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(共21張PPT)
27.2.1 相似三角形的判定
課時3 兩角相等判定
理解并牢記兩角分別相等的兩個三角形相似這一判定定理，熟練掌握直角三角形相似的判定方法；能夠運用這些判定條件解決相關的證明與計算問題.
通過觀察、測量、對比不同三角形的角與邊的關系，經歷從特殊到一般、從直觀感知到理性推導的過程，歸納出相似三角形的判定定理，提升邏輯推理與歸納總結能力.
在利用相似三角形判定定理解決實際問題的過程中，體會數學知識之間的內在聯系，學會將復雜問題轉化為簡單的相似三角形問題進行求解，培養數學思維和應用意識.
1
2
3
重點：理解并掌握兩角分別相等的兩個三角形相似的判定定理及判定兩個直角三角形相似的方法.
難點：靈活應用三角形相似的判定解決數學問題.
目前為止，我們學習了哪些判定三角形相似的方法？
1.定義法：對應角相等，對應邊成比例的三角形相似
2.平行線法：平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊所得的三角形與原三角形相似.
3.三邊成比例的兩個三角形相似．
4.兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．
思考：類似于判定三角形全等的AAS和ASA的方法，你能得到哪些判定三角形相似的方法呢？
觀察兩副三角尺如圖所示，其中有同樣兩個銳角(30°與60°，或45°與45°)的兩個三角尺大小可能不同，但它們看起來是相似的．
知識點一：兩角分別相等的兩個三角形相似
例1.如圖所示，已知在△ABC 和△A′B′C 中，∠A=∠A′,∠B=∠B′.
思考：△ABC∽△A′B′C′成立嗎？.
分析：
作
證
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
證明:在線段A′B′上截取A′D=AB，過點D作DE∥B′C′，交A′C′于點E，則可得△A′DE∽△A′B′C′.
∵DE∥B′C′，∴∠A′DE=∠B′
又∠B=∠B′，∴∠B=∠A′DE
又∵∠A=∠A′，A′D=AB
∴△A′DE≌△ABC
∴△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判斷定理3：兩角分別相等的兩個三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符號語言：
在 △ABC 和 △A'B'C' 中，
A
B
C
A′
C′
B′
要點歸納
證明：∵ 在△ ABC中，∠B=80 °，∠C=60 °，
∴ ∠A=180 °-∠C－∠B=40 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠D=40 °.
∴ ∠B=∠E，∠A=∠E.
　 ∴ △ABC ∽△DEF.
1. 如圖，△ABC 和 △DEF 中，∠B=80°，∠C=60°，∠E=80 °，∠D=40 °求證：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
基礎練習
例2.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8. E 是 AC 上一點，AE = 5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長．
D
A
B
C
E
解：∵E D⊥AB，∴∠EDA = 90°
又∠C = 90°，∠A =∠A，
∴△AED∽△ABC,
∴
∴
方法總結：由三角形相似的條件可知，如果兩個直角三角形滿足一個銳角相等，或兩組直角邊成比例，那么這兩個直角三角形相似．
知識點二：判定兩個直角三角形相似
如圖所示，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°
，求證 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
分析：要證Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，
可設法證明
，只需證
若設
證明：設 = k，則 AB = kA′B′，AC = kA′C′.
由勾股定理，得
∴ .
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
∴
C
A
A'
B
B'
C'
斜邊和一直角邊成比例的兩個直角三角形相似.
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
符號語言：
∵∠C=90°，∠C′=90°
且
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
C
A
A'
B
B'
C'
要點歸納
2.如圖,Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高.
求證:(1)△ACD∽△ABC;(2)△CBD∽△ABC.
證明：
（1）∵ CD是斜邊AB上的高，
∴ ∠CDA=90°.
∵ ∠ACB=90 °， ∴ ∠CDA=∠ACB.
又∵ ∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC.
（2）同理可得∠CDB=∠ACB.
又∵ ∠B=∠B，∴△CBD∽△ABC.
基礎練習
三角形相似的判定3
直角三角形相似的判定方法：
（1）有一個銳角相等；
（2）兩組直角邊對應成比例；
（3）一般的三角形相似的方法；
（4）有一組直角邊和斜邊對應成比例
判定定理3：
兩角分別相等的兩個三角形相似
1.如圖，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD AC D．
D
查漏補缺
A
B
D
C
2. 如圖，點 D 在 AB上，當∠ ＝∠ (或
∠ =∠ )時，△ACD∽△ABC.
ACD
ACB
B
ADC
3. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，
依據下列各組條件判定這兩個三角形是否相似.
(1) ∠A=35°，∠E=55°： ；
(2) AC=5，BC=4，DF=10，EF=8： ；
(3) AB=10，AC=8，DE=25，EF=15： .
相似
相似
相似
查漏補缺
4. 如圖，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于D. 若 AB=8，AD=4，則 BD= ，AC= ，BC= .
16
D
B
C
A
∟
查漏補缺
5.如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．
求證：△ABD∽△CBE．
解：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
提升能力
6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．
（1）求證：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．
解：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
提升能力
（2）由勾股定理得，AB=10，由折疊的性質知，AE=AC=6，DE=CD，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
∵△BDE∽△BAC，∴，
∴，
∴
在Rt△ACD中，由勾股定理得
即
解得：AD=

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