資源簡介

·授課
題目
授課
時長
高等教育出版社《數學》
2021十四五（基礎模塊下冊）
6.3兩條直線的位置關系
5課時
選用教材
授課類型
新授課
本課首先介紹兩條直線平行、重合及相交的位置關系及判定的方法，研究兩
條直線相交的位置關系及兩條直線垂直的條件，最后介紹點到直線的距離的計
算公式，學習利用斜率判定兩條直線的位置關系以及求兩條直線的交點坐標，用
待定系數法求與已知直線平行(或垂直)的直線方程，求點到直線的距離，并幫助
學生體會斜率在研究直線中的重要作用.
教學
提示
通過學習，會求兩條直線交點的坐標，逐步提升直觀想象和數學運算等核
心素養；通過學習兩條直線平行以及垂直的條件和判定方法，能根據條件判定兩
條直線的位置關系，逐步提升直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養；學習
點到直線的距離公式，能求點到直線的距離，逐步提升運算過程等核心素養.
教學
目標
教學
重點
教學
難點
教學
環節
兩條直線的位置關系，兩條直線交點坐標，點到直線的距離.
兩條直線位置關系的判斷與應用，點到直線距離的計算.
教師 學生 設計
教學內容
活動 活動 意圖
提出 思考 結合
6.3.1. 兩條直線平行
(1)2020年 11月 24日,我國在文昌航天發射基地，用 問題
長征 5 號遙五運載火箭成功發射了探月工程嫦娥五號探
測器.大型運載火箭發射航天器離不開助推器的推送,我 引發
生活
分析 常識
思
國長征 5號火箭,外圍有四個火箭助推器.如果把長征 5號 思考 回答 考，
火箭的四個助推器看作直線,它們的位置關系如何呢？
通過觀察可以看出,四個助推器是相互平行的.
(2)現實生活中有許多物體具有平行的位置關系.觀察
圖示的圖形,哪些物體是平行的 怎樣用數學語言表述平行
的位置關系呢？
展示
數學
美，
同時
樹立
愛國
主義
情懷
情境
導入
1
若直線 l 與直線 l 平行且都平行于 x 軸,則直線 l 與 講解 理解 分不
1
2
1
直線 l2的傾斜角都為 0,此時斜率為 0.
反之,若直線 l 與直線 l 的斜率都為 0,則傾斜角也都
同情
況進
1
2
為 0, 直線 l 與直線 l 平行且都平行于 x軸.
行說
1
2
若直線 l 與直線 l 平行且都垂直于 x 軸,則直線 l 與
明，
1
2
1
直線 l2的斜率都不存在.
反之,若直線 l 與直線 l 的斜率都不存在,則直線 l 與
說明 思考 歸納
概念
1
2
1
直線 l2都垂直于 x軸且平行.
突出
強調
規范
展示 領會 表述
和注
意事
項
探索
新知
若直線 l :y=kx+b 與直線 l :y=kx+b 平行,則直線 l 與 引領 分析
1
1
1
2
2
2
1
直線 l 的傾斜角相等,即 α =α ,此時直線 l 與直線 l 的斜率
2
1
2
1
2
相等即,k=k.
1
2
反之，若直線 l :y=kx+b 與直線 l :y=kx+b 的斜率相
1
1
1
2
2
2
等,即 k=k,則直線 l 與直線 l 的傾斜角相等,此時直線 l 與
1
2
1
2
1
直線 l2平行.
若直線 l :y=kx+b 與直線 l :y=kx+b 的斜率相等,即
1
1
1
2
2
2
k=k,且 b =b ,則這兩條直線重合.
1
2
1
2
綜上可知,利用直線的斜率可以判斷兩條直線是否平行.
溫馨提示
在平面直角坐標系中,當兩條直線的斜率 k 與 k 都存 強調 領會 適時
1
2
在,并有 k=k 且 b ≠b 時,兩條直線平行;當兩條直線的斜率
總結
1
2
1
2
都不存在時,兩條直線也平行.
例 1 判斷下列各組直線是否平行或重合.
(1)l : y= x,l :x y+ 2= 0;
提問 思考 兩條
直線
1
2
1
2
1
2
平行
(2)l :x+ 2y+1= 0,l : y= x ;
1
2
知識
(3)l :x= 2,l :x= 5.
1
2
引導 分析 的直
解 (1)由 y=x,得直線的斜率 k=1,在 y軸上截距 b =0;由
1
1
接應
用
x-y+2=0,即y=x+2,得直線的斜率k=1,在y軸上的截距b =2.
2
2
因為 k=k 且 b ≠b ,所以兩條直線平行.
例題
辨析
1
2
1
2
1
2
1
2
(2)由 x+ 2y+1= 0 ,即 y= x ,得直線的斜率 講解 解決
1
2
1
2
k = ,在 y軸上截距b = .
1
2
因為 k=k 且 b =b ,所以兩條直線重合.
1
2
1
2
(3)因為直線 x=2 與直線 x=5 都垂直于 x 軸,兩條直線 強調 交流
的斜率都不存在,所以兩直線平行.
例 2 求經過點 A(1,1)且與直線 y=2x-3平行的直線方程.
解 因為直線 y=2x-3的斜率為 2,所以所求直線的斜率 k=2.
2
設所求直線方程為
提問 思考
引導 分析 強調
斜率
y=2x+b,
因為直線過點 A(1,1),所以有 1 =2+b,解得 b=-1,故所求直線
方程為 y=2x-1,即
2x-y-1=0.
講解 解決 是解
決問
強調 交流 題的
關鍵
練習 6.3.1
提問 思考 及時
掌握
1.判斷下列各組直線是否平行或重合：
(1) l :y=-2x+3,l :4x+2y+5=0；
1
2
學生
(2) l : y=3x+1,l :3x-y+1=0 ;
1
2
掌握
3
4
(3) l : y=3x-4y+4,l : y= x+1；
巡視 動手 情況
求解 查漏
補缺
1
2
(4)l :x=3, l :x=7.
鞏固
練習
1
2
2.填空題：
(1)若直線 l 與直線 x+2y+1=0平行,則直線 l 的斜率為
___________;
(2)已知直線 l在 y軸上的截距為 2,且與直線 y=x平行,
則直線 l 的方程為_____________.
(3)若直線 l 經過點(2,0)且與直線 y=3x+2 平行,則直線
l 的方程為___________.
指導 交流
3.求過點(1,2)且平行于直線 x=-5的直線方程.
6.3.2. 兩條直線相交
(1)交通標志是用文字或符號傳遞引導、限制、警告或 提出 思考 聯系
指示信息的道路設施.一般以安全、醒目、清晰、明亮的交 問題 討論 實際
通標志實施交通管理,保證道路交通安全、順暢.如圖的交
通標志表示禁止車輛臨時或長時停放,圖中的兩條線段有
什么位置關系？
創設
情
境，
借助
常用
標志
物引
發學
生關
注社
會生
活的
意識
(2) 中國紅十字會成立于 1904 年,會標如圖所示,圖中
的紅十字是否可以看成是兩條垂直的線段？
情境
導入
同一平面內,兩條直線既不平行,也不重合,這兩條直線 講解 理解 通過
就是相交的.若兩直線相交,且斜率都存在,它們的斜率有什
么關系？
與原
說明 思考 有知
識對
探索
新知
在同一平面內,若兩條直線 l 和 l 相交,且斜率 k 與 k
2
1
2
1
都存在,則 k≠k;反之,若兩條直線 l 和 l 的斜率 k 與 k 都 展示 領會 比引
1
2
1
2
1
2
且 k≠k,則這兩條直線 l 與直線 l 相交.
發學
若直線 l 的斜率不存在,而直線 l 的斜率存在,則直線 講解 理解 生思
1
2
1
2
1
2
3
l 與直線 l 相交.
考
提問 思考 通過
引導 分析 求兩
條直
1
2
例 3 判斷下列各組直線是否相交.
(1) l :2x+y-1=0,l :2x-y=0
1
2
(2) l : x=2,l :y=x+2
1
2
解 (1)由 2x+y-1=0,有 y=-2x+1,得直線 l 的斜率 k=-2;由
2x-y=0,即 y=2x,得直線 l 的斜率 k=2.
1
1
講解 解決 線的
強調 交流 斜率
判斷
2
2
因為 k≠k,所以兩條直線相交.
1
2
(2)由 x=2 知直線 l1 的斜率不存在;由 y=x+2,得直線 l2
的斜率為 k2=1.
所以兩條直線相交.
兩條
直線
是否
相交
溫馨提示
直線 l 與直線 l 相交,如
1
2
圖所示,交點 P 的坐標(x ,y )
展示 觀察 拓展
圖像 思考 學習
0
0 0
同時滿足兩條直線的方程.因
此,兩條直線的交點的坐標就
是兩條直線的方程組成的方
程組的解.
例題
辨析
提問 分析
引導 交流
例 4 判斷直線 l :x+3y-6=0與直線 l :y=x-2是否相交.若相
1
2
交,求出交點 P0的坐標.
提問 思考 兩條
x
3
1
3
解 由 x+3y-6=0,有 y= + 2,得直線 l 的斜率k = ;由
引導 分析 直線
1
1
交點
y=x-2得直線 l 的斜率 k=1.
2
2
講解 解決 位置
因為 k≠k,所以兩條直線相交.
1
2
強調 交流 的確
由兩條直線的方程組成的方程組為
x+3y 6= 0,
定體
現坐
標法
的思
想

y= x 2.

x= 3，
得 所以兩條直線的交點為 P0的坐標為(3,1).
y=1，
在同一平面內,兩條直線垂直是兩條直線相交的特殊 引領 領會 數形
情況.
結
合，
展示 觀察 逐步
提升
直觀
想象
核心
素養
探索
新知
(1)
(2)
直線 l 與直線 l 垂直,如圖(1)所示.因為直線 l 平行于 分析 思考 分析
1
2
1
x軸,所以直線 l 的斜率為 0；因為直線 l 垂直于 x軸,所以
特殊
情
1
2
直線 l2的斜率不存在.
直線 l 與直線 l 垂直且斜率 k,k 都存在,如圖(2)所示.
況，
1
2
1
2
4
設直線 l 與 l 的傾斜角分別為 α 和 α .記 α 的補角
強調
1
2
1
2
2
∠OCA為 α3.
因為 l ⊥l ,所以△ABC為直角三角形,且
指導 演算 思維
1
2
的完
AC
AB
備
k=tanα =
,
1
1
性；
AB
AC
推導
k =tanα =tan(π α )= tanα =
,
2
3
2
2
過程
故
提升
|AC| |AB|
|AB| |AC|
數學
運算
k k =

= 1.
1
2
即,若兩條直線 l 與 l 垂直且斜率 k 與 k 都存在,則
1
2
1
2
分析 交流 核心
素養
kk -1.
1 2=
反之若兩條直線 l 與 l 的斜率 k 與 k 都存在且 kk -
1
2
1
2
1 2=
1,則直線 l 與 l 垂直.
1
2
引領 領會
例 5判斷直線 l :2x+y-1=0與直線 l :x-2y=0是否垂直
1
2
提問 思考 加深
引導 分析 和鞏
固基
解 由 2x+y-1=0,得直線 l 的斜率k = 2；
1
1
1
2
由 x-2y=0,得直線 l 的斜率k = .
2
2
講解 解決 礎知
因為 kk=-1,所以直線 l :2x+y-1=0與直線 l :x-2y=0垂
1 2
1
2
強調 交流
識
直.
例 6已知直線 l 經過點 M(1,-2)且與直線 l :y=2x-1垂直，
求直線 l1的方程.
例題
辨析
1
2
提問 思考
解 由 l :y=2x-1,得直線 l 的斜率 k=2;設直線 l 的斜率為 引導 分析
2
2
2
1
1
2
k,因為 l ⊥ l ,所以 kk=-1,故有k = .
1
1
2
1 2
1
講解 解決
強調 交流
又因為直線 l1經過點 M(1,-2),所以由點斜式方程,得
1
y+ 2= (x 1)，
2
即直線 l1的方程為 x+2y+3 =0.
練習 6.3.2
提問 思考 及時
掌握
1.判斷下列各組直線是否相交.若相交,則求出交點坐
標.
學生
(1) l1:x+4=0,
l2:2x+3y-11=0；
巡視 動手 掌握
求解 情況
查漏
(2) l : 2x+3y+7=0,l :2x+y-3=0;
1
2
(3) l1: x+y-3=0, l2: 3x+3y+5=0 .
2.判斷下列各組直線是否垂直
(1) l :x+2y-1=0, l :x-2y+1=0；
鞏固
練習
指導 交流 補缺
1
2
(2) l :4x+3y-2=0, l :3x-4y+5=0；
1
2
1
2
(3) l : y= x 9, l : y=2x+1;
1
2
(4) l1:2x+3=0 ,
l2:5x-1=0.
3. 求經過點(0,2),且與直線 y=x+2垂直的直線的方程.
4.設△ABC的三個頂點分別為 A(4,0)、B(6,7)、C(0,3),
求△ABC中 BC邊上的高所在的直線的方程.
6.3.3 點到直線的距離
情境
導入
高速鐵路簡稱高鐵,是指基礎設施設計速度標準高、可 展示 思考 創設
5
供火車在軌道上安全高速行駛的鐵路,列車運營速度在 問題 問題 情境
250km/h 以上.高鐵的某一段鐵軌可以看作是兩條相互平
同時
行的直線,鐵軌間的距離是高速列車的設計時的重要參數. 引領 分析 激發
而鐵軌間的距離實際上就是兩條平行線之間的距離,如何 思考 交流 愛國
計算這個重要的參數呢？
情懷
我們知道,在平面直角坐標系中,點與直線有兩種位 引領 思考 采用
置關系：
解決
具體
的問
(1)點在直線上,點的坐標滿足直線方程；
(2)點在直線外,點的坐標不滿足直線方程.
當點 M在直線 l 外時,如圖所示,稱點 M到直線 l 的垂 展示 觀察 題后
線段 MN的長度為點 M到直線 l 的距離.
直接
給出
公
式，
突出
公式
的應
用
如果點在直線上,則點到直線的距離為 0;如果點在直
提問 思考
線外,如何求直線 l:Ax+By+C=0外一點 M(x ,y )到直線 l 的
0
0
距離呢
若點 M的坐標為(3,-2),直線 l 的方程為 x-2y+3=0,如
圖所示,我們來求點 M到直線 l:x-2y+3=0的距離.
探索
新知
展示 分析
過程 交流
(1)過點 M作直線 l 的垂線,求垂線方程.
1
由直線 l 的方程 x-2y+3=0得直線的斜率 k= .若垂線
1 2
的斜率為 k,則有 kk -1,所以 k -2.由直線的點斜式方程
2
1 2=
2=
得垂線方程 y+ 2= 2(x 3) ,即2x+ y 4= 0.
(1)求兩條直線的交點 N的坐標.
兩條直線的方程組成的方程組為
x 2y+3= 0,

2x+ y 4= 0.

x=1，
解得
所以兩條直線的交點 N的坐標為(1,2).
y= 2，
(3)求點到直線l的距離.
由兩點間距離公式得
MN = (1 3)
2
+ (2+ 2) = 2 5,
2
即點 M到直線l的距離為2 5.
6
用同樣的方法可以求得點 M(x ,y )到直線 Ax+By+C=0
0
0
的距離為
Ax + By + C
d =
0
0
A
2
+ B
2
公式稱為點到直線的距離公式.
溫馨提示
提示 注意 補充
說明
用公式求點到直線的距離時,直線的方程必須是一般
式方程.
4
提問 思考 直接
引導 分析 應用
公式
例 7求點 M(2,3)到直線 y= x 1的距離 d.
3
4
解 直線 y= x 1的一般式方程為 4x-3y-3=0,由點到直線
3
解決
的距離公式,得
講解 解決 問題
強調 交流
4×2+( 3)×3 3
4
d =
= .
5
4
2
+( 3)
2
例 8求兩條平行直線 x+y-1=0與 x+y+2=0之間的距離.
分析 先在其中一條直線上取一個坐標數值比較簡單的點,
然后利用點到直線的距離公式,求出這個點到另一條直線
的距離,即為兩條平行直線間的距離.
解 在直線 x+y-1=0上取點 M(0,1). 因為點 M(0,1)到直線
x+y+2=0的距離為
例題
辨析
提問 思考 解決
引導 分析 過程
體現
化歸
講解 解決 思想
強調 交流
1×0+1×1+ 2
3
3 2
d=
=
=
,
12 +1
2
2
2
所以兩條平行直線 x+y-1=0與 x+y+2=0之間的距離為
3 2
2
.
練習 6.3.3
1.求坐標原點到下列各直線的距離：
提問 思考 及時
掌握
(1) 3x-2y+1=0；
學生
1
(2) y= x;
巡視 動手 掌握
求解 情況
查漏
鞏固
練習
3
(3) y-5=0.
2.若點 M(2,m)到直線 3x-4y+2=0的距離為 4,求實數 m
指導 交流 補缺
的值.
3.求兩條平行直線 2x+3y-4=0與 2x+3y+18=0之間的距
離.
引導 回憶 培養
學生
提問 反思 總結
歸納
總結
學習
過程
能力
布置
1.書面作業：完成課后習題和學習與訓練；
說明 記錄 繼續
7
作業
2.查漏補缺：根據個人情況對課題學習復習與回顧;
3.拓展作業：閱讀教材擴展延伸內容.
探究
延伸
學習
8

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