)
第八章
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章末檢測試卷三(第八章)
答案
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對一對
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D D B A D B C A ABC
題號 10 11 12 13 14
答案 ABD　 BD 1∶2 29 　
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15.
把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖所示)，由題意知BC=3π cm，AB=4π cm，點A、點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.
AC==5π(cm)，
故鐵絲的最短長度為5π cm.
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16.
(1)如圖，連接AC交BD于點O，連接MO，
∵O，M分別為BD和BD1的中點，
∴OM DD1.
又DD1 A1A，
∴OM A1A.
又AF=A1A，∴OM AF，
∴四邊形MOAF是平行四邊形，
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∴MF∥CA.
又CA 平面ABCD，
MF 平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD.
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(2)∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
又B1B⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，
∴AC⊥B1B，而BD∩B1B=B，
BD，B1B 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又MF∥AC，∴MF⊥平面BDD1B1.
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17.
(1)在圖①中，因為AB=BC=AD=a，E是AD的中點，
∠BAD=，
所以BE⊥AC.
即在圖②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
又A1O∩OC=O，A1O，
OC 平面A1OC，
從而BE⊥平面A1OC.
因為在圖①中，BC AD ED，
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17.
所以四邊形BCDE為平行四邊形，
所以在圖②中，CD∥BE，
所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，
平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE=BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，
A1O 平面A1BE，
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17.
所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.
由圖①知，A1O=AB=a，
平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2，
從而四棱錐A1-BCDE的體積為
V=S·A1O=×a2×a=a3.
由a3=36，得a=6.
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18.
(1)在Rt△ABC中，
∠ABC=90°，即BC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA1B1B，
平面ABC∩平面AA1B1B=AB，
BC 平面ABC，
∴BC⊥平面AA1B1B，
∵BB1 平面AA1B1B，
∴BC⊥BB1.
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18.
在菱形AA1B1B中，∠A1AB=60°，
連接A1B(圖略)，
則△A1AB是等邊三角形，
∵點M是AA1的中點，
∴AA1⊥BM.
又AA1∥BB1，
∴BB1⊥BM，
又BM∩BC=B，
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BM，BC 平面BMC，
∴BB1⊥平面BMC，
又CM 平面BMC，
∴BB1⊥CM.
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(2)如圖，作BG⊥MB1于點G，
連接CG.
由(1)知
BC⊥平面AA1B1B，
又MB1 平面AA1B1B，
∴BC⊥MB1，
又BG⊥MB1，且BC∩BG=B，
BC，BG 平面BCG，
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∴MB1⊥平面BCG.
∵MB1 平面CMB1，
∴平面CMB1⊥平面BCG，作BH⊥CG于點H，
則BH⊥平面CMB1，
連接MH，
則∠BMH即為直線BM與平面CMB1所成的角.
設AB=BC=2，
則BB1=2，BM=，
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在Rt△MBB1中，MB1=，
則BG==.
在Rt△CBG中，CG=，
則BH==，
∴sin∠BMH===，
即直線BM與平面CMB1所成角的正弦值為.
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(1)在線段AB上存在中點G，
使得AF∥平面PCG.
證明如下：
如圖所示，連接PG，CG，設PC的中點為H，連接FH，GH，
∵FH∥CD，
FH=CD，
AG∥CD，AG=CD，
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19.
∴FH∥AG，FH=AG，
∴四邊形AGHF為平行四邊形，
則AF∥GH.
又GH 平面PCG，AF 平面PCG，
∴AF∥平面PCG.
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(2)若選擇條件①.
如圖①，過點F作FM⊥AD于點M，過點M作MO⊥AC于點O，
連接FO.
∵F為PD的中點，
PA⊥平面ABCD，
∴FM∥PA，且FM⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，∴FM⊥AC.
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又AC⊥MO，FM∩MO=M，
FM，MO 平面FMO，
∴AC⊥平面FMO，
又FO 平面FMO，
∴AC⊥FO，
∴∠FOM為二面角F-AC-D的平面角.
∵AB⊥BC，四邊形ABCD為正方形，
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∴∠CAD=，
∴MO=AMsin =.
又FM=PA=1.
∴cos∠FOM===，
即二面角F-AC-D的余弦值為.
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若選擇條件②.
與選擇條件①一樣作相同的輔助線，
如圖②，連接MC.
∵FC與平面ABCD所成的角為，
∴∠FCM=，
∴MC=
==.
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19.
∴MC2+MD2=CD2，∴CM⊥AD.
∴在Rt△AMC中，
MO===.
∴cos∠FOM==
=.
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19.
若選擇條件③.
與選擇條件①一樣作相同的輔助線.
∵∠ABC=，∴∠DAC=，
∴MO=AMsin=.
∴cos∠FOM==
=.
一、單項選擇題
1.下列說法正確的是
A.多面體至少有3個面
B.有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
C.各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D.棱柱的側棱相等，側面是平行四邊形
√
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答案
一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個
面，不存在有3個面的多面體，所以選項
A錯誤；
選項B錯誤，反例如圖1，各側棱的延長線
不能交于一點，則該幾何體不是棱臺；
選項C錯誤，反例如圖2，上、下底面是全等的菱形，各側面是全等的正方形，它不是正方體；
根據棱柱的定義可知選項D正確.
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2.空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是
A.平行 B.異面
C.相交或平行 D.平行或異面或相交均有可能
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答案
根據條件作出示意圖，容易得到以下三種情況，
由圖可知AB與CD有相交、平行、異面三種情況.
3.我國古代《九章算術》里記載了一個“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈.問積幾何？其意思是：今有上、下底面皆為長方形的草垛(如圖所示)，下底寬2丈，長3丈，上底寬3丈，長4丈，高3丈.問它的體積是多少？該書提供的算法是：上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘，同樣下底長的2倍與上底長的和與下底寬相乘，將兩次運算結果相加，再乘以高，最后除以6.則這個問題中的芻童的體積為
A.13.25立方丈 B.26.5立方丈
C.53立方丈 D.106立方丈
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由題意知，芻童的體積為[(4×2+3)×3+(3×2+4)×2]×3÷6=26.5(立方丈).
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4.已知水平放置的△ABC，按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么原三角形ABC的面積是
A. B.2
C. D.
由斜二測畫法的性質可得，BC=B'C'=2，AO=2A'O'=2×=，由圖易得AO⊥BC，∴S△ABC==×2×=.
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5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列說法正確的是
A.A1C1⊥AD
B.D1C1⊥AB
C.AC1與DC成45°角
D.A1C1與B1C成60°角
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如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1C1與AD
所成的角為45°，故A錯誤；
直線D1C1與直線AB平行，故B錯誤；
異面直線AC1與DC所成的角為∠C1AB，其正切值為=≠1，所以異面直線AC1與DC所成的角不是45°，故C錯誤；
連接A1D，DC1，因為A1D∥B1C，所以異面直線A1C1與B1C所成的角就是直線A1C1與直線A1D所成的角，而△A1DC1是等邊三角形，所以∠C1A1D=60°，即A1C1與B1C所成的角為60°，故D正確.
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6.已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=，若球O的表面積為4π，則SA等于
A. B.1
C. D.
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√
根據已知把三棱錐S-ABC補成如圖所示的長方體.
因為球O的表面積為4π，所以球O的半徑R=1，
則2R=
==2，
解得SA=1.
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7.PA，PB，PC是從P點出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是
A. B.
C. D.
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答案
構造正方體如圖所示，連接AB，CA，CB，過點C作CO
⊥平面PAB，垂足為O，
在正四面體CABP中，易知O是正三角形ABP的中心，
連接PO并延長交AB于點D，于是∠CPO為直線PC與
平面PAB所成的角.
設PC=a，則PD=a，
故PO=PD=a，
故cos∠CPO==.
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答案
8.如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA=SB=SC=
15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F，H，且D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為
A.　　　　　　　　 B.
C.45　　　　　　　 D.45
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答案
√
如圖，取AC的中點G，連接SG，BG.
易知SG⊥AC，BG⊥AC，且SG∩BG=G，SG，BG
平面SGB，
故AC⊥平面SGB，
又SB 平面SGB，
所以AC⊥SB.
因為SB∥平面DEFH，SB 平面SAB，平面SAB∩平面DEFH=HD，所以SB∥HD.
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答案
同理SB∥FE.
又D，E分別為AB，BC的中點，
則H，F也分別為AS，SC的中點，
從而得HF AC DE，
所以四邊形DEFH為平行四邊形.
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH
為矩形，其面積S=HF·HD=AC·SB=.
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答案
二、多項選擇題
9.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，點A∈α，A l，若直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列結論正確的是
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
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√
√
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因為m∥α，m∥β，α∩β=l，所以m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，故A正確；
因為AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，故B正確；
因為A∈α，AB∥l，l α，所以B∈α，所以AB β，又l β，所以AB∥β，故C正確；
因為AC⊥l，當點C在α內時，AC⊥β成立，當點C不在α內時，AC⊥β不成立，故D不正確.
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答案
10.如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點，則下列結論中正確的是
A.AE⊥CE
B.BE⊥DE
C.DE⊥平面CEB
D.平面ADE⊥平面BCE
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答案
√
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由AB是底面圓的直徑，知∠AEB=90°，即AE⊥EB.
∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面，
∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.
又BE 平面AEB，∴AD⊥BE，
又AD∩AE=A，AD，AE 平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，∵DE 平面ADE，
∴BE⊥DE.
同理可得AE⊥CE.
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答案
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又BE 平面BCE，∴平面BCE⊥平面ADE.
可得A，B，D正確.
若DE⊥平面CEB，
則DE⊥BC，顯然不成立，C錯誤.
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答案
11.如圖，在矩形ABCD中，M為BC的中點，將△ABM沿直線AM翻折成△AB1M，連接B1D，N為B1D的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是
A.存在某個位置，使得CN⊥AB1
B.翻折過程中，NC的長是定值
C.若AB=BM，則AM⊥B1D
D.若AB=BM=1，當三棱錐B1-AMD的體積最大時，
　三棱錐B1-AMD的外接球的表面積是4π
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答案
√
√
對于A，如圖1，取AD的中點E，連接EC交MD于點F，
連接NE，NF，
則NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，
∵∠AB1M=∠ABM=90°，
∴EN⊥NF，又EN⊥CN，且三線NE，NF，NC共面
共點，∴CN⊥AB1不可能，故A錯誤；
對于B，如圖1，易得∠NEC=∠MAB1(定值)，NE=AB1(定值)，EC=AM(定值)，
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答案
在△NEC中，由余弦定理可得
NC2=NE2+EC2-2NE·EC cos∠NEC，
∴NC的長是定值，故B正確；
對于C，如圖2，取AM的中點O，連
接B1O，DO，假設AM⊥B1D成立，由AB=BM知B1O⊥AM，易得AM⊥平面ODB1，即可得OD⊥AM，從而AD=MD，由題意不成立，故C錯誤；
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答案
對于D，當平面B1AM⊥平面AMD時，三棱錐B1-AMD的體積最大，易得AD的中點就是三棱錐B1-AMD外接球的球心，球的半徑為1，表面積是4π，故D正確.
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答案
三、填空題
12.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點E是SA上一點，當SE∶SA=　　　　時，SC∥平面EBD.
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答案
1∶2
連接AC，設AC與BD的交點為O，連接EO(圖略).
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點O是AC的中點.
∵SC∥平面EBD，
且平面EBD∩平面SAC=EO，∴SC∥EO，
∴點E是SA的中點，此時SE∶SA=1∶2.
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答案
13.如圖(1)所示，一個裝了水的密封瓶子，其內部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個圓柱組成的簡單幾何體.當這個幾何體如圖(2)水平放置時，液面高度為20 cm；當這個幾何體如圖(3)水平放置時，液面高度為28 cm，則這個簡單幾何體的總高度為　　　cm.
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設上、下圓柱的半徑分別是r cm，R cm，高分別是h cm，H cm.
由水的體積不變得，πR2H+πr2(20-H)=πr2h+πR2(28-h)，又r=1，R=3，故H+h=29.
即這個簡單幾何體的總高度為29 cm.
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答案
14.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是A1B1，CD的中點，
則點B到截面AEC1F的距離為　　　，四棱錐B-AEC1F的體積為　　　.
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設點B到截面AEC1F的距離為d，則三棱錐E-AFB的體積V=S△AEF·d=
S△ABF×1，∵AE=EC1=C1F=FA，
∴四邊形AEC1F為菱形，
∴S△AEF=×AC1·EF=××=，
又S△ABF=，∴d=×1，
∴d=.
∴=××AC1·EF·d=××××=.
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答案
四、解答題
15.有一個高為3π cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長度.
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把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩
形ABCD(如圖所示)，由題意知BC=3π cm，AB=4π cm，
點A、點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度
即為鐵絲的最短長度.
AC==5π(cm)，故鐵絲的最短長度為5π cm.
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答案
16.如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1⊥平面ABCD，F為棱AA1的中點，M為線段BD1的中點.求證：
(1)MF∥平面ABCD；
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如圖，連接AC交BD于點O，連接MO，
∵O，M分別為BD和BD1的中點，∴OM DD1.
又DD1 A1A，
∴OM A1A.
又AF=A1A，∴OM AF，
∴四邊形MOAF是平行四邊形，∴MF∥CA.
又CA 平面ABCD，MF 平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD.
(2)MF⊥平面BDD1B1.
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答案
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
又B1B⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥B1B，而BD∩B1B=B，
BD，B1B 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1.
又MF∥AC，∴MF⊥平面BDD1B1.
17.如圖①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.
(1)求證：CD⊥平面A1OC；
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答案
在圖①中，因為AB=BC=AD=a，
E是AD的中點，∠BAD=，
所以BE⊥AC.
即在圖②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
又A1O∩OC=O，A1O，OC 平面A1OC，
從而BE⊥平面A1OC.
因為在圖①中，BC AD ED，所以四邊形BCDE為平行四邊形，
所以在圖②中，CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36，求a的值.
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由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE=BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，A1O 平面A1BE，
所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.
由圖①知，A1O=AB=a，
平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2，
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從而四棱錐A1-BCDE的體積為
V=S·A1O=×a2×a=a3.
由a3=36，得a=6.
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答案
18.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且∠ABC=90°，側面AA1B1B是菱形，∠A1AB=60°，平面AA1B1B⊥平面ABC，點M是AA1的中點.
(1)求證：BB1⊥CM；
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答案
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，即BC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B=
AB，BC 平面ABC，
∴BC⊥平面AA1B1B，
∵BB1 平面AA1B1B，
∴BC⊥BB1.
在菱形AA1B1B中，∠A1AB=60°，連接A1B(圖略)，
則△A1AB是等邊三角形，
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答案
∵點M是AA1的中點，
∴AA1⊥BM.
又AA1∥BB1，
∴BB1⊥BM，
又BM∩BC=B，BM，BC 平面BMC，
∴BB1⊥平面BMC，
又CM 平面BMC，
∴BB1⊥CM.
(2)求直線BM與平面CMB1所成角的正弦值.
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如圖，作BG⊥MB1于點G，連接CG.
由(1)知BC⊥平面AA1B1B，
又MB1 平面AA1B1B，
∴BC⊥MB1，
又BG⊥MB1，且BC∩BG=B，
BC，BG 平面BCG，
∴MB1⊥平面BCG.
∵MB1 平面CMB1，
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∴平面CMB1⊥平面BCG，作BH⊥CG于點H，則BH⊥平面CMB1，連接MH，
則∠BMH即為直線BM與平面CMB1所成的角.
設AB=BC=2，則BB1=2，BM=，
在Rt△MBB1中，MB1=，
則BG==.
在Rt△CBG中，CG=，
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則BH==，
∴sin∠BMH===，
即直線BM與平面CMB1所成角的正弦值為.
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答案
19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA
⊥平面ABCD，且PA=AB=2，PD的中點為F.
(1)在線段AB上是否存在一點G，使得AF∥平面PCG？
若存在，指出點G在AB上的位置并給以證明；若不存
在，請說明理由；
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在線段AB上存在中點G，
使得AF∥平面PCG.
證明如下：
如圖所示，連接PG，CG，設PC的中點為H，
連接FH，GH，
∵FH∥CD，FH=CD，
AG∥CD，AG=CD，
∴FH∥AG，FH=AG，
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∴四邊形AGHF為平行四邊形，則AF∥GH.
又GH 平面PCG，AF 平面PCG，
∴AF∥平面PCG.
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答案
(2)請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.
①AB⊥BC；②FC與平面ABCD所成的角為；③∠ABC=.若　　　　，求二面角F-AC-D的余弦值.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分
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若選擇條件①.
如圖①，過點F作FM⊥AD于點M，過點M作MO⊥
AC于點O，連接FO.
∵F為PD的中點，
PA⊥平面ABCD，
∴FM∥PA，且FM⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，∴FM⊥AC.
又AC⊥MO，FM∩MO=M，FM，MO 平面FMO，∴AC⊥平面FMO，又FO 平面FMO，
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∴AC⊥FO，
∴∠FOM為二面角F-AC-D的平面角.
∵AB⊥BC，四邊形ABCD為正方形，
∴∠CAD=，
∴MO=AMsin =.
又FM=PA=1.
∴cos∠FOM===，
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即二面角F-AC-D的余弦值為.
若選擇條件②.
與選擇條件①一樣作相同的輔助線，
如圖②，連接MC.
∵FC與平面ABCD所成的角為，∴∠FCM=，
∴MC===.
∴MC2+MD2=CD2，∴CM⊥AD.
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∴在Rt△AMC中，
MO===.
∴cos∠FOM===.
若選擇條件③.
與選擇條件①一樣作相同的輔助線.
∵∠ABC=，∴∠DAC=，
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∴MO=AMsin=.
∴cos∠FOM===.
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