資源簡介

模塊三 單課時作業
如何判定平行四邊形家族1
夯實基礎
1. ( 2023·中牟縣校級開學)小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號應該是( C )
A.①② B.①④
C.②④ D.②③
2.( 2023·歷下區期中)如圖，在四邊形ABCD中，已知AB = CD，若要判定四邊形ABC
D為平行四邊形，在不添加輔助線的前提下只添加一個條件，則這個條件可以為_____.
AB∥CD（答案不唯一）．
【解答】解：添加條件為：AB∥CD，理由如下：
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
故答案為：AB∥CD（答案不唯一）．
3.（2017 綿陽）如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，若點A的坐標是（6，0），點C的坐標是（1，4），則點B的坐標是 ．
【解答】解：∵四邊形ABCO是平行四邊形，O為坐標原點，點A的坐標是（6，0），點C的坐標是（1，4），
∴BC=OA=6，6+1=7，
∴點B的坐標是（7，4）；
故答案為：（7，4）．
4.（2023春 葫蘆島期中）如圖，AD是△ABC 的中線，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于F，連接BF，求證：AD=BF．
【解答】證明：∵E點是AD的中點，
∴AE=ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△DEC中，
∠AFE＝∠DCE
∠AEF＝∠DEC
AE＝DE
△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AD是△ABC的中線，
∴CD=BD=AF，
∴四邊形ADBF是平行四邊形，
∴AD=BF．
5.（2023春 無為市校級期中）如圖所示，以△ABC的三邊在BC的同側分別作三個等邊三角形，即：△ABD，△BCE，△ACF，求證：四邊形ADEF是平行四邊形．
【解答】證明：∵△ABD，△BCE都是等邊三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA，
即∠DBE=∠ABC，
∵BD=BA，∠DBE=∠ABC，BE=BC，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE=AC，
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF，
同理可證：AD=EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．
6.（2022春 白堿灘區期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止．點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，點P，Q同時出發，設運動時間為t（s）．
（1）用含t的代數式表示：
AP= ；DP= ；BQ= ；CQ= ．
（2）當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？
（3）當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？
【解答】解：（1）t，12-t，15-2t，2t
（2）根據題意有AP=t cm，CQ=2t cm，PD=（12-t）cm，BQ=（15-2t）cm.
∵AD∥BC，∴當AP=BQ時，四邊形APQB是平行四邊形．
∴t=15-2t，解得t=5．
∴t=5s時四邊形APQB是平行四邊形；
（3）由AP=t cm，CQ=2t cm,
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD-AP=（12-t）cm，
如圖1，∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴當PD=QC時，四邊形PDCQ是平行四邊形．
即：12 - t=2t，
解得t=4s，
∴當t=4s時，四邊形PDCQ是平行四邊形．
拓展應用
7.學校買了四棵樹，準備栽在花園里，已經栽了三棵（如圖），現在學校希望這四棵樹能組成一個平行四邊形，你覺得第四棵樹應該栽在哪里？模塊三 單課時作業
如何判定平行四邊形家族1
夯實基礎
1. ( 2023·中牟縣校級開學)小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號應該是( )
A.①② B.①④
C.②④ D.②③
2.( 2023·歷下區期中)如圖，在四邊形ABCD中，已知AB = CD，若要判定四邊形ABC
D為平行四邊形，在不添加輔助線的前提下只添加一個條件，則這個條件可以為_____.
3.（2017 綿陽）如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，若點A的坐標是（6，0），點C的坐標是（1，4），則點B的坐標是 ．
4.（2023春 葫蘆島期中）如圖，AD是△ABC 的中線，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于F，連接BF，求證：AD=BF．
5.（2022春 白堿灘區期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止．點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，點P，Q同時出發，設運動時間為t（s）．
（1）用含t的代數式表示：
AP= ；DP= ；BQ= ；CQ= ．
（2）當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？
（3）當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？
拓展應用
6.學校買了四棵樹，準備栽在花園里，已經栽了三棵（如圖），現在學校希望這四棵樹能組成一個平行四邊形，你覺得第四棵樹應該栽在哪里？模塊三 如何判定平行四邊形家族1 任務單
一、類比學習，提出猜想
問題1：對于平行四邊形，我們能否也可以通過研究性質定理的逆命題獲得判定平行四邊形的方法呢？請你完成以下表格，提出猜想.
平行四邊形的性質 逆命題
對邊相等
對角相等
對角線互相平分
二、理性思考，證明定理
畫出四邊形ABCD中，根據你的3個猜想，寫出已知和求證，嘗試證明.
已知：
求證：
三、應用判定，解決問題
任務 小明不小心打破了一塊平行四邊形玻璃，如圖所示為其中一塊. 現需要購買一塊相同的玻璃，滿足相鄰兩邊 AB，BC 的長分別為 30 cm、50 cm，且∠ABC = 60°. 根據所學知識選擇多種方法畫出頂點 D 的位置，并說明理由.
課堂總結
回顧所學，思考平行四邊形的判定方法，并完成框圖.
A
B
C
邊
平行四邊形
判定
角
對角線(共18張PPT)
任務 小明不小心打破了一塊平行四邊形玻璃，如圖所示為其中一塊. 現需要購買一塊相同的玻璃，滿足相鄰兩邊 AB，BC 的長分別為 30 cm、50 cm，且
∠ABC = 60°. 根據所學知識選擇多種方法畫出頂點 D 的位置，并說明理由.
A
B
C
情景導入
模塊三
如何判定平行四邊形家族1
第十八章 平行四邊形
定義
性質
判定
是什么
什么是
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
平行四邊形的對邊相等；
平行四邊形的對角相等；
平行四邊形的對角線互相平分.
逆命題
根據以往幾何學習的經驗，接下來我們應該研究什么呢？
既是性質也是判定
回顧舊知
問題1：對于平行四邊形，我們能否也可以通過研究性質定理的逆命題獲得判定平行四邊形的方法呢？請你完成以下表格，提出猜想.
類比學習，提出猜想
平行四邊形的判定
探究新知
平行四邊形的性質 逆命題
對邊相等
對角相等
對角線互相平分
猜想3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
猜想1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
猜想2：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
問題2：原命題正確，逆命題一定正確嗎？
在△ABD 和 △CDB 中，
AB = CD (已知)，
AD = CB (已知)，
BD = DB (公共邊)，
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴ ∠1 =∠2 ， ∠4 =∠3.
∴ AB∥CD，AD∥BC.
∴四邊形 ABCD 是平行四邊形.
證明：連接 BD.
已知：四邊形 ABCD 中，AB = DC，AD = BC.
求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形.
B
D
A
C
3
2
4
1
論證猜想一：小組展示
平行四邊形的判定定理 1
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：
∵ 在四邊形 ABCD 中，
AB = CD，AD = CB，
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形.
B
D
A
C
已知：四邊形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠D = ∠B.
求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形.
B
D
A
C
又∵∠A =∠C，∠B =∠D，
∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即∠A +∠B = 180°.
∴ AD∥BC.
∴四邊形 ABCD 是平行四邊形.
同理得 AB∥CD，
證明：
論證猜想二：小組展示
平行四邊形的判定定理 2
B
D
A
C
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：
∵ 在四邊形 ABCD 中，
∠A =∠C，∠B =∠D，
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形.
證明：在△AOB 和△COD 中，
OA = OC (已知)，
OB = OD (已知)，
∠AOB = ∠COD (對頂角相等)，
∴△AOB≌△COD (SAS).
∴ ∠BAO =∠OCD，∠ABO =∠CDO.
∴ AB∥CD ， AD∥BC.
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形.
已知：四邊形 ABCD 中，AC，BD 交于點 O，OA = OC，OB = OD. 求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形.
A
B
C
D
O
論證猜想三：小組展示
平行四邊形的判定定理 3
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：
∵ 在四邊形 ABCD 中，
AO = CO，DO = BO，
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形.
A
B
C
D
O
D
A
B
C
方法一依據：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
方法一：
D
A
B
C
方法二依據：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
方法二：
回顧導入
D
O
A
B
C
方法三依據：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
方法三：
例1 如圖， □ABCD 的對角線 AC，BD 相交于點 O，E，F 是 AC 上的兩點，并且 AE = CF.
求證：四邊形 BFDE 是平行四邊形.
B
O
D
A
C
E
F
證明：∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ AO = CO，BO = DO.
∵ AE = CF，
∴ AO -AE = CO - CF，即 EO = OF.
又∵ BO = DO，
∴ 四邊形 BFDE 是平行四邊形.
典例精析
當堂小結
平行四邊形
判定
邊
角
對角線
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
課堂練習
1. 如圖，四邊形 ABCD 的對角線交于點 O，下列哪組條件不能判斷四邊形 ABCD 是平行四邊形（　　）
A．OA = OC，OB = OD
B．AB = CD，AO = CO
C．AB = CD，AD = BC
D．∠BAD =∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
2. 如圖，在四邊形 ABCD 中，
(1) 如果 AB∥CD，AD∥BC，那么四邊形 ABCD 是
___________.
(2) 如果∠A∶∠B∶∠ C∶∠D = a∶b∶a∶b( a，b 為正數)，那么四邊形 ABCD 是_____________.
(3) 如果 AD = 6 cm，AB = 4 cm，
那么當 BC =____cm，CD =____cm 時，
四邊形 ABCD 為平行四邊形.
B
D
A
C
平行四邊形
平行四邊形
6
4
3. 如圖，AB、CD 相交于點 O，AC∥DB，AO＝BO，E、F 分別是 OC、OD 的中點．
求證： 四邊形 AFBE 是平行四邊形．
證明： ∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD (AAS).
∴ CO＝DO.
∵ E、F 分別是 OC、OD 的中點，
∴ EO＝FO. 又∵AO＝BO，
∴ 四邊形 AFBE 是平行四邊形．

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