資源簡介

(共24張PPT)
27.2.1 解直角三角形
課時2 三邊成比例、兩邊成比例且夾角相等判定
深入理解相似三角形的判定定理“三邊成比例的兩個三角形相似”，“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”能在不同的幾何圖形情境中，熟練運用該定理進行相關的計算與證明.
體會從特殊到一般、從直觀感知到邏輯推理的數學思維方法，培養自主探究和歸納總結的能力.
在運用判定定理解決實際問題的過程中，進一步提高邏輯推理能力、幾何直觀能力以及數學語言表達能力，學會將復雜的幾何圖形分解為簡單的三角形模型，運用所學定理進行分析和處理.
感受數學的嚴謹性和邏輯性，體會數學在解決實際問題中的廣泛應用價值.
1
2
3
4
【重點】掌握相似三角形判定定理.
【難點】能在不同的幾何圖形情境中，熟練運用該定理進行相關的計算與證明
目前為止，我們已經學習的判定三角形相似的方法有哪些？
定義法：
對應邊成比例，且對應角相等的兩個三角形是相似三角形．
A
B
C
A′
B′
C′
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
所以，△ABC與△A′B′C′相似，且相似比為k.
平行線法：
平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．
∵ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
還有哪些方法可以判定兩個三角形相似呢？
思考：類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過三邊來判定兩個三角形相似呢？
【探究一】任意畫一個△ABC ，再畫一個△A′B′C′，使它的各邊長都是原來△ABC 的各邊長的 k 倍
1.猜想這兩個三角形相似嗎？
2.你從中得出什么結論？
A
B
C
A′
C′
B′
判定1：三邊成比例的兩個三角形相似
已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，
求證：△ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A'
B'
C'
分析：在線段A'B'（或它的延長線）上截取A'D=AB，過點D作DE∥B'C'，交A'C'于點E，構造△A'DE．
D
E
證明：在A'B'上取A'D=AB，過點D作DE//B'C'，交A'C'于點E
∴DE=BC， A'E=AC .
∵DE//B'C'
又∵A'D=AB，
∴
∴△A'B'C'∽△A'DE
∴△A'DE ≌△ABC
∴△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
思路點撥
截取A'D=AB
并添加平行線
構造相似
三角形
對應邊
相等
DE=BC
A'E=AC
△A'DE≌△ABC
SSS
△A'DE∽△A'B'C'
△ABC∽△A'B'C'
通過構造全等證相似
輔助線的價值：將△ABC平移到△A'DE的位置 .
A
B
C
A'
B'
C'
D
E
判定三角形相似的定理1：三邊成比例的兩個三角形相似．
A
B
C
A′
C′
B′
符號語言：
在△ABC 和△A'B'C'中，
∵ ，
∴△ABC∽△A'B'C'．
要點歸納
例1.根據下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由：
(1)AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm.
方法總結：判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個三角形的三邊的長，分別算出三條對應邊的比值，看是否相等.
注意：計算時最長邊與最長邊對應，最短邊與最短邊對應.
解：相似. 理由如下：
∵
∴
∴△ABC ∽ △A′B′C′（三邊成比例的兩個三角形相似）.
1.已知 △ABC 和 △DEF，根據下列條件判斷它們是否相似.
(2) AB=3， BC =9， AC＝6，
DE＝27，EF＝18， DF＝9；
(1) AB =2， BC =5， AC＝8，
DE＝3， EF＝6， DF＝9；
是
否
基礎練習
思考：類似于判定三角形全等的SAS的方法，我們能不能通過兩邊和夾角判定兩個三角形相似呢？
【探究二】利用刻度尺和量角器畫 △ABC 和 △A′B′C′，
使∠A =∠A′，
1.猜想這兩個三角形相似嗎？
2.你從中得出什么結論？
A'
B'
C'
A
B
C
判定2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似
如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A = ∠A′，
求證：△ABC∽△A′B′C′.
分析: 通過作輔助線，構建與△ABC全等，并且與△A′B′C′相似的三角形即可
B
A
C
B'
A'
C'
證明：在 △A′B′C′ 的邊 A′B′ 上截取點D，使 A′D = AB．過點 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于點 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
∵ A′D=AB，
∴
判定三角形相似的定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．
符號語言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
在△ABC 和△A'B'C'中，
要點歸納
思考：對于△ABC 和 △A′B′C′，如果 ∠B = ∠B′，這兩個三角形一定會相似嗎？試著畫畫看.
結論：如果兩個三角形兩邊對應成比例，但相等的角不是兩條對應邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應邊的夾角.
不會，如左圖，因為不能證明構造的三角形是唯一的.
A
B
C
A′
B′
C″
C′
例2. 根據下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.
(2)∠A = 120° ，AB = 7 cm ，AC = 14 cm，
∠A′ = 120° ，A′B′ = 3 cm ，A′C′= 6 cm，
解：相似. 理由如下：
∵
∴ 又∵∠A=∠A′
∴△ABC ∽ △A′B′C′.（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）
2.如圖，△ABC與△ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAC=∠BAE. 求證：△ABC ∽△ADE.
證明：∵ AD =AE，AB = AC，
∴
∵∠DAC = ∠BAE，
∴∠DAC +∠CAE = ∠BAE +∠CAE，
即 ∠DAE =∠BAC，
∴△ABC ∽△ADE.（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）
A
B
C
D
E
基礎練習
三角形相似的判定1和2
判定定理2：
兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似
判定定理1：
三邊成比例的兩個三角形相似
2. 若一個三角形的三邊長分別為2cm，4cm，6cm，另一個三角形的三邊長分別為12cm，4cm，________時，這兩個三角形相似．
8cm
1. 如圖，在大小為4×4的正方形網格中，是相似三角形的是 ( )
①
②
③
④
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
C
查漏補缺
3. 根據下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由：
(1)∠A=40o,AB=8cm,AC=15cm；
∠A′=40o,A′B′=16cm,A′C′=30cm.
解析：∵
∴，
∵∠A= ∠A′ ，
∴ △ABC∽ △A′B′C′ .
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm；
A′B′=16cm,B′C′ = 12.8cm,A′C′=25.6cm.
解析：∵
∴，
∴ △ABC∽ △A′B′C′ .
查漏補缺
4.如圖，在△ABC 中，CD是邊AB上的高，且，
求證：△ABC是直角三角形.
B
A
C
D
證明： ∵CD 是AB邊上的高，
∴∠ADC =∠CDB =90°，
則∠A +∠ACD = 90°.
∴△ADC ∽△CDB,∴ ∠BCD =∠A，
∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠ACD+∠A = 90°.
∴△ABC是直角三角形.
∵ ,
提升能力
5. 如圖，△ABC中，點 D，E，F 分別是 AB，BC，CA的中點，
求證：∠A=∠DEF．
∴△ABC∽△EFD.
證明：∵△ABC中，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，
∴
∴
A
B
C
E
F
D
∴∠A=∠DEF.
提升能力

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