資源簡介

(共27張PPT)
27.2.3 相似三角形應用舉例
熟練掌握利用相似三角形解決測量高度、距離等實際問題的方法，如通過構建相似三角形模型，利用對應邊成比例來計算未知量.
學會識別實際場景中與相似三角形相關的幾何關系，準確找出相似三角形的對應邊與對應角.
通過對實際問題的分析、抽象和解決，培養學生將實際問題轉化為數學問題的思維能力，提高學生建立數學模型的能力.
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【重點】掌握運用相似三角形的性質和判定定理，來解決不能直接測量物體的長度、高度及兩物之間距離等實際問題.
【難點】學會根據不同的實際場景和已知條件，巧妙地構造相似三角形.
小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為16 m(如圖)，然后在A處樹立一根高3 cm的標桿，測得標桿的影長AC為4 cm，樓高為________m.
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小明是怎樣測出樓高的？
小星和你去埃及風情公園研學.在只有小鏡子、標桿、皮尺等基本測量工具的情況下，你知道怎樣測量“金字塔”的高度和“尼羅河”的寬度嗎？
據傳說，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.試著用他的方法測量公園里的“金字塔”.
知識點一：利用相似三角形測量高度
例4 如圖，木桿 EF 長 2m，它的影長 FD 為 3m，測得 OA 為 201m，求金字塔的高度 BO.
解：∵太陽光是平行的光線，因此 ∠BAO =∠EDF.
又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽ △DEF.
∴ ，
= 134 (m).
∴
因此金字塔的高度為 134m.
表達式：物1高 : 物2高 = 影1長 : 影2長
測高方法一：
測量不能到達頂部的物體的高度，可以用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決.
要點歸納
思考：
還可以有其他測量方法嗎？
A
F
E
B
O
┐
┐
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面鏡
C
入射光線
反射光線
∠EAC=∠BAC
∠EAF=∠BAO
∠EFA=∠BOA
入射角=反射角
測高方法二：
測量不能到達頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.
注：“在同一時刻物高與影長成正比例”和“利用鏡子的反射測量高度”這兩種方法都用到相似三角形的性質測量高度
表達式：物1高 : 物2高 = 物1鏡距 : 物2鏡距
要點歸納
1、在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一根旗桿的影長為25m，那么這根旗桿的高度為（　　）
A．10m B．12m C．15m D．40m
C
2、如圖所示，某校數學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高為1.5m，測得AB＝3m，BC＝7m，則建筑物CD的高是（　　）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m
D
基礎練習
小星從“金字塔”跨過“尼羅河”到對岸，他想通過手里的工具測量“尼羅河”的寬度，你能幫幫他嗎？
知識點二：利用相似三角形測量寬度
例5 如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點 P，在近岸取點 Q 和 S，使點 P，Q，S 共線且直線 PS 與河垂直，接著在過點 S 且與 PS 垂直的直線 a 上選擇適當的點 T，確定 PT 與過點 Q 且垂直 PS 的直線 b 的交點 R. 已知測得 QS = 45m，ST = 90m，QR = 60m，
請根據這些數據，計算河寬 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
PQ × 90 = (PQ + 45) × 60.
解得 PQ = 90.
因此，河寬大約為 90m.
P
R
Q
S
b
T
a
∴ ，
解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P，
∴△PQR∽△PST.
即 ，
45m
90m
60m
還有其他構造相似三角形求河寬的方法嗎？
如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點 A，再在河的這一邊選點 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再選點 E，使 EC ⊥ BC ，用視線確定 BC 和 AE 的交點 D．
此時如果測得 BD = 80m，DC = 30m，EC = 24m，求兩岸間的大致距離 AB．
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
解：∵ ∠ADB = ∠EDC，
∠ABC = ∠ECD = 90°，
∴ △ABD ∽ △ECD.
∴ ，即 ，
解得 AB = 64.
因此，兩岸間的大致距離為 64m.
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構造相似三角形求解.
要點歸納
3.如圖，這條河的兩岸是平行的，小麗站在離南岸20米（即PE=20米）的P點處懶北岸，小軍、小強站在南岸邊，調整小軍、小強兩人的位置，當小軍、小強兩人分別站在C、D兩點處時，小麗發現河北岸邊的兩根電線桿恰好被小軍、小強遮擋（即A、C、P三點共線，B、D、P三點共線）．已知電線桿AB之間的距離為75米，小軍、小強兩人之間的距離CD為30米，求這條河的寬度．
基礎練習
解：延長PE與AB交于點F，如解圖所示．
∵PE⊥CD，AB∥CD，∴PF⊥AB
依題意，CD=30米，AB=75米
設這條河的寬度為x.
∵AB∥CD，∴△PBA~△PDC
∴
即
解得x=30
F
小星在公園步行穿過一片樹林，細心地小星發現自己站在不同位置看同一列的樹，有時候能看到第二棵樹的頂端，有時候不能，這是怎么回事？
知識點三：利用相似解決有遮擋物問題
例6 如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，兩樹底部的距離 BD = 5 m，小星估計自己眼睛距離地面 1.6 m，她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路 l 從左向右前進，當她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就看不到右邊較高的樹的頂端C 了
分析：如圖，設觀察者眼睛的位置 (視點) 為點 F，畫出觀察者的水平視線 FG，它交 AB，CD 于點 H，K.視線 FA，FG 的夾角 ∠AFH 是觀察點 A 的仰角. 類似地，∠CFK 是觀察點 C 時的仰角，由于樹的遮擋，區域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區域 (盲區) 之內. 再往前走就根本看不到 C 點了.
由此可知，如果觀察者繼續前進，當她與左邊的樹的距離小于 8m 時，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端 C .
解：如圖，假設觀察者從左向右走到點 E 時，她的眼 睛的位置點 E 與兩棵樹的頂端點 A，C 恰在一條 直線上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH ∽ △CEK.
∴ ，
即
解得 EH = 8.
4. 小明身高 1.5 米，在操場的影長為 2 米，同時測得教學大樓的影長為 60 米，則教學大樓的高度應為 ( )
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
5. 小剛身高 1.7 m，測得他站立在陽光下的影子長為0.85 m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為 1.1 m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂( )
A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m
A
A
基礎練習
利用相似三角形測量寬度
表達式：物1高 : 物2高 = 物1鏡距 : 物2鏡距
利用相似解決有遮擋物問題
利用相似三角形測量高度
表達式：物1高 : 物2高 = 影1長 : 影2長
相似三角形
應用舉例
1. 為了測量山坡的護坡石壩高，把一根長為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出竿上AD長為1m時，它離地面的高度DE為0.6m，則壩高CF為多少m．
解：由題意，得CF⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CF
∵AC＝4.5m，
∴△AED∽△AFC，∴
解得CF＝2.7
∴壩高CF為2.7m
查漏補缺
2.如圖，為了測量一棵樹CD的高度，測量者在B處立了一根高為2.5m的標桿，觀測者從E處可以看到桿頂A，樹頂C在同一條直線上，若測得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，則樹高為多少m？
H
G
解：如圖，作EH⊥CD于H，交AB于G，
則GH=BD=7m，EG=BF=3m，GB=HD=EF=1.6m，
∴AG＝2.5﹣1.6＝0.9（m）
∵AG∥CH，∴△EAG∽△EHC
∴，∴
解得CH=3
∴CD=3+1.6=4.6（m）
∴樹高為4.6m
查漏補缺

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