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(共23張PPT)
27.2.2 相似三角形的性質
理解相似三角形對應高、對應中線、對應角平分線的比等于相似比.
掌握相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
能夠運用相似三角形性質進行簡單的計算與證明.
經歷相似三角形性質的探索過程，體會從特殊到一般、類比等數學思想方法.
1
2
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4
重點：熟練運用相似三角形的性質解決簡單的數學問題.
難點：在復雜的幾何圖形中，準確識別相似三角形，并巧妙運用其性質解決問題.
全等三角形有哪些性質？
①全等三角形對應角相等、對應邊相等；
②全等三角形對應邊的高、中線、角平分線分別相等；
（全等三角形的對應線段相等）
③全等三角形的周長相等；
④全等三角形面積相等；
如圖，小王依據圖紙上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的房梁△ A′B′C′，CD和C′D′分別是它們的立柱.
（1）△ ACD和△ A′ C′D′相似嗎？為什么？如果相似，指出它們的相似比.
（2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？
相似；三邊對應成比例；相似比為1:2.
3cm
如圖，△ABC ∽△A′B′C′，相似比為 k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
知識點一：相似三角形對應線段的比
∴△ABD ∽ △A' B' D'
∴
解：如圖，分別作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A'D'
則∠ADB =∠A' D' B' = 90°
∵△ABC ∽ △A′B′C′
∴∠B =∠B'
A
B
A'
B'
D'
D
C'
C
兩角對應相等的兩個三角形相似
結論：相似三角形對應高的比等于相似比
解：如圖，分別作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分線
AD 和 A'D'，則∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∴∠B=∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D'
∴
兩角對應相等的兩個三角形相似
結論：相似三角形對應角平分線的比等于相似比
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
解：如圖，分別作出 △ABC 和△ A′B′C′的中線 AD 和 A'D'，
則
∵△ABC ∽△A′B′C′
∴∠B =∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D'
∴
兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似
結論：相似三角形對應中線的比等于相似比
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
A'
B'
A
B
C
D'
D
F
F'
E
E'
符號語言
相似三角形對應高的比，對應角平分線的比，對應中線的比都相等，且都等于相似比.
∵△ABC∽△ A′B′C′ ，相似比是 k
且 AD、A′D′是對應邊的高線，
應BF、B′F′是對應邊的中線，
CE、C′E′是對角的角平分線，
∴
C'
要點歸納
1. 如果兩個相似三角形的對應角平分線的比為 4 : 7，那么對應高的比是 ，對應邊上的中線的比是______.
2. △ABC 與 △DEF 的相似比為2: 3，若 BC 邊上的高12 cm，則 EF邊上的高 ＝_______ .
4∶7
4∶7
18 cm
基礎練習
相似三角形的周長有什么關系呢？
解：如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比為 k，那么
因此
AB = kA'B'，BC = kB'C'，CA = kC'A'，
從而
A
B
C
A'
B'
C'
結論：相似三角形周長的比等于相似比
知識點二：相似三角形周長的比
3．如圖，在 ABCD中，E是AD邊上的中點，連接BE，并延長BE交CD延長線于點F，則△EDF與△BCF的周長之比是（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
A
基礎練習
知識點三：相似三角形面積的比
相似三角形面積的比與相似比有什么關系？
如圖，△ABC ∽△A′B′C′，相似比為 k，它們的面積比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
A'
B'
D'
D
C'
C
由前面的結論，得
結論：相似三角形面積的比等于相似比的平方
作三角形的高
例3.如圖，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE ，AC = 2DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的邊 BC 上的高為 6，面積為 ，求 △DEF 的邊 EF 上的高和面積.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB = 2DE，AC = 2DF，
又 ∵∠D =∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比為
∵△ABC 的邊 BC 上的高為 6，面積為 ，
∴△DEF 的邊 EF 上的高為 ×6 = 3，
面積為
∴
兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似
4. 如果一個三角形邊長擴大為原來的 3 倍，那么面積擴大為原來的______倍；
5. 如果一個三角形面積擴大為原來的 64 倍，那么邊長擴大為原來的______倍.
9
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基礎練習
相似三角形的性質
對應線段
周長
面積
等于相似比
對應高的比
對應中線的比
對應角平分線的比
周長的比等于相似比
面積的比等于相似比的平方
1.如圖，D是△ABC中AB邊上的一點，過點D作DE∥BC交AC于E，已知AD：DB＝2：3，則
=（　　）
A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．4：25
D
2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于點D．則△BCD與△ABC的周長之比為（ ）．
A．2∶1 B．1∶2 C．1∶ D. ∶2
B
查漏補缺
3.兩個相似三角形的對應邊上的高之比是3:5,，周長之和是136，那么這倆個三角形的周長分別是多少？
解：∵兩個相似三角形的對應邊上的高之比是3 ：5，
∴這兩個三角形周長比為：3：5．
又∵周長之和是136
∴這兩個三角形周長分別為：，.
查漏補缺
4．如圖，在△ABC中，點D是AB上一點，且∠A＝∠BCD，
，CD＝4，則AC長為多少？

解：∵S△ADC：S△CBD＝5：4，
∴S△CDB：S△ACB＝4：9，
∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴
∴
∴AC＝6
提升能力
5. 如圖，AB∥CD，AO∶AD＝2∶5.若△AOB的周長為12，求△COD的周長．
解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，
∴.
∵，∴，
∴，
故△COD的周長為18.
提升能力

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