資源簡介

授課
題目
授課
時長
高等教育出版社《數學》
2021十四五（基礎模塊下冊）
6.5直線與圓的位置關系
2課時
選用教材
授課類型
新授課
本課通過實例介紹直線與圓的位置關系，采用數形結合的方式，利用比較半
徑與圓心到直線的距離大小來判定直線與圓的位置關系，通過例題學習求圓的
切線方程以及直線與圓相交所得的弦長.
教學
提示
能識別直線與圓的位置關系，會通過比較半徑與圓心到直線的距離大小的
方式來判定直線與圓的位置關系，會求直線與圓相交時的弦長，會求圓的切線方
程，逐步提升直觀想象、數學抽象等核心素養.
教學
目標
教學
重點
教學
難點
教學
環節
根據給定直線和圓的方程，判別直線與圓的位置關系.
直線與圓位置關系的判定.
教師 學生 設計
教學內容
活動 活動 意圖
在日落過程中,太陽和海平面有三種位置關系.如果把 提出 思考 結合
太陽看作一個圓,海平面看做一條直線,這三種位置關系是
問題
生活
分析 常識
思
否可以通過直線和圓的方程表示？
引發
思考 回答 考，
情境
導入
增加
問題
的直
觀性
在平面幾何中,我們已經知道直線與圓的三種位置關 講解 理解 對比
系,如圖所示.
一般
曲線
與方
程的
關
說明 思考
探索
新知
系，
數形
結合
方式
更加
當直線與圓沒有公共點時,直線與圓相離;
當直線與圓有唯一公共點時,直線與圓相切；
當直線與圓有兩個公共點時,直線與圓相交.
觀察上圖可知,直線與圓的位置關系可以由圓心到直
線的距離 d與半徑 r的大小關系來判斷.
展示 領會 針對
(1) 直線 l 與圓 C相離 d> r；
(2) 直線 l 與圓 C相切 d= r；
性和
簡潔
(3) 直線 l 與圓 C相交 d r.
<
1
例 1判斷直線 l:2x+y+5=0與圓 C:x
2+y2 10x=0
-
的位置關系. 提問 思考 利用
解法一 將圓的方程 x2+y2 10x=0
-
化為圓的標準方程
引導 分析 兩種
方法
(x-5)2+y2=25,
則圓心坐標為(5,0)，圓的半徑為 r=5.
因為圓心 C(5,0)到直線 l:2x+y+5=0的距離
2×5+1×0+5 15
講解 解決 給出
強調 交流
解
答，
復習
初中
的知
識，
也是
對新
學習
知識
的鞏
固和
加深
d =
=
= 3 5> 5，
2
2
+1
即 d>r,所以直線與圓相離.
解法二 將直線 l 與圓 C的方程聯立,得方程組
2
5
2x+ y+5= 0,
①
②

x2 + y2 10x= 0.

由①得
y=-2x-5，
代入②有
化簡得
x2+(-2x-5)2-10x=0,
x2+2x+5=0 .
因為 Δ=22-4×1×5= 16<0,
-
所以方程組沒有實數解,即
直線 l 與圓 C沒有交點,直線與圓相離.
直線與圓相切，稱直線為圓的切線.
探究與發現
提出 思考
問題 討論
在平面直角坐標系中,如果過點 P能作出圓的切線,那
么,如何求這條切線的方程呢
例題
辨析
提示 交流 提升
引領 結果 認識
引出
可以看出:
新知
(1)點 P 在圓 C 上,過點 P 只能作一條直線與圓 C 相
切；
(2)點 P在圓 C外,過點 P可以作兩條直線與圓 C相切；
(3)點 P在圓 C內,過點 P不存在與圓 C相切的直線.
例 2 經過下列各點與圓 C:(x+1)2+(y 1)2=4
-
有幾條切線？
(1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2).
解 由圓的方程(x+1)
半徑 r=2.
2+(y 1)2=4,
-
得圓心坐標為 C(-1,1),圓的
(1)點 P(0,-2)到圓心 C的距離為
CP = [0 ( 1)] + ( 2 1) = 10> 2,
2
2
即|CP|>r,所以點 P在圓外,過點 P有兩條直線與圓 C相切.
(2)點 Q(1,1)到圓心 C的距離為
提問 思考 與練
引導 分析 習 2
講練
CQ= [1 ( 1)]
2
+ (1 1) = 2,
2
即|CQ|=r,所以點 Q 在圓上,過點 Q 有且只有一條直線與圓
講解 解決
結
2
C相切.
(3)點 R(0,2)到圓心 C的距離為
CR= [0 ( 1)] + (2 1) = 2< 2,
強調 交流 合，
加深
對問
題的
認識
2
2
即|CR|線.
例 3已知圓 O:x2+y2=1,判斷過點Q(0, 2)與圓 O有幾條切
線,并求切線方程.
提問 思考 蘊含
著待
定系
數法
引導 分析 和解
分析 求切線方程的關鍵是求出切線的斜率 k,可以利用圓
心到切線的距離等于圓的半徑來確定 k.
解 由圓 O:x2+y2=1,得圓心坐標為 O(0,0),半徑 r=1.因為
析法
等數
學方
CQ= (0 0)
2
+( 2 0) = 2，
2
講解 解決
強調 交流
法
即|OQ|>r,所以點 Q在圓外,過點 Q與圓 O有兩條切線.
設所求切線 l 的斜率為 k,切線過點Q(0, 2) ,則切線 l
的方程為
y 2= kx,
kx y+ 2 = 0.
即
圓心 O到切線 l 的距離為
k 0 0+ 2
d =
2
=
.
2
2 +
k 1
2 +
k 1
因為圓心到切線的距離等于圓的半徑,所以
2
,
=1
k2 +1
k=1,k= 1,
化簡得 k2+1=2,解得
- 所以切線的方程為
1
2
y 2=x和 y 2= x,
即
x y+ 2 = 0和 x+ y 2 = 0.
探究與發現
在平面直角坐標系中,如果直線 l 與圓 C 相交,那么,如
何求兩個交點之間的距離呢？
當直線 l:Ax+By+C=0與圓 C:(x-a)2+(y b)2=r2 P
相交于
-
和 Q 兩點時,線段 PQ 為圓的一條弦.我們要求的是這條弦
的長度.
3
因為圓心 C 與弦 PQ 的中點 R 的連線垂直且平分弦
PQ,故|PQ|=2 PR = 2 r
2
d2
.
提出 思考 用問
問題 交流 題引
出新
知
(1)
(2)
展示 分析 數形
例 4已知直線 x+y=2與圓(x-1)2+(y+2)2=9相交于 和 兩
P
Q
圖形 特征
結
點,求弦 PQ的長度.
合，
提升
解法一 由圓的方程(x-1)2+(y+2)2=9可知圓心坐標為
C(1,-2),圓的半徑為 r=3.因為圓心到直線 x+y-2=0 的距離
為
引領 思考 直觀
想象
核心
素養
1×1+1×( 2) 2
3
3 2
2
d =
=
=
.
12 +1
2
2
故弦 PQ的長度為
|PQ|=2 r
9
2
d2
= 2 9 = 3 2.
提問 思考 是已
2
有知
x+ y= 2,
解法二 解方程組
(x 1)
得直線與圓的交
引領 分析 識的
2
+ (y+ 2)
2
= 9,
應用
點坐標為 P(4,-2)和 Q(1,1).由兩點間距離公式,得
|PQ|= (1 4) +[1 ( 2)] = 3 2，
與延
2
2
講解 解決 伸，
故弦 PQ的長度為3 2 .
與練
習題
強調 交流 的 5
題講
練結
合
提問 思考 及時
掌握
練習 6.5
1.填空：
(1)直線 l與圓 C相交,則直線 l和圓 C有___個公共點;
(2)直線 l 與圓 C相切,則直線 l 和圓 C有___個公共點.
2.已知圓 C:x2+y2=1,
學生
掌握
巡視 動手 情況
求解 查漏
補缺
點 A(1,0)、B(1,1)、C(0,1).
(1)過點 A(1,0)且與圓
鞏固
練習
C:x2+y2=1 相切的直線有
___條,切線斜率為____;
(2)過 點 B(1,1)與 圓
指導 交流
C:x2+y2=1 相切的直線有
___條,切線斜率為_____；
(3)過點 C(0,1)與圓 C:x2+y2=1 相切的直線有___條,切
4
線斜率為_____.
3.判斷下列直線與圓的位置關系：
(1)直線 x+y=2，圓 x2+y2=2；
(2)直線 y=3，圓(x-2)2+y2=4；
(3)直線 2x-y+3=0，圓 x2+y2-2x+6y-3=0.
4.求過點 P(3,2),且與圓(x-2)2+(y-1)2=1相切的方程.
5. 已知直線 x+y+1=0與圓(x-1)2+(y+2)2=16相交 P 和
Q兩點,求弦 PQ的長度.
引導 回憶 培養
學生
歸納
總結
提問 反思 總結
學習
過程
能力
說明 記錄 繼續
1.書面作業：完成課后習題和學習與訓練；
2.查漏補缺：根據個人情況對課題學習復習與回顧;
3.拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容.
布置
作業
探究
延伸
學習
5

展開更多......

收起↑