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(共30張PPT)
16.1 二次根式
課時(shí)3 二次根式性質(zhì)及化簡(jiǎn)
能準(zhǔn)確說(shuō)出二次根式的兩個(gè)重要性質(zhì)，并能識(shí)別在不同情境下該運(yùn)用哪條性質(zhì).
學(xué)會(huì)把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，明確最簡(jiǎn)二次根式需滿(mǎn)足被開(kāi)方數(shù)不含分母且被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式這兩個(gè)條件.
在探究二次根式性質(zhì)的過(guò)程中，培養(yǎng)觀察、分析、歸納等思維能力.
由于二次根式的性質(zhì)運(yùn)用和化簡(jiǎn)需要嚴(yán)格遵循相關(guān)規(guī)則，在學(xué)習(xí)過(guò)程中能促使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)習(xí)慣.
1
2
3
4
【重點(diǎn)】能準(zhǔn)確說(shuō)出二次根式的兩個(gè)重要性質(zhì)，并能識(shí)別在不同情境下該運(yùn)用哪條性質(zhì).
【難點(diǎn)】在特殊情境中利用性質(zhì)將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式.
1.怎樣的式子叫二次根式？
2.怎樣判斷一個(gè)式子是不是二次根式？
3.如何確定二次根式中字母的取值范圍？
一般地，我們把形如 （a≥0)的式子叫做二次根式.
（1）形式上： ；（2）被開(kāi)方數(shù)a≥0.
①被開(kāi)方數(shù)不小于零；
②分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零.
【思考】下列數(shù)字誰(shuí)能順利通過(guò)下面兩扇門(mén)進(jìn)入客廳？
算術(shù)平方根之門(mén)
平方之門(mén)
0
-4
-1
a
a≥0
1
我們都是
非負(fù)數(shù)喲！
【思考】若下列數(shù)字想從客廳出來(lái)，誰(shuí)能順利通過(guò)兩扇門(mén)出來(lái)呢？
算術(shù)平方根之門(mén)
平方之門(mén)
0
-4
-1
1
16
4
1
a
a為任意數(shù)
【想一想】 你發(fā)現(xiàn)了什么？
我們都是非負(fù)數(shù)，可出來(lái)之前我們有正數(shù)，零和負(fù)數(shù).
（2）什么是一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根？如何表示？
（1）什么叫做一個(gè)數(shù)的平方根？如何表示？
一般地，若一個(gè)數(shù)的平方等于a，則這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根.
若一個(gè)正數(shù)的平方等于a，則這個(gè)數(shù)就叫做a的算術(shù)平方根.
a的平方根是
用　 (a≥0)表示.
（a≥0) 性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn) 1
（1）填空：
（2）通過(guò)（1）的思考，你能確定( ) （a≥0）的化簡(jiǎn)結(jié)果嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.
4
0
2
同理， 分別是2， ,0的算術(shù)平方根，因此有
是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有
的性質(zhì)：
一般地， ＝a (a ≥0).
即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 這一限制條件.這是使二次根式 有意義的前提條件.
要點(diǎn)歸納
例1 計(jì)算：
解：
積的乘方：（ab）2=a2b2
利用 的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算
（1） （2）
（1）
（2）
(2)可以用到冪的哪條基本性質(zhì)呢？
素養(yǎng)考點(diǎn)1
【方法總結(jié)】本題逆用了 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.
解：
利用 的性質(zhì)分解因式
例2 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
（1）4x2-5 (2)m4-6m2+9
（1）
（2）
素養(yǎng)考點(diǎn)2
2
0.1
0
化簡(jiǎn)下列根式，想一想
的性質(zhì)
化簡(jiǎn)后，你能確定 的化簡(jiǎn)結(jié)果嗎？
知識(shí)點(diǎn) 2
算術(shù)平方根
平方運(yùn)算
a
觀察兩者有什么關(guān)系？
填一填：
＝a (a≥0).
...
觀察兩者有什么關(guān)系？
【猜一猜】當(dāng)a＜0時(shí)， =
？
-a
算術(shù)平方根
平方運(yùn)算
a(a＜0)
...
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.
的性質(zhì)：
要點(diǎn)歸納
解：
利用 的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算
警示： 而3.14＜π，要注意a的正負(fù)性.
例3 化簡(jiǎn)：
（1）
（2）
（3）
（4）
(1)
(2)
(3)
(4)
素養(yǎng)考點(diǎn)1
【討論】（1）在 中，可否去掉“a≥0”？如果去掉“a≥0”,結(jié)論將會(huì)發(fā)生怎樣的變化？
（2）第二小題中的 能否直接使用性質(zhì)
進(jìn)行化簡(jiǎn)？
計(jì)算 一般有兩個(gè)步驟:
①去根號(hào)及被開(kāi)方數(shù)的指數(shù),寫(xiě)成絕對(duì)值的形式,即 ;
②去掉絕對(duì)值符號(hào),即
要點(diǎn)歸納
4.請(qǐng)同學(xué)們快速分辨下列各題的對(duì)錯(cuò)．
（ ）
×
×
√
√
（ ）
（ ）
（ ）
基礎(chǔ)練習(xí)
【議一議】如何區(qū)別 與 ？
從運(yùn)算順序看
從取值范圍看
從運(yùn)算結(jié)果看
先開(kāi)方,后平方
先平方，后開(kāi)方
a≥0
a取任何實(shí)數(shù)
a
|a|
意義
表示一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方
表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根
解：由數(shù)軸可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
例4 實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，請(qǐng)你化簡(jiǎn):
a
b
幾何圖形與 的性質(zhì)相結(jié)合的題目
素養(yǎng)考點(diǎn)2
5. 已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示,化簡(jiǎn)．
解：由數(shù)軸可得：，，，
原式
．
【方法總結(jié)】利用數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是要要根據(jù)a,b的大小討論絕對(duì)值內(nèi)式子的符號(hào).
a
b
0
基礎(chǔ)練習(xí)
（1）含有數(shù)或表示數(shù)的字母；
（2）用基本運(yùn)算符號(hào)連接數(shù)或表示數(shù)的字母．
回顧我們學(xué)過(guò)的式子，如
（a≥0）
這些式子有哪些共同
特征？
代數(shù)式的定義
知識(shí)點(diǎn) 3
用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方）把 或 連接起來(lái)的式子，我們稱(chēng)這樣的式子為代數(shù)式.
數(shù)
表示數(shù)的字母
【想一想】到現(xiàn)在為止，初中階段所學(xué)的代數(shù)式主要有哪幾類(lèi)？
代數(shù)式
整式
分式
二次根式
要點(diǎn)歸納
利用代數(shù)式的定義判斷代數(shù)式
例5 下列式子:(1)x; (2)a-b; (3) ;(4) ;
(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代數(shù)式的有(　　)
A.4個(gè)　　　 B.5個(gè) C.6個(gè)　　　 D.7個(gè)
B
素養(yǎng)考點(diǎn)1
6.下列式子是代數(shù)式的有 ( )
①a2+b2 ; ② ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)
C
7.如圖，是一個(gè)圓形掛鐘，正面面積為S，用代數(shù)式表示出鐘的半徑為_(kāi)_________.
基礎(chǔ)練習(xí)
二次根式
性質(zhì)
拓展性質(zhì)
＝a (a ≥0).
代數(shù)式
整式
分式
二次根式
（a為全體實(shí)數(shù)）
1.填空：
_____；（2）_____；
（3）_______．
13
2. 當(dāng)2A.3 B.-3 C.1 D.-1
D
3. 計(jì)算：
4.(1)已知a為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式 的值.
解：由題意得a+2≥0，-4-2a≥0，
∴a=-2，
∴ .
(2)已知a為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式 的值.
解：由題意得-a2≥0，又∵a2≥0，
∴a2=0，∴a=0，
∴

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