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課時2 二次根式的雙重非負性
16.1 二次根式
透徹領悟二次根式的雙重非負性本質，能夠靈活運用該性質進行基礎的運算與推理；熟練掌握運用二次根式雙重非負性去處理代數式求值、等式成立判定等問題的技巧.
經由對諸多二次根式雙重非負性相關例題、習題的深度分析與解答，強化邏輯思維與數學運算這兩項核心能力.
當面臨利用雙重非負性解決較為復雜的問題（如多個非負項累加為零的情形）時，學會有條不紊地綜合分析、層層推導的有效思維方式.
深切體會二次根式雙重非負性在整個數學體系里的關鍵作用，強化對數學重要性質的重視程度與運用意識，進而激發對初中數學學習的濃厚興趣.
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【重點】透徹領悟二次根式的雙重非負性本質.
【難點】靈活運用二次根式的雙重非負性進行基礎的運算與推理； 熟練掌握代數式求值、等式成立判定等問題的技巧.
二次根式的雙重非負性
前者x為全體實數；后者x為正數和0.
當a＞0時, 表示a的算術平方根,因此＞0；
綜上所述：當a≥0時, ≥0.
[問題1]當x是怎樣的實數時，在實數范圍內有意義？ 呢？
[問題2]二次根式的被開方數a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？
當a=0時，表示0的算術平方根，因此=0.
二次根式的實質是表示一個非負數(或式)的算術平方根.對于任意一個二次根式,我們知道：
(1)a為被開方數,為保證其有意義，可知a≥0；
(2) 表示一個數或式的算術平方根，可知≥0.
二次根式的被開方數非負
二次根式的值非負
二次根式的雙重非負性
要點歸納
利用二次根式的雙重非負性求字母的值
提示：多個非負數的和為零，則可得每個非負數均為零.初中階段學過的非負數主要有絕對值、偶次冪及二次根式.
例3 若 ，求a -2b+c的值.
解：
由題意可知
解得a=-5,b=3,c=2.
所以a -2b+c=-5-2 6+2=-15.
素養考點1
解：由題意得x-y-1=0且x+y-3=0．
解得x=2，y=1．
∴4x+y=2×4+1=9，
∴x+4y的平方根為±3.
1.已知|x-y-1|和 互為相反數，求4x+y的平方根．
基礎練習
二次根式的雙重非負性和不等式求字母的值
例4 已知實數x、y滿足等式 ，求x2-y2的值.
解：
由題意得
解得：x=5
把x=5,代入得y=6
所以x2-y2=52-62=-11
素養考點2
2. 已知y = ,求3x+2y的算術平方根.
解：由題意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=3×3＋2×8=25.
∵25的算術平方根為5，
∴3x+2y的算術平方根為5．
基礎練習
二次根式的被開方數非負，即中a≥0
二次根式的值非負.即中≥0
二次根式的雙重非負性
1.若二次根式有意義,求b的取值范圍．
解：由題意得b-5≥0且b2-b-2≠0，
解得b≥5且b≠-1，b≠2，
∴b≥5．
查漏補缺
2.若x,y是實數,且y＜,求的值.
解：根據題意得，
∴b=2.
∵y＜ ,
∴y＜ ，
∴ .
查漏補缺
解：由題意得b(b-2)≥0
由乘法法則得
解得b≥2 或b≤0
即當b≥2 或b≤0時， 有意義.
3.先閱讀，后回答問題：當x為何值時，有意義？
提升能力
4.體會解題思想后,試著解答：當m為何值時, 有意義？
解：由題意得
，則
解得m≥2或m＜
即當m≥2或m＜ 時, 有意義．
提升能力

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