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(共16張PPT)
27.3 位似
課時2 平面直角坐標系中的位似變換
理解位似變換的概念，能識別平面直角坐標系中的位似圖形，并確定位似中心.
掌握在平面直角坐標系中，位似圖形對應點坐標的變化規律，能夠根據位似比和已知點坐標求出位似圖形對應點的坐標，或根據對應點坐標求出位似比.
能夠利用位似變換的性質在平面直角坐標系中進行簡單的圖形放大或縮小繪制.
學會運用位似變換解決實際問題，如在地圖繪制、圖案設計等方面的應用，提高數學應用能力和創新思維.
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重點：掌握在平面直角坐標系中，以原點為位似中心時，原圖形上的點與其位似圖形上對應點的坐標變化規律，即點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx,ky)或(-kx,-ky)，其中k為相似比.
難點：能夠熟練運用位似變換的知識解決實際問題
我們知道，在直角坐標系中，可以利用變化前后兩個多邊形對應頂點的坐標之間的關系表示某些平移、軸對稱和旋轉 (中心對稱).
那么，位似是否也可以用兩個圖形坐標之間的關系來表示呢？
左減右加縱不變，上加下減橫不變.
關于x軸對稱：橫坐標不變，縱坐標互為相反數.
平 移
軸對稱
關于y軸對稱：縱坐標不變，橫坐標互為相反數.
中心對稱
關于原點對稱：橫、縱坐標都互為相反數.
如圖，在平面直角坐標系中，有兩點 A ( 6，3 )，B ( 6，0 )．以原點 O 為位似中心，相似比為 ，把線段 AB 縮小，觀察對應點之間坐標的變化.
A
B
A′
B′
A′′
B′′
A′ ( 2,1 )，B' ( 2,0 )
A" ( -2,-1 )，B" ( -2,0 )
知識點　位似圖形的坐標特征及應用
如圖，△AOC 三個頂點坐標分別為 A ( 4，4 )，O ( 0，0 )，C ( 5，0 )，以點 O 為位似中心，相似比為 2，將 △AOC 放大，觀察對應頂點坐標的變化.
A
O
C
C′
A′
A′′
C′′
A' ( 8,8 )，C' ( 10,0 )
A" ( -8,-8 )，C" ( -10,0 )
一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點 ( x,y ) 對應的位似圖形上的點的坐標為 ( kx,ky )或 ( -kx,-ky ).
【注意】上面的坐標的變化規律是以原點為位似中心的位似變化中圖形上對應點的坐標的變化規律.
當 k＞1 時，圖形擴大為原來的 k 倍；
當 0＜k＜1時，圖形縮小為原來的 k 倍．
要點歸納
例1.如圖，在平面直角坐標系中，△ABO 三個頂點的坐標分別為 A ( -2 , 4 )，B ( -2 , 0 )，O ( 0 , 0 ). 以原點 O 為位似中心，畫出一個三角形使它與 △ABO 的相似比為 .
A
B
O
分析：由于要畫的圖形是三角形，所以關鍵是確定它的各項定點坐標. 根據前面總結的規律，點 A 的對應點 A' 的坐標為( -2×, 4×)，即 ( -3 , 6 ). 類似地，可以確定其他頂點的坐標.
解：利用位似中對應點的坐標的變化規律，分別取點 A′( -3 , 6 )，
B′( -3 , 0 )，O( 0 , 0 ). 順次連接點 A′，B′，O，所得 △A′B′O 就是要畫的一個圖形.
A
B
O
A′
B′
A′′
B′′
三角形 OA′′B′′ 也是滿足要求的三角形，你能說明原因嗎？
1.如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(-2,-5),B(-3,-1),C(-5,-4).
(1)以點O為位似中心, 為相似比,在第一象限內,畫出△ABC的位似圖形△A1B1C1;
解：如右圖,△A1B1C1即為所求.
基礎練習
(2)點M是BC的中點,請直接寫出點M在△A1B1C1中的對應點M1的坐標.
解：∵點M是BC的中點,∴點M的坐標為
根據位似的性質,橫縱坐標都變為原來的且在第一象限,
∴M1
2.△ABC 三個頂點 A (3，6)，B (6，2)，C (2，-1)，以原點為位似中心，得到的位似圖形 △A′B′C′ 三個頂點分別為 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，
則△A′B′C′ 與 △ABC 的位似比是 .
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基礎練習
至此，我們已經學習了四種變換：平移、軸對稱、旋轉和位似，總結它們的坐標變化規律
①平移變換：對應點的橫坐標或縱坐標加上(或減去)平移的單位長度
②軸對稱變換：以x軸為對稱軸則對應點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數；以y軸為對稱軸則對應點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數.
③旋轉變換：一個圖形繞原點旋轉180°，則旋轉前后兩個圖形對應點的橫坐標與縱坐標都互為相反數.
④位似變換：當以原點為位似中心時，變換前后兩個圖形對應點的橫、縱坐標之比的絕對值等于位似比.
1.如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(2,2),B(4,1),以原點O為位似中心,相似比為2,把△OAB放大,則點A的對應點A'的坐標是( )
A.(1,1) B.(4,4)或(8,2) C.(4,4) D.(4,4)或(-4,-4)
D
2.如圖,△ABE和△CDE是以點E為位似中心的位似圖形.已知點A(3,4),C(2,2),
D(3,1),則點D的對應點B的坐標是 (　　)
C
A.(4,2) B.(4,1) C.(5,2) D.(5,1)
查漏補缺
3.在平面直角坐標系中，已知點E(－4，2)，F(－2，－2)，以原點O為位似中心，相似比為1∶2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的坐標是___________________.
(－2，1)或(2，－1)
4.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別是O(0，0)，A(1，0)，B(2，3)，C(－1，2).若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關于原點O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內點B′的坐標為____________.
(4，6)
查漏補缺
5.如圖,直線 與x軸,y軸分別交于A,B兩點,△BOC與△B'O'C'是以點A為位似中心的位似圖形,且相似比為1∶2,求點B'的坐標.
解：∵直線與x軸,y軸分別交于A,B兩點,
令x=0可得y=1；令y=0可得x=-3,
∴點A和點B的坐標分別為(-3,0),(0,1)，AO=3,OB=1.
∵△BOC與△B'O' C'是以點A為位似中心的位似圖形,且相似比為1∶2,
∴O' B' =2，AO' =6，，
當點B'在第一象限時,點B'的坐標為(3,2);
當點B'在第三象限時,點B'的坐標為(-9,-2),
∴點B'的坐標為(-9,-2)或(3,2).
提升能力

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