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(共27張PPT)
27.2.1 解直角三角形
課時1 平行線分線段成比例
理解相似三角形的概念.
理解平行線分線段成比例的基本事實及其推論，掌握相似三角形判定定理的預備定理的有關證明.
掌握平行線分線段成比例的基本事實及其推論的應用，會用平行線判定兩個三角形相似并進行證明和計算.
學會運用類比、轉化等數學思想，將平行線分線段成比例問題轉化為三角形相似問題，提高分析問題和解決問題的能力.
1
2
3
4
【重點】掌握相似三角形判定定理的預備定理的有關證明.
【難點】能準確識別圖形中的對應線段，并能運用定理進行簡單的比例計算與線段長度求解
兩個邊數相同的多邊形，如果他們的對應角分別相等，對應邊成比例，那么這兩個多邊形叫相似多邊形.
類比
對應角分別相等，并且邊也成比例的兩個三角形叫作相似三角形
如圖，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要滿足什么條件？
A
B
C
A′
B′
C′
對應角分別相等，對應邊成比例
即∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
則△ABC與△A′B′C′相似，且相似比為k.
相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”. △ABC與△A′B′C′ 相似記作△ABC∽△A′B′C′”.
知識點一：相似三角形概念
A
B
C
A′
B′
C′
對應角分別相等，且邊也成比例的兩個三角形相似.
符號語言：
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
∴△ABC與∽A′B′C′相似
要點歸納
【注意】
(1)當邊的比值等于1時，相似三角形是全等三角形.即相似不一定全等，但全等一定相似.
(2)相似三角形的定義既是最基本的判定方法，也是最本質、最重要的性質.
(3)在書寫兩三角形相似時，要注意對應點的位置要一致，即△ABC∽△A'B'C'，則說明A的對應點是A'，B的對應點是B'，C的對應點是C'.
要點歸納
思考：△ A'B'C' ∽△ABC與△ABC ∽△ A'B'C'的相似比是否相同？
△ A'B'C' ∽△ABC與△ABC ∽△ A'B'C' 的相似比不同.
注意：相似比帶有順序性，如△ABC∽△ A'B'C' ，
則
反過來△ A'B'C'與△ABC的相似比為
A
B
C
A′
B′
C′
判定三角形全等，我們并不是驗證六個條件，而是利用了幾個簡便的判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS），那么判定三角形相似我們又能不能用類似的簡便的判定方法呢？我們先來探究下面的問題.
知識點二：平行線分線段成比例（基本事實）及推論
如圖，任意畫兩條直線 l1，l2，再畫三條與 l1，l2，都相交的平行線 l3，l4，l5. 分別度量在 l1 上截得的兩條線段 AB，BC 和在 l2 上截得的兩條線段 DE，EF 的長度
（1） 相等嗎？
（2）任意平移 l5， 還相等嗎？
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
通過度量可以發現，若 l3∥ l4 ∥ l5，則 ，
，
任意平移直線 l5 ，
這些線段依然成比例.
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
注意“對應”兩字．
（1） 簡稱“上比下”等于“上比下”
（2） 簡稱“上比全”等于“上比全”
（3） 簡稱“下比全”等于“下比全”
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.
要點歸納
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l3
l2
l1
A
B
C
D
E
l4
l5
l3
l2
l1
如圖，當直線l1與l2相交時，基本事實還成立嗎？
成立. 對應邊仍然成比例，即
A
B
C
D
E
l4
l5
l3
l2
l1
成立. 對應邊仍然成比例，即
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l3
l2
l1
如圖，當直線l1與l2相交時，基本事實還成立嗎？
把平行線分線段成比例的基本事實應用到三角形中，會出現下面兩種情況.
A
B
C
D
E
l4
l5
l3
l2
l1
A
B
C
D
E
l4
l5
l3
l2
l1
平行線分線段成比例定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.
要點歸納
1.如圖，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分別是 AB 和 AC 上的點，AE = 2,BE=6，FC= 3，那么 AF 的長是多少？
A
B
C
E
F
解得 AF = 1.
∵EF∥BC，
解：
∴
基礎練習
∴
思考：如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE分別交AB，AC于點D，E，△ADE與△ABC 有什么關系？
猜測：△ADE∽△ABC
B
C
A
D
E
那么如何去證明它呢？
知識點三：判定三角形相似的引理
我們可以通過相似的定義證明它，即證明∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
由前面的結論可得，
而除 DE 外，其他的線段都在△ABC 的邊上，
要想利用前面學到的結論來證明三角形相似，需將DE平移到BC邊上去，使BF=DE，再證明 就可以了.
B
C
A
D
E
證明：先證明兩個三角形的角分別相等
在 △ADE與 △ABC中，∠A =∠A.
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
如圖，過點 E 作 EF∥AB，交 BC 于點 F.
C
B
D
E
F
∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴
∵ 四邊形DBFE為平行四邊形，
∴ DE=BF，
∴△ADE∽△ABC.
∴
再證明兩個三角形的邊成比例
A
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例
∴
平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.
定理應用格式：
∵ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
B
C
A
D
E
三角形相似的兩種常見類型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
要點歸納
2.問題：如圖，DE∥BC，且 DE 分別交 BA，CA 的延長線于點 D，E，△ABC 與△ADE 相似嗎？如何證明呢？
基礎練習
證明：先證明兩個三角形的角分別相等.
如圖，在△ADE 與△ABC 中，∠DAE=∠BAC.
∵DE//BC，∴∠D=∠B，∠AED=∠C.
再證明兩個三角形的邊成比例.
過點E作EF//AB，交CB的延長線于點F.
∵DE//BC，EF//AB，
C
D
B
A
E
F
2.問題：如圖，DE∥BC，且 DE 分別交 BA，CA 的延長線于點 D，E，△ABC 與△ADE 相似嗎？如何證明呢？
基礎練習
C
D
B
A
E
F
∵四邊形DBFE是平行四邊形，
∴DE=BF.
∴ △ADE和△ABC的角分別相等，邊成比例，
∴ △ADE∽△ABC.
兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
推論：
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長線)，所得的對應線段成比例
相似三角形判定的引理：
平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似
基本事實：
平行線分線段成比例
1.直線AB//CD//EF，若AC=4，CE=11，則 ， .
A
C
E
B
D
F
解：∵AB//CD//EF,
∴==,
∵AC=4，CE=11，∴AE=15
∴==.
查漏補缺
2.如圖，AB//DE，若AB=9，BC=3，DC=1，則DE=____.
3
A
B
C
D
E
3. 已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似三角形.
C
D
A
B
E
F
O
3
查漏補缺
3.如圖，□ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF:FC等于（ ）
A．3:2 B．3:1
C．1:1 D．1:2
D
查漏補缺
4.如圖，在 □ABCD 中，EF∥CD， BE: BC = 2: 9，EF = 4，求 AB的長．
解：∵ EF∥CD，BE : BC= 2 : 9，
D
A
C
B
E
F
∴ △BEF ∽ △BCD，
解得 CD = 18.
又 ∵ 四邊形 ABCD 為平行四邊形，
∴ AB=CD =18.
提升能力
∴=，
即=，

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