資源簡介

第一章 數與式
第04講 二次根式
中考考點 考查頻率 新課標要求
二次根式的相關概念 ★★ 了解二次根式、最簡二次根式的概念
二次根式的性質 ★★ 掌握二次根式的性質
二次根式的運算 ★★ 了解二次根式（根號下僅限于數）加，減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算
【考情分析】中考中，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現，而化簡計算則多以解答題形式考察．此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題．
考點一 二次根式的相關概念
1．二次根式
二次根式的定義：一般地，我們把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，a叫做被開方數．
【易錯易混】
1）二次根式的兩個要素（判斷依據）：含有二次根號“”，且根指數為2；被開方數為非負數；
2）二次根式定義中規定，任何非負數的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，如：，-都是二次根式；
3）二次根式的被開方數a可以是一個數，也可以是一個式子，但都要滿足 ≥0；
4）在具體問題中，如果已知是二次根式，相當于給出了 ≥0．
2．二次根式有意義的條件
1）單個二次根式，如有意義的條件是 ≥0；
2）二次根式作為分母時，如有意義的條件是 >0；
3）二次根式與分式相加，如有意義的條件是 ≥0且b＞0．
（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）
1．在函數中，自變量的取值范圍是 ．
（2023·四川綿陽·中考真題）
2．使代數式有意義的整數有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
考點二 二次根式的性質與化簡
二次根式的性質
1）式子（ ≥0）既表示二次根式，又表示非負數a的算術平方根（），所以具有雙重非負性；
2），即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身；3），即一個數平方的算術平方根等于它本身的絕對值．
二次根式的化簡
二次根式的化簡：1）利用二次根式的基本性質進行化簡；
2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡．
，
【易錯易混】
1．在使用 = 時一定要注意
2．在使用（a≥0，b＞0）時一定要注意
（2024·內蒙古包頭·中考真題）
3．計算所得結果是（ ）
A．3 B． C． D．
（2024·四川樂山·中考真題）
4．已知，化簡的結果為（ ）
A． B．1 C． D．
（2023·廣東廣州·中考真題）
5．已知關于x的方程有兩個實數根，則的化簡結果是（ ）
A． B．1 C． D．
（2022·山東聊城·中考真題）
6．射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式進行計算，其中為子彈的加速度，為槍筒的長．如果，，那么子彈射出槍口時的速度（用科學記數法表示）為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·湖北黃岡·中考真題）
7．請寫出一個正整數m的值使得是整數； ．
考點三 二次根式的運算
1．二次根式的乘法
乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變．即：
2．二次根式的除法
除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變．即：
3．最簡二次根式
定義：1）被開方數不含分母；2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，把滿足上述兩個條件的二次根數，叫做最簡二次根式．例：都是最簡二次根式．
最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：
①開方數所含因數是整數或字母，因式是整式（分母中不應含有根號）；
②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，即被開方數的因數或因式的指數都為1．
4．二次根式的加減
同類二次根式：把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．
【補充】幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數可以完全互不相同，如：、、是同類二次根式．
二次根式的加減：一般地，二次根式加減時，先把各個二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式合并．
【口訣】一化、二找、三合并．
5．二次根式的混合運算
內容：二次根式的混合運算指的是二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運算．
運算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號要先算括號里面的．
易錯易混
1）結果要化為最簡二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件．
6．分母有理化
分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程．
【分母有理化方法】
1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分．即：
2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分．
即：；
（2024·山東濟寧·中考真題）
8．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·重慶·中考真題）
9．估計的值應在（　　）
A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間
（2023·湖南·中考真題）
10．對于二次根式的乘法運算，一般地，有．該運算法則成立的條件是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東濰坊·中考真題）
11．從、，中任意選擇兩個數，分別填在算式里面的“□”與“○”中，計算該算式的結果是 ．（只需寫出一種結果）
（2024·四川遂寧·中考真題）
12．計算：．
命題點一 二次根式的性質與化簡
題型01 二次根式有意義的條件
1）如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數都必須是非負數．
2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零．
（2023·內蒙古通遼·中考真題）
13．二次根式在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍在數軸上表示為（ ）
A． B． C． D．
（2023·內蒙古呼和浩特·中考真題）
14．若代數式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2024·上海·中考真題）
15．已知，則 ．
（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）
16．在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
題型02 與二次根式有關的開放性試題
（2023·四川綿陽·中考真題）
17．使代數式有意義的整數有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
（2022·四川南充·中考真題）
18．若為整數，x為正整數，則x的值是 ．
（2023·湖南永州·中考真題）
19．已知x為正整數，寫出一個使在實數的范圍內沒有意義的x值是 ．
（2023·湖北黃岡·中考真題）
20．請寫出一個正整數m的值使得是整數； ．
題型03 利用二次根式的性質化簡
1）利用二次根式性質化簡時，如果題目中對根號內的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現出來，在允許的取值范圍內進行化簡．
2）化簡后的最后結果應為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．
（2020·湖北武漢·中考真題）
21．化簡二次根式的結果等于 ．
（2023·湖北宜昌·中考真題）
22．下列運算正確的個數是（ ）．
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
（2023·四川涼山·中考真題）
23．計算 ．
（2022·四川宜賓·中考真題）
24．《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現有周長為18的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為 ．
題型04 二次根式與數軸
（2023·內蒙古·中考真題）
25．實數在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡： ．
（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）
26．實數在數軸上的對應位置如圖所示，則的化簡結果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
（2024武威四中二模）
27．實數在數軸上對應的點的位置如圖所示，則化簡后為（ ）
A． B． C． D．
（2022·四川遂寧·中考真題）
28．實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡 ．
命題點二 二次根式的運算
題型01 應用乘法公式求二次根式的值
1）
2）
（2024·天津·中考真題）
29．計算的結果為 ．
（2023·內蒙古·中考真題）
30．先化簡，再求值：，其中，．
（2023·山東淄博·中考真題）
31．先化簡，再求值：，其中，．
（2023·湖南張家界·中考真題）
32．閱讀下面材料：
將邊長分別為a，，，的正方形面積分別記為，，，．
則
例如：當，時，
根據以上材料解答下列問題：
(1)當，時，______，______；
(2)當，時，把邊長為的正方形面積記作，其中n是正整數，從（1）中的計算結果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；
(3)當，時，令，，，…，，且，求T的值．
題型02 最簡二次公式的判斷
最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：
①開方數所含因數是整數或字母，因式是整式（分母中不應含有根號）；
②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，即被開方數的因數或因式的指數都為1．
[補充]
①不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有2，3，5，a（a≥0），x+y等；
②含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有等．
（2021·湖南益陽·中考真題）
33．將化為最簡二次根式，其結果是（ ）
A． B． C． D．
（2021·廣西桂林·中考真題）
34．下列根式中，是最簡二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
（2021·上海·中考真題）
35．下列實數中，有理數是（ ）
A． B． C． D．
（2022·廣西桂林·中考真題）
36．化簡的結果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
題型03 分母有理化
【分母有理化方法】
1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分．即：
2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分．
即：；
（2024·江蘇宿遷·中考真題）
37．先化簡再求值：，其中．
（2023·湖北恩施·中考真題）
38．先化簡，再求值：，其中．
（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）
39．先化簡，再求代數式的值，其中．
題型04 二次根式的混合運算
運算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號要先算括號里面的．
【補充】1）在二次根式的混合運算中，乘方公式和實數的運算律仍然適用；
2）在二次根式混合運算中，要結合題目特點，靈活運用二次根式的性質．
二次根式運算時的注意事項：
1）結果要化為最簡二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件．
（2023·甘肅武威·中考真題）
40．計算：．
（2023·四川內江·中考真題）
41．計算：
（2024·上海·中考真題）
42．計算：．
（2024·四川涼山·中考真題）
43．計算：．
題型05 二次根式估值
（23-24八年級下·山西呂梁·階段練習）
44．關于，下列說法不正確的是（ ）
A．是無理數 B．能與合并
C．整數部分是4 D．一定能夠在數軸上找到表示的點
（2024·江蘇鹽城·中考真題）
45．矩形相鄰兩邊長分別為、，設其面積為，則S在哪兩個連續整數之間（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
（2024·河北石家莊·三模）
46．計算的結果為 ，這個數落在了數軸上的 段．
（2023·湖北荊州·中考真題）
47．已知，則與最接近的整數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2022·湖北荊州·中考真題）
48．若的整數部分為a，小數部分為b，則代數式的值是 ．
題型06 與二次根式有關的新定義問題
（2023·湖南婁底·一模）
49．定義一種運算：，例如：當，時，，則的值為(　　)
A． B． C． D．
（2020·青海·中考真題）
50．對于任意不相等的兩個數，定義一種運算※如下：，如．那么 ．
（2020·內蒙古通遼·中考真題）
51．用※定義一種新運算：對于任意實數m和n，規定，如：．
（1）求；
（2）若，求m的取值范圍，并在所給的數軸上表示出解集．
（2024·廣東·模擬預測）
52．【代數推理】代數推理指從一定條件出發，依據代數的定義、公式、運算法則、等式的性質、不等式的性質等證明已知結果或結論．
【發現問題】小明在計算時發現：對于任意兩個連續的正整數m、n，它們的乘積 與較大數的和一定為較大數的平方．
（1）舉例驗證：當 則
（2）推理證明：小明同學做了如下的證明：
設， m、n是連續的正整數，
∴； ∵， ∴．
∴一定是正數n的平方數．
【類比猜想】小紅同學提出：任意兩個連續正整數的乘積與較小數的差是較小數的平方．
請你舉例驗證及推理證明；
【深入思考】若 （m， n為兩個連續奇數， 求證：p一定是偶數．
題型07 與二次根式有關的規律探究
（2024·四川德陽·中考真題）
53．將一組數，按以下方式進行排列：
則第八行左起第1個數是（ ）
A． B． C． D．
（2023·內蒙古·中考真題）
54．觀察下列各式：
，，，…
請利用你所發現的規律，計算： ．
（2022·四川眉山·中考真題）
55．將一組數，2，，，…，，按下列方式進行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置記為，的位置記為，則的位置記為 ．
（2022·四川達州·中考真題）
56．人們把這個數叫做黃金比，著名數學家華羅庚優選法中的“0.618法”就應用了黃金比．設，，記，，…，，則 ．
（2024·江蘇鹽城·中考真題）
57．發現問題
小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．
提出問題
銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？
分析問題
某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，，），如圖1所示．
小明設計了如下三種鏟籽方案．
方案1：圖1是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案2：圖2是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案3：圖3是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．
解決問題
在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．
題型08 二次根式的應用
（2022·湖南常德·中考真題）
58．我們發現：，，，…，，一般地，對于正整數，，如果滿足時，稱為一組完美方根數對．如上面是一組完美方根數對．則下面4個結論：①是完美方根數對；②是完美方根數對；③若是完美方根數對，則；④若是完美方根數對，則點在拋物線上．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
（2024·山東菏澤·一模）
59．已知為整數，將其除以4所得的商記為，余數記為，即（n是整數），我們稱屬于數組，記作，則下列說法正確的是 ．（直接填寫序號）
①；
②若為4的倍數，則點到點的距離的最小值為；
③所有整數組成的數組；
④若，則，屬于同一個數組．
（2024·江蘇南京·二模）
60．（n為正整數）的近似值可以這樣估算：，其中m是最接近n的完全平方數．例如：，這與科學計算器計算的結果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估計的近似值（精確到0.1）；
(2)結合圖中思路，解釋該方法的合理性．
（2024·廣東中山·三模）
61．下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成任務．
用均值不等式求最值
若實數，則有，當且僅當時，取等號，我們稱不等式為均值不等式．
證明：
由上可知，①當為定值的時候，有最大值；
②當為定值的時候，有最小值．
所以，利用均值不等式可以求一些函數的最值．
例：已知，求函數的最小值．
解：
，當且僅當，即時，等號成立
當即時，函數取最小值，最小值為2．
任務：
(1)若，則當_____時，代數式取最小值，最小值為______；
(2)已知若，函數，試說明當取何值時，取得最小值，并求出的最小值；
(3)如圖，已知點是反比例函數圖象上一動點，點，則的面積的最小值為______．
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參考答案：
1．且
【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
解得且，
故答案為：且．
2．B
【分析】根據組合代數式有意義的條件，分別根據分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，列不等式求解即可．
【詳解】解：根據題意可得：
，
解得，
∴使代數式有意義的整數有，，0，1．
共有4個．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了代數式有意義的條件，關鍵是利用分式的分母不為零和二次根式的被開方數為非負數，列不等式（組）求解，是常考題型，比較簡單．
3．C
【分析】本題考查化簡二次根式，根據二次根式的性質，化簡即可．
【詳解】解：；
故選C．
4．B
【分析】本題考查了二次根式的性質，去絕對值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先根據化簡二次根式，然后再根據去絕對值即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
5．A
【分析】首先根據關于x的方程有兩個實數根，得判別式，由此可得，據此可對進行化簡．
【詳解】解：∵關于x的方程有兩個實數根，
∴判別式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關鍵．
6．D
【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式，再根據二次根式的性質化簡即可．
【詳解】解：，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡以及科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
7．8
【分析】要使是整數，則要是完全平方數，據此求解即可
【詳解】解：∵是整數，
∴要是完全平方數，
∴正整數m的值可以為8，即，即，
故答案為：8（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到要是完全平方數是解題的關鍵．
8．B
【分析】此題考查二次根式的運算法則，根據二次根式的加法法則對A進行判斷；根據二次根式的乘法法則對B進行判斷；根據二次根式的除法法則對C進行判斷；根據二次根式的性質對D進行判斷．
【詳解】A. 不能合并，所以A選項錯誤；
B. ，所以B選項正確；
C. ，所以C選項錯誤；
D. ，所以D選項錯誤．
故選：B．
9．C
【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，無理數的估算，先計算二次根式的乘法運算，再估算即可．
【詳解】解：∵，
而，
∴，
故答案為：C
10．D
【分析】根據二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結果．
【詳解】解：根據二次根式有意義的條件，得，
，
故選：D．
【點睛】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數為非負數是本題的關鍵．
11．（或或，寫出一種結果即可）
【分析】先利用完全平方公式計算二次根式的乘法，再計算二次根式的除法即可得．
【詳解】解：①選擇和，
則
．
②選擇和，
則
．
③選擇和，
則
．
故答案為：（或或，寫出一種結果即可）．
【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關鍵．
12．
【分析】此題主要考查了實數運算及二次根式的運算，直接利用負整數指數冪的性質、特殊角的三角函數值、絕對值的性質、算術平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數是解題關鍵．
【詳解】解：
．
13．C
【分析】根據被開方數大于等于0列不等式計算即可得到x的取值范圍，然后在數軸上表示即可得解．
【詳解】解：根據題意得，，
解得，
在數軸上表示如下：

故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數軸上表示不等式的解集，理解二次根式有意義的條件是解題關鍵．
14．B
【分析】根據二次根式和分式有意義的條件即可求得答案．
【詳解】解：由題意可得，
解得：，
故選：B．
【點睛】本題考查二次根式及分式有意義的條件，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
15．1
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數是非負數是解題的關鍵．由二次根式被開方數大于0可知，則可得出，求出x即可．
【詳解】解：根據題意可知：，
∴，
解得：，
故答案為：1．
16．且
【分析】根據分式有意義的條件，二次根式有意義的條件得出，即可求解．
【詳解】解：依題意，
∴且，
故答案為：且．
【點睛】本題考查了求函數自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解題的關鍵．
17．B
【分析】根據組合代數式有意義的條件，分別根據分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，列不等式求解即可．
【詳解】解：根據題意可得：
，
解得，
∴使代數式有意義的整數有，，0，1．
共有4個．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了代數式有意義的條件，關鍵是利用分式的分母不為零和二次根式的被開方數為非負數，列不等式（組）求解，是常考題型，比較簡單．
18．4或7或8
【分析】根據根號下的數大于等于0和x為正整數，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根據為整數即可得的值．
【詳解】解：∵
∴
∵為正整數
∴可以為1、2、3、4、5、6、7、8
∵為整數
∴為4或7或8
故答案為：4或7或8．
【點睛】本題考查了利用二次根式的性質化簡、解一元一次不等式等知識點，掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．
19．1（答案不唯一）
【分析】根據二次根式有意義的條件，可得當時，沒有意義，解不等式，即可解答．
【詳解】解：當時，沒有意義，
解得，
為正整數，
可取1，2，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知根號下的式子小于零時，二次根式無意義，是解題的關鍵．
20．8
【分析】要使是整數，則要是完全平方數，據此求解即可
【詳解】解：∵是整數，
∴要是完全平方數，
∴正整數m的值可以為8，即，即，
故答案為：8（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到要是完全平方數是解題的關鍵．
21．3
【分析】本題主要考查了化簡二次根式，根據進行求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：3．
22．A
【分析】根據，，、，進行逐一計算即可．
【詳解】解：①，，故此項正確；
②，，故此項正確；
③，此項正確；
④，故此項正確；
正確的個數是個．
故選：A．
【點睛】本題考查了實數的運算，掌握相關的公式是解題的關鍵．
23．
【分析】根據零指數冪、二次根式的性質進行計算即可．
【詳解】
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了實數的混合運算，二次根式的性質等知識，掌握任何一個不為零的數的零次冪都是1是解題的關鍵．
24．
【分析】根據周長為18的三角形的三邊滿足，求得，代入公式即可求解．
【詳解】解：∵周長為18的三角形的三邊滿足，設
∴
解得
故答案為：
【點睛】本題考查了化簡二次根式，正確的計算是解題的關鍵．
25．##
【分析】利用二次根式的性質和絕對值的性質，即可求解．
【詳解】由數軸位置可知，
．
【點睛】本題考查二次根式化簡運算，掌握二次根式的性質是關鍵．
26．A
【分析】本題考查了實數與數軸的關系，二次根式的性質和絕對值的化簡法則，根據數軸可得，，，再利用二次根式的性質和絕對值的化簡法則，化簡計算即可．
【詳解】解∶由數軸知∶，，
∴，
∴
，
故選：A．
27．D
【分析】由數軸可知，，可得，，再化簡即可．
【詳解】由數軸可知，
∴，
∴
故選：D．
【點睛】本題考查實數與數軸，熟練掌握數軸上點的特征，二次根式的性質是解題的關鍵．
28．2
【分析】利用數軸可得出，進而化簡求出答案．
【詳解】解：由數軸可得：，
則
∴
=
=
=
=2．
故答案為：2．
【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確得出a，b的取值范圍是解題關鍵．
29．
【分析】利用平方差公式計算后再加減即可．
【詳解】解：原式．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則及平方差公式是解題的關鍵．
30．，45
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多項式乘以多項式計算整式的乘法，再合并同類項即可．
【詳解】原式
．
當，時
原式．
【點睛】本題考查的是整式的化簡求值，同時考查了二次根式的混合運算，掌握完全平方公式與平方差公式進行簡便運算是解題的關鍵．
31． ；
【分析】直接利用整式的混合運算法則化簡進而合并得出答案．
【詳解】原式
,
當 時,
原式 ．
【點睛】此題主要考查了整式的混合運算二次根式的運算，正確合并同類項是解題關鍵．
32．(1)，
(2)猜想結論：，證明見解析
(3)
【分析】（1）根據題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；
（2）根據題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；
（3）結合題意利用（2）中結論求解即可．
【詳解】（1）解：
當，時，
原式；
當，時，
原式；
（2）猜想結論：
證明：
；
（3）
．
【點睛】題目主要考查利用完全平方公式進行計算，理解題意，得出相應規律是解題關鍵．
33．D
【分析】根據二次根式的化簡方法即可得．
【詳解】解：原式，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握化簡方法是解題關鍵．
34．D
【分析】要選擇屬于最簡二次根式的答案，就是要求知道什么是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數是整數或整式；2、被開方數不能再開方．由被選答案可以用排除法可以得出正確答案．
【詳解】A、被開方數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B、是有理數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
C、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D、符合最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，故本選項正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了滿足是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數是整數或整式；2、被開方數不能再開方．
35．C
【分析】先化簡二次根式，再根據有理數的定義選擇即可
【詳解】解：
A、∵是無理數，故是無理數
B、∵是無理數，故是無理數
C、為有理數
D、∵是無理數，故是無理數
故選：C
【點睛】本題考查二次根式的化簡、無理數的定義、有理數的定義、熟練掌握有理數的定義是關鍵
36．A
【分析】將被開方數12寫成平方數4與3的乘積，再將4開出來為2，易知化簡結果為2．
【詳解】解：＝2，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，關鍵在于被開方數要寫成平方數乘積的形式再進行化簡．
37．，
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先對括號里面的通分，再利用平方差公式展開，最后約分，然后再代入x的值代入計算，并利用二次根式的性質化簡．
【詳解】解：
，
當時，原式．
38．，
【分析】先把括號內的分式進行通分，再將除法變為乘法化簡，最后代入x的值計算即可．
【詳解】解：原式
當時,
原式．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值和二次根式的混合運算，正確化簡分式是解題的關鍵．
39．，
【分析】先根據分式混合運算法則代簡，再將代入代簡式計算即可．
【詳解】解：
，
當時，
原式．
【點睛】本題考查分式化簡求值，特殊角的三角函數值，分母有理化，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵．
40．
【分析】利用二次根式的混合運算法則計算即可．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解答本題的關鍵．
41．4
【分析】根據有理數乘方、特殊角三角函數值、負整數指數冪、零指數冪結合二次根式的混合運算法則進行計算即可．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查了有理數乘方、特殊角三角函數值、負整數指數冪、零指數冪以及二次根式的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解本題的關鍵．
42．
【分析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數冪等，掌握化簡法則是解題的關鍵．先化簡絕對值，二次根式，零指數冪，再根據實數的運算法則進行計算．
【詳解】解：
．
43．2
【分析】本題考查了實數的混合運算．分別進行零指數冪、負整數指數冪、二次根式及絕對值的運算，然后代入特殊角的三角函數值代入運算即可．
【詳解】解：
．
44．C
【分析】此題考查了二次根式、無理數、實數與數軸，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：A. 是無理數，說法正確，不符合題意；
B. ，能與合并，說法正確，不符合題意；
C. ，即，整數部分是5，說法錯誤，符合題意；
D. 一定能夠在數軸上找到表示的點，說法正確，不符合題意；
故選C．
45．C
【分析】本題主要考查無理數的估算，二次根式的乘法，先計算出矩形的面積，再利用放縮法估算無理數大小即可．
【詳解】解：，
，
，
，
即S在3和4之 間，
故選：C．
46． ②
【分析】本題考查了二次根式的乘法、無理數的估算、實數與數軸，先根據二次根式的乘法求出式子的值，再估算出，從而得出，即可得解．
【詳解】解：，
∵，
∴，即，
∴，即，故這個數落在了數軸上的②段，
故答案為：，② ．
47．B
【分析】根據二次根式的混合運算進行計算，進而估算無理數的大小即可求解．
【詳解】解：
∵，
∴,
∴與最接近的整數為，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，無理數的估算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．
48．2
【分析】先由得到，進而得出a和b，代入求解即可．
【詳解】解：∵ ，
∴，
∵ 的整數部分為a，小數部分為b，
∴，．
∴，
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查無理數及代數式化簡求值，解決本題的關鍵是要熟練掌握無理數估算方法和無理數整數和小數部分的求解方法．
49．B
【分析】根據，可以計算出的值．
【詳解】解：由題意可得，
，
故選：B．
【點睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定義解答．
50．##
【分析】本題考查了新定義運算、二次根式的混合運算，根據新定義結合二次根式的混合運算計算即可得出答案．
【詳解】解：，
，
故答案為：．
51．(1)；(2)，圖見解析
【分析】（1）根據新定義規定的運算法則列式，再由有理數的運算法則計算可得；
（2）根據新定義列出關于x的不等式，解不等式即可得．
【詳解】解：（1）=
=
=
（2）∵，
∴
解得：
將解集表示在數軸上如下：
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合運算，解題的關鍵是根據新定義列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步驟
52．見解析
【分析】本題考查完全平方公式的應用，二次根式化簡；
類比猜想：參考發現問題的舉例和推理過程計算即可；
深入思考：由m， n為兩個連續奇數， ，可得，，然后代入計算即可．
【詳解】解：類比猜想：（1）舉例驗證：當 則
（2）推理證明：小明同學做了如下的證明：
設， m、n是連續的正整數，
∴；
∵，
∴．
∴一定是正數的平方數．
深入思考：∵m， n為兩個連續奇數，，
∴，
∴，
∴，
∴p一定是偶數．
53．C
【分析】本題考查了數字類規律探索，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．求出第七行共有28個數，從而可得第八行左起第1個數是第29個數，據此求解即可得．
【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數，第二行共有2個數，第三行共有3個數，
歸納類推得：第七行共有個數，
則第八行左起第1個數是，
故選：C．
54．##
【分析】直接根據已知數據變化規律進而將原式變形求出答案．
【詳解】
，
故答案為：．
【點睛】本題考查數字變化規律，正確將原式變形是解題的關鍵．
55．
【分析】先找出被開方數的規律，然后再求得的位置即可．
【詳解】數字可以化成：
，，，；
，，，；
∴規律為：被開數為從2開始的偶數，每一行4個數，
∵，28是第14個偶數，而
∴的位置記為
故答案為：
【點睛】本題考查了類比點的坐標解決實際問題的能力和閱讀理解能力．被開方數全部統一是關鍵．
56．5050
【分析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100， ，利用規律求解即可．
【詳解】解：，，
，
，
，
…，
故答案為：5050
【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，求得，找出的規律是本題的關鍵．
57．分析問題：方案1：；；；方案2：；方案3：；解決問題：方案3路徑最短，理由見解析
【分析】分析問題：方案1：根據題意列出代數式即可求解；方案2：根據題意列出代數式即可求解；方案3：根據圖得出斜著鏟每兩個點之間的距離為，根據題意得一共有列，行，斜著鏟相當于有n條線段長，同時有個，即可得出總路徑長；
解決問題：利用作差法比較三種方案即可．
題目主要考查列代數式，整式的加減運算，二次根式的應用，理解題意是解題關鍵．
【詳解】解：方案1：根據題意每行有n個籽，行上相鄰兩籽的間距為d，
∴每行鏟的路徑長為，
∵每列有k個籽，呈交錯規律排列，
∴相當于有行，
∴鏟除全部籽的路徑總長為，
故答案為：；；；
方案2：根據題意每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d，
∴每列鏟的路徑長為，
∵每行有n個籽，呈交錯規律排列，，
∴相當于有列，
∴鏟除全部籽的路徑總長為，
故答案為：；
方案3：由圖得斜著鏟每兩個點之間的距離為，
根據題意得一共有列，行，
斜著鏟相當于有n條線段長，同時有個，
∴鏟除全部籽的路徑總長為：；
解決問題
由上得：，
∴方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；
，
∵，
當時，
，
，
∴方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗．
58．C
【分析】根據定義逐項分析判斷即可．
【詳解】解：，
是完美方根數對；
故①正確；
不是完美方根數對；
故②不正確；
若是完美方根數對，則
即
解得或
是正整數
則
故③正確；
若是完美方根數對，則
,
即
故④正確
故選C
【點睛】本題考查了求算術平方根，解一元二次方程，二次函數的定義，理解定義是解題的關鍵．
59．②④
【分析】本題主要考查新定義問題，考查了學生的理解能力和推理能力，理解定義式解題的關鍵．
①根據數組的定義可判斷；
②根據定義可知，點A在上，由兩點距離公式可求出距離的最小值；
③由整數除以4的余數可能為0，1，2，3可判斷；
④可根據定義分別設a，b的數組為，進行判斷．
【詳解】①根據數組定義，因此，所以①錯誤；
②a是4的倍數，不妨設（n是整數）
當 時，最小，所以②正確；
③a除以4的余數可能是0，1，2，3；
所以③錯誤；
④不妨設（m為整數）
（n為整數）
由可知，
a和b屬于同一數組，
所以④正確；
故答案為：②④．
60．(1)6.6
(2)見解析
【分析】本題考查的是無理數的估算，新定義的含義，完全平方公式的應用，理解新定義的含義是解本題的關鍵；
（1）根據新定義的法則進行估算即可．
（2）設，其中，再變形，結合完全平方公式可得結論．
【詳解】（1）解：由新定義可得：
；
（2）解：設，其中．
則．
將兩邊平方，得．
∵ ，
∴ 的值會更接近于0，不妨近似為0．
∴ ．
∴ ，
即．
61．(1)2，12
(2)當時，函數取最小值，最小值為8
(3)
【分析】本題考查了二次根式的應用、反比例函數的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）由題意得出，，再利用均值不等式計算即可得出答案；
（2）由題意得出，將式子變形為，再利用均值不等式計算即可得出答案；
（3）作軸于，軸于，設，表示出，再利用均值不等式計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
當且僅當，即，即（負值舍去）時，等號成立，
∴當時，代數式取最小值，最小值為；
（2）解：∵，
∴，
∴，
當且僅當，即（負值舍去）時，等號成立，
∴當時，函數取最小值，最小值為8；
（3）解：如圖，作軸于，軸于，
∵，
∴，，
∵點是反比例函數圖象上一動點，
∴設，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
當且僅當，即時，等號成立，
∴的面積的最小值為．

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