資源簡介

模塊二 揭秘平行四邊形家族特征3 任務單
探索新知
菱形
任務1 探究菱形的性質
畫一個菱形，看看你能找到哪些它具有，平行四邊形不具有的特征？
比一比，猜一猜，填寫下表：
性質 平行四邊形 矩形 菱形
邊
角
對角線
任務2 探究菱形的面積
菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形的面積呢？
【思考】計算菱形的面積除了上式方法外,利用對角線能計算菱形的面積嗎
如圖，四邊形 ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O，試用對角線表示出菱形ABCD 的面積.
活學活用
形狀為菱形的草坪ABCD的兩條過道BD，AC長分別是6m和8m，求草坪面積.
正方形
怎樣研究這類圖形？
想一想我們是怎樣研究矩形和菱形的.
數學情境1：兩組互相垂直的平行線圍成矩形ABCD.
問題1 圖中CD在平移時，這個圖形始終是怎樣的圖形？
問題2 當CD移動到CD位置，此時AD＝AB，四邊形ABCD還是矩形嗎？
數學情境2：
菱形有一個角是直角時變成怎樣的圖形呢？
歸納總結
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：
（1） （2）
性質：
任務3：證一證
歸納總結
性質1.
幾何語言：
性質2.
幾何語言：
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱性
核心素養
已知正方形ABCD，若E為對角線上一點，連接EA、EC. EA = EC嗎？說說你的理由.模塊二 揭秘平行四邊形家族特征3
菱形和正方形的性質 練習
選擇題
（大理·期末）在下面性質中，菱形有而矩形沒有的性質是 ( D )
A.對角線互相平分 B.內角和為360°
C.對角線相等 D.對角線互相垂直
（吉林·期末）四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，下列給出的結論中，在正方形中成立但在矩形中不成立的是 ( D )
A. AB⊥BC B. AB = CD C. AC = BD D. AC⊥BD
（泉州·期中）如圖，菱形ABCD中，CE⊥BC，∠ECD=22°.則∠ADB的度數為 ( B )
A.22° B.34° C.39° D.68°
（紅河·期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，且AC=8，BD=6，E是AD邊的中點，則線段OE的長為 ( C )
A.8 B.5 C.2.5 D.6
（武漢·期中）如圖，已知P是菱形ABCD的邊BC上一點，且∠DAP=∠B= 70°，那么∠CDP的度數為 ( A )
A.15° B.25° C.30° D.35°
（濟寧·期中）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推，…，則正方形OB2022B2023C2023的邊長是 ( B )
A. ()2021 B. ()2022 C. ()2023 D. ()2024
解析：OB1=，OB2=()2，OB3=()3，…，OBn=()n.
正方形OB2022B2023C2023邊長OB2022=()2022.
填空題
（周口·期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠BAC= 15°，則∠BCD的度數為 30° .
（哈爾濱·期中）正方形一條對角線為2，則正方形的面積為 2 .
（聊城·期末）如圖，正方形ABCD的邊長為10，點E在AD邊上，DE=4，連接CE，將△CDE沿CE翻折得∠CD'E，延長ED交AB于點F，則D'F的長度 .
解析：如圖，連接CF. 證△CFB≌△CFD' (HL)，則D'F=BF，設D'F=BF=x，在△AFE中，由勾股定理，得 (10-x)2 + 62 = (x+4)2，解得x=.
解答題
如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積.
解：∵ 四邊形ABCD是菱形，
∴AO=AC ，2BO=BD，
AB = BC.
∵∠ABC＝60°，
∴ △ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，BO⊥AC.
∵AB=20，
∴AC=20，AO=CO=AC=10.
∴BO= = = 10.
∴BD=2BO=20.
∴S花壇=AC·BD=×10×20=100.
答：小路AC長20m，BD長20m，花壇面積為100m2.
如圖，在正方形ABCD中，△BEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°.
證明：∵ △BEC是等邊三角形，
∴BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°，
∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°，
∴AB = BE = CE = CD，∠ABE =∠DCE = 30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED = 75°，
∴∠EAD =∠EDA = 90°- 75°= 15°.
已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且DE = BF．
求證：（1）AE = AF；（2）EA⊥AF．
證明：（1）∵ ABCD是正方形，
∴AD = AB，∠ADE =∠ABF = 90°.
在△ABF與△ADE中，AD=AB，
∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF，
∴ △ABF≌△ADE (SAS).
∴ AE=AF ，∠1=∠3.
（2）∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，即 EA⊥FA.模塊二 揭秘平行四邊形家族特征3
菱形和正方形的性質 練習
選擇題
（大理·期末）在下面性質中，菱形有而矩形沒有的性質是 ( )
A.對角線互相平分 B.內角和為360°
C.對角線相等 D.對角線互相垂直
（吉林·期末）四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，下列給出的結論中，在正方形中成立但在矩形中不成立的是 ( )
A. AB⊥BC B. AB = CD C. AC = BD D. AC⊥BD
（泉州·期中）如圖，菱形ABCD中，CE⊥BC，∠ECD=22°.則∠ADB的度數為 ( )
A.22° B.34° C.39° D.68°
（紅河·期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，且AC=8，BD=6，E是AD邊的中點，則線段OE的長為 ( )
A.8 B.5 C.2.5 D.6
（武漢·期中）如圖，已知P是菱形ABCD的邊BC上一點，且∠DAP=∠B= 70°，那么∠CDP的度數為 ( )
A.15° B.25° C.30° D.35°
（濟寧·期中）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推，…，則正方形OB2022B2023C2023的邊長是 ( )
A. ()2021 B. ()2022 C. ()2023 D. ()2024
填空題
（周口·期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠BAC= 15°，則∠BCD的度數為 .
（哈爾濱·期中）正方形一條對角線為2，則正方形的面積為 .
（聊城·期末）如圖，正方形ABCD的邊長為10，點E在AD邊上，DE=4，連接CE，將△CDE沿CE翻折得∠CD'E，延長ED交AB于點F，則D'F的長度 .
解答題
如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積（結果分別精確到 0.01m 和 0.1m2）.
如圖，在正方形ABCD中，△BEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°.
已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且DE = BF．
求證：（1）AE = AF；（2）EA⊥AF．(共23張PPT)
第十八章 平行四邊形
模塊二
揭秘平行四邊形家族特征2
(菱形和正方形的性質)
八年級下冊數學（人教版）
越王勾踐劍，一把在地下埋藏了2000多年的古劍，出土時依然寒氣逼人，毫無銹蝕，鋒利無比，稍一用力，便可將多層白紙劃破，劍身上整齊
排列的黑色菱形暗花紋.
情景導入
兩組對邊
分別平行
平行
四邊形
矩形
前面我們學行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形有一個角是直角時,成為什么圖形
有一個角是直角
四邊形

菱形
探究新知
有一組鄰邊相等
有一組 的
鄰邊相等
平行四邊形叫做
A
D
C
B
菱形.
菱形的定義：
幾何語言表述：
在 ABCD 中，∵ AB = AD，∴ ABCD 是矩形.
任務1：探究菱形的性質
菱形的四條邊都相等.
B
D
A
C
符號語言：
∵四邊形 ABCD 是菱形，∴AB = BC = CD = AD.
畫一個菱形，看看你能找到哪些它具有，平行四邊形不具有的特征？
菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
已知：如圖，四邊形 ABCD 是菱形.
求證：AC⊥BD ；AC 平分∠BAD 和∠BCD ；BD 平分∠ABC 和∠ADC.
B
D
A
C
分析：等腰三角形三線合一
符號語言：
∵四邊形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD ；
AC 平分∠BAD 和∠BCD ；
BD 平分∠ABC 和∠ADC.
B
D
A
C
菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.
比一比，猜一猜，填寫下表：
性質 平行四邊形 矩形 菱形
邊
角
對角線
對邊相等
四個角都是直角
對角線互相平分且相等
四邊相等
對角相等
兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角
對邊相等
對角相等
對角線互相平分
菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形的面積呢
A
B
C
D
O
E
【思考】計算菱形的面積除了上式方法外,利用對角線能計算菱形的面積嗎
任務2：探究菱形的面積
S菱形=BC× AE.
如圖，四邊形 ABCD 是菱形，對角線 AC，BD 交于點 O，試用對角線表示出菱形 ABCD 的面積.
A
B
C
D
O
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO + DO)
= AC·BD.
菱形的面積 = 底×高
= 對角線乘積的一半
形狀為菱形的草坪 ABCD 的兩條過道 BD，AC 長分別是 6 m 和 8 m，求草坪面積.
解：
C
B
D
A
O
= 24 (m2).
活學活用
正方形　
怎樣研究這類圖形？
想一想我們是怎樣研究矩形和菱形的.
正方形
問題1 圖中 CD 在平移時，這個圖形始終是怎樣的圖形？
問題2 當 CD 移動到 CD 位置，此時 AD ＝AB，四邊形 ABCD 是什么圖形？它還是矩形嗎？
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
數學情境1：兩組互相垂直的平行線圍成矩形 ABCD.
正方形
是特殊的矩形.
【點擊跳轉至幾何畫板】
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
數學情境2：
菱形有一個角是直角時變成怎樣的圖形呢？
正方形也是特殊的菱形.
【點擊跳轉至幾何畫板】
有一個角是直角
有一組鄰邊相等
有一組鄰邊相等
有一個角是直角
有一組鄰邊相等且有一個角是直角
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：
歸納總結
矩形
菱形
正方形
↓
平行四邊形
正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性質，正方形都有.
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：
性質：1. 正方形的四個角都是直角，四條邊相等.
2. 正方形的對角線相等且互相垂直平分.
已知：如圖，四邊形 ABCD 是正方形.
求證：正方形 ABCD 四邊都相等，四個角都是直角.
A
B
C
D
證明：∵四邊形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = BC (正方形的定義).
又∵正方形是平行四邊形.
∴正方形是矩形 (矩形的定義)，
正方形是菱形 (菱形的定義).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
任務3：證一證
已知：如圖，四邊形 ABCD 是正方形. 對角線 AC、BD 相交于點 O. 求證：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
證明：∵正方形 ABCD 是矩形,
∴AO = BO = CO = DO.
∵正方形 ABCD 是菱形.
∴AC⊥BD.
性質1. 正方形的四個角都是直角，四條邊相等.
歸納總結
性質2. 正方形的對角線相等且互相垂直平分.
幾何語言：∵四邊形 ABCD 是正方形.
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
幾何語言：∵四邊形 ABCD 是正方形.
∴AO = BO = CO = DO，
AC⊥BD.
A
B
C
D
O
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱性
平行四邊形
中心對稱圖形
（對角線的交點）
即是中心對稱圖形，
又是軸對稱圖形（兩條）
即是中心對稱圖形，
又是軸對稱圖形（兩條）
即是中心對稱圖形，
又是軸對稱圖形（四條）
矩形
菱形
正方形
已知正方形 ABCD，若 E 為對角線上一點，連接 EA、EC. EA = EC 嗎？說說你的理由.
E
A
B
C
D
1
2
？
？
解： EA = EC. 理由如下：
∵四邊形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠1=∠2 = 45°，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE (SAS).
∴AE=CE.
核心素養
菱形的性質及有關
計算
菱形的性質
有關計算
邊
1.周長=邊長的四倍；
2.面積=底×高=兩條對角線乘積的一半
角
對角線
1.兩組對邊平行且相等；
2.四條邊相等
兩組對角分別相等，鄰角互補
1.兩條對角線互相垂直平分；
2.每一條對角線平分一組對角
當堂小結
1.四個角都是直角
2.四條邊都相等
3.對角線相等且互相垂直平分
正方形的定義和性質
性質
定義
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

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