資源簡介

授課 題目 6.4 圓 選用教材 高等教育出版社《數(shù)學》 2021十四五（基礎(chǔ)模塊下冊）
授課 時長 3 課時 授課類型 新授課
教學 提示 本課學習圓的標準方程和一般方程， 討論圓的條件， 借助幾何直觀幫助學生 認識圓的要素，分析圓的標準方程的結(jié)構(gòu)特征以及圓心坐標和圓的半徑與圓的 標準方程之間的對應關(guān)系， 根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標準方程， 以及根據(jù)圓的方 程求圓心坐標和圓的半徑，用待定系數(shù)法求圓的標準方程和一般方程.
教學 目標 通過學習圓的定義和圓的標準方程，能根據(jù)已知條件選擇適當?shù)男问綄懗?圓的方程， 可以根據(jù)已知圓的方程求出圓心坐標和圓的半徑,逐步提升直觀想 象、邏輯推理和數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).
教學 重點 圓的標準方程和一般方程的定義.
教學 難點 圓的標準方程和一般方程的應用.
教學 環(huán)節(jié) 教學內(nèi)容 教師 活動 學生 活動 設(shè)計 意圖
情境 導入 6.4.1. 圓的標準方程 天圓地方是我國古人樸素的世界觀, 圓很早就被運用 于中國傳統(tǒng)建筑的設(shè)計之中,可以說,沒有圓就沒有中式設(shè) 計,如北京天壇的圜丘壇就是典型的圓形建筑， 還有中式園 林中的“洞門”. 如何用方程的形式表示圓呢？ 提出 問題 引發(fā) 思考 思考 分析 回答 展示 數(shù)學 美， 結(jié)合 生活 實例 創(chuàng)設(shè) 情境
探索 新知 圓是平面內(nèi)到定點的距離為定長的動點的軌跡，定點 稱為圓心，定長稱為半徑. 在平面直角坐標系中, 已知圓 C 的圓心為點 C(a,b),半 徑為 r.設(shè)圓上任意一點 M(x,y),則有|MC|=r. 講解 理解 歸納 概念 突出 強調(diào) 規(guī)范 表述 和注 意事 項
說明 思考
展示 領(lǐng)會
結(jié)合 原有 知
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由兩點間距離公式,得 (x a)2 + (y b)2 = r , 將這個等式兩邊平方,得 (x-a)2+(y-b)2=r2 . 方程稱為以 C(a,b)為圓心, r 為半徑的圓的標準方程. 若圓心在坐標原點 O(0,0),半徑為 r,則圓的標準方程為 x2+y2=r2 . 識， 感知 數(shù)形 結(jié)合 方法
例題 辨析 例 1 求以點 C(1,2)為圓心,半徑 r=2 的圓的標準方程. 解 因為圓心 C(1,2),半徑 r=2,所以圓的標準方程為 (x-1)2+(y-2)2=4. 例 2 已知圓的標準方程為(x+2)2+(y-1)2=9,求出圓心坐標及 半徑. 解 因為圓的標準方程為(x+2)2+(y-1)2=9,所以圓心坐標為 (-2,1),半徑為 r=3. 探究與發(fā)現(xiàn) 提問 引導 講解 強調(diào) 思考 分析 解決 交流 講練 結(jié) 合， 體現(xiàn) 坐標 法思 想 拓展 學習
提出 問題 思考 交流
設(shè)圓的方程為 x2+ y2=r2,如何判斷點 P0(x0,y0)是在圓 內(nèi)、圓上還是圓外？
鞏固 練習 練習 6.4.1 1.寫出下列圓的標準方程. (1) 圓心 C(0,0),半徑 r=1; (2) 圓心 C(0,1),半徑 r=3; (3) 圓心 C(3,0),半徑 r=2; (4) 圓心 C(2,-1),且圓過點(5,5). 2.求下列圓的圓心坐標及半徑. (1) x2+y2=16; (2) (x-1)2+ y2=4； (3) x2+(y+3)2=9； (4) (x-2)2+(y-1)2=2； (5) (x+1)2+(y-3)2=25. 3.已知兩點 P(-1,3), Q(2,-1),求以線段 PQ 為半徑,點 P 為圓心的圓的標準方程. 提問 思考 及時 掌握 學生 掌握 情況 查漏 補缺
巡視 動手 求解
指導 交流
情境 導入 6.4.2. 圓的一般方程 將圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展開整理,得 x2+ y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 令 D=-2a,E=-2b,F= a2+b2-r2, 則圓的標準方程化為一個二 元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 反之,一個二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示一個 圓呢？ 提示 和指 導 思考 和交 流 新舊 知識 銜接 注重 知識 聯(lián)系
探索 新知 將方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方整理,得 x+ 2 + y + 2 = , (1)當 D2+E2-4F>0 時, 二元二次方程表示以 (
為半徑的圓
；
) , 為圓心, 以 講解 說明 展示 講解 理解 思考 領(lǐng)會 理解 利用 配方 法有 利于 學生 運算 方法
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(2)當 D2+E2-4F=0 時,方程為 x+ 2 + y + 2 = 0 . 二元二次方程只有一組實數(shù)解 x = D , y = E ,它表示一 2 2 個點 , ； (3)當 D2+E2-4F<0 時,二元二次方程沒有實數(shù)解,不表示 任何圖形. 綜上, 當 D2+E2-4F>0 時,二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圓，這個方程稱為圓的一般方程. 的掌 握和 運算 能力 的提 高， 逐步 提升 數(shù)學 運算 核心 素養(yǎng)
例題 辨析 例 3 判斷方程 x2+y2+2x+4y+4=0 是否為圓的方程 如果是, 求出圓心坐標和圓的半徑. 解法一 由方程 x2+y2+2x+4y+4=0,知 D=2,E=4,F=4,因為 D2+E2-4F=22+42-4×4=4>0, 所以方程 x2+y2+2x+4y+4=0 為圓 的方程 , 圓 心 坐標為 , =(-1 ,-2), 圓的半徑為 r= =1. 解法二 將方程 x2+y2+2x+4y+4=0 配方,得 (x+1)2+(y+2)2=1, 所以x2+y2+2x+4y+4=0 為圓的方程, 圓心坐標為(-1,-2), 圓的 半徑為 1. 例 4 求過三點 A(0,0) 、B(1,1) 、C(4,2)的圓的方程，并求圓 心坐標和圓的半徑. 解 設(shè)所求圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因為 A(0,0) 、 B(1,1) 、C(4,2)三點都在圓上,所以它們的坐標滿足圓的方 提問 引導 講解 強調(diào) 思考 分析 解決 交流 通過 應用 公式 和配 方法 一題 多解 開闊 思路
程， 即 F = 0, D + E + F + 2 = 0, 4D+ 2E + F + 20 = 0, 提問 思考 結(jié)合 待定 系數(shù) 法提 升數(shù) 學運 算核 心素 養(yǎng)
解三元一次方程組，得 D=-8,E=6,F=0. 因此,所求圓的一般方程為 x2+y2-8x+6y=0. 將方程 x2+y2-8x+6y =0 配方，得 (x-4)2+(y+3)2=52， 即圓心坐標為(4,-3), 圓的半徑為 5. 引導 分析
講解 解決
探究與發(fā)現(xiàn) 強調(diào) 交流
中國天眼是口徑 500m 的球面射電望遠鏡,是世界上已 經(jīng)建造完成的口徑最大、最靈敏的單天線射電望遠鏡,如果 把它的橫截面看成圓形,選取適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?可以 用圓的標準方程表示為 x2+y2=2502 . 圓是生活和生產(chǎn)實踐中 常見的圖形,試找出更多的例子并嘗試建立圓的方程.
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引發(fā) 思考 討論 交流 結(jié)合 數(shù)學 教學 進行 愛國 教育
鞏固 練習 練習 6.4.2 1.求下列圓的圓心坐標和半徑： (1) x2+y2-4x=0; (2) x2+y2+4y-5=0; (3) x2+y2-6x+2y-6=0; (4) x2+2x+y2-6y=0. 2.求以點(4,-2)為圓心, 2 為半徑的圓的一般方程. 3.方程x2+y2-4x+2y-1=0,是否為圓的方程 如果是,求圓 心坐標和圓的半徑. 提問 思考 及時 掌握 學生 掌握 情況 查漏 補缺
巡視 動手 求解 交流
指導
歸納 總結(jié) 引導 提問 回憶 反思 培養(yǎng) 學生 總結(jié) 學習 過程 能力
布置 作業(yè) 1.書面作業(yè)： 完成課后習題和學習與訓練； 2.查漏補缺： 根據(jù)個人情況對課題學習復習與回顧; 3.拓展作業(yè)： 閱讀教材擴展延伸內(nèi)容. 說明 記錄 繼續(xù) 探究 延伸 學習
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