資源簡介

授課 題目 6.1 兩點間距離公式和線段的 中點坐標公式 選用教材 高等教育出版社《數學》 2021十四五（基礎模塊下冊）
授課 時長 1 課時 授課類型 新授課
教學 提示 本課應用“數形結合”的方法， 在平面直角坐標系中， 借助勾股定理， 得到 了兩點間的距離公式及線段的中點坐標公式，并學習計算兩點間的距離和線段 的中點坐標.
教學 目標 通過學習兩點間的距離公式和線段的中點坐標公式，能用兩點間的距離公 式和線段的中點坐標公式的解決比較簡單的問題， 逐步提升直觀想象和數學運 算等核心素養.
教學 重點 兩點間距離公式與線段中點的坐標公式的運用.
教學 難點 兩點間的距離公式的理解；感悟數形結合的思想方法.
教學 環節 教學內容 教師 活動 學生 活動 設計 意圖
引入 圍棋起源于中國, 圍棋使用方形格狀棋盤及黑白二色 圓形棋子,棋盤上有縱橫各 19 條線段將棋盤分成 361 個交 叉點,棋子走在交叉點上,雙方交替行棋,落子后不能移動, 以圍地多者為勝. 如果把圍棋的棋盤看作平面直角坐標系,黑白棋子所 落的位置,是否可以用點的坐標表示呢？ 棋盤上棋子之間間隔大小, 中位所在,對應的就是平面 直角坐標系上兩點間的距離和線段的中點. 在平面直角坐標系中,平面上任意一點 M 與有序實數 對(a,b)一一對應,這個有序實數對就是點的坐標.反之,對 于任意一個有序實數對(a,b)，都有平面上唯一的一點 M 與 它對應. 講解 理解 結合 實際 問題 和圖 形， 引導 學生 觀察 分析 圖形 特點 逐步 提升 直觀 想象 核心 素養
說明 思考
展示 領會
介紹 了解
情境 導入 1. 兩點間距離公式 數軸上的點與實數是一一對應的，若點 A 對應的實 數是-1，點 B 對應的實數是 2，那么 A、B 兩點間的距離 是多少？在平面直角坐標系中， 每個點對應著一對有序實 數對， 即每個點都有坐標， 那么兩個點間的距離與它們的 坐標有著怎樣的關系呢？ 提出 問題 引發 思考 思考 分析 回答 結合 原有 知識 數形 結合 思考
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探索 新知 點 M(a,b)到 x 軸的距離為|b|，到 y 軸的距離為|a|. 如圖， 在平面直角坐標系中， 點 A 的坐標為(1,2),點 B 的坐標為(5,5),點 C 的坐標為(5,2),則點 A 與點 C 之間的距 離|AC|=|5-1|=4,點 B 與點 BC 之間的距離|CB|=|5-2|=3. 在直角△ABC 中,根據勾股定理,有 |AB|2=|AC|2+|CB|2=42+32=25， |AB|= =5, 即 A、B 兩點間的距離為 5. 講解 理解 結合 圖形 引導 學生 觀察 分析
說明 思考
展示 領會
(
(
2
)
)(1) 一般地,設點 A 的坐標為(x1,y2), 點 B 的坐標為(x2,y2), 則點 C 的坐標為(x2,y1),且有|AC|=|x2-x1 |,|BC|=|y2-y1 |. 在直角△ABC 中,根據勾股定理,有 |AB|2=|AC|2+|CB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2， 即 A、B 兩點間的距離為 |AB|= (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 . 公式稱為兩點間距離公式 講解 理解 歸納 總結 距離 公式 強調 要點
例題 辨析 例 1 計算 P1(2,-5) 與 P2(5,-1)兩點間的距離. 解 由兩點間距離公式,得 P1 P2 = = =5 , 即 P1 與 P2 兩點間的距離 5. 提問 引導 講解 強調 思考 分析 解決 交流 直接 運用 公式 計算
情境 導入 2. 線段的中點坐標公式 若數軸上點 A 對應的實數是-1,點B 對應的實數是 2， 線段 AB 的中點是點 C,那么如何求點 C 對應的實數？ 若線段的兩個端點分別為 A(x1,y1)和 B(x2,y2),線段 AB 的中點為 M(x0,y0),如何求線段 AB 的中點 M(x0,y0)的坐標 呢 提出 問題 引發 思考 展示 圖像 思考 結合 圖形 引導 學生 觀察 分析
分析 交流 分析 交流
探索 新知 分別過點 A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0)向 x 軸作垂線,垂 足分別是點 A’(x1,0) 、B’(x2,0), M’(x0,0),則|A’M’|=|M’B’|. 由 于 |A’M’|=|x0-x1 |=x0-x1, |M’B’|=|x2-x0 |=x2-x0 . 所以 x0-x1=x2-x0, 即 講解 理解 歸納 概念 突出 強調 規范
說明 思考
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(
x
+
x
) (
同理
,
分別過點
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
、
M
(
x
0
,
y
0
)
向
y
軸作垂線
,
則 有
y
0
+
y
2
y
0
=
.
2
因此
,
若已知點
A
(
x
1
,
y
1
)
和
B
(
x
2
,
y
2
)
且線段
AB
的中點為
)1 2 (
x
=
.
2
)0 M(x0,y0),則有 x1 +x2 y1 + y2 x0 = ,y0 = . 2 2 公式稱為線段 AB 的中點坐標公式. 展示 領會 表述 和注 意事 項
講解 理解
例題 辨析 例 2 已知點 A(2,3) , B(8, 3) ,求線段 AB 的中點坐標. 解 設線段 AB 的中點為 M(x0,y0), 由中點坐標公式,得 x0 = = 5 , y0 = = 0 , 即線段 AB 的中點 M 的坐標為(5,0) . 例 3如圖，已知△ABC 的三個頂點分別是 A(2,4)、B(-1,1)、 C(5,3). (1)求 BC 邊上的中點 D 的坐標； (2)計算 BC 邊上的中線的長度. 分析 (1)已知點 B(-1,1)、C(5,3), 由中點坐標公式, 即可求出 BC 邊上的中點 D 的坐標. (2)連接點 A 和點 D,得到 BC 邊上的中線 AD, 由兩點 間距離公式, 即可求出線段 AD 的長度. 解 (1)設線段 BC 的中點 D 的坐標為(x0,y0), 由點 B(-1,1)、 C(5,3)和中點坐標公式,得 1 + 5 1 + 3 x0 = = 2 , y0 = = 2 , 2 2 即 BC 邊上的中點 D 的坐標為(2,2). (2)由兩點間距離公式,得 AD = (2 2)2 + (2 4)2 = 2 , 即 BC 邊上的中線長度為 2. 探究與發現
已知線段兩個端點的坐標,可以確定線段中點的坐標. 提問 引導 講解 強調 提問 思考 分析 解決 交流 思考 直接 運用 公式 鞏固 知識 綜合 運用 知識 建立 知識 間的 聯系 培養 學生 分析 問題 和解 決問 題的 能力
引導 分析
講解 解決
強調 交流
提問 引導 思考 交流
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如果知道線段的一個端點和中點的坐標,能否確定另一個 端點？怎么求它的坐標？ 引發 思考 分析 問題 拓展 學習
鞏固 練習 練習 6.1 1.如圖,寫出點 M、N 、P 、Q 的坐標. 2.求下列兩點間的距離和以兩點為端點的線段的中 點坐標： (1) A( 1, 0), B(2,3) ； (2) C(4,3), D(7, 1) ； (3) P(0,3),Q(0, 2) . 3.如圖所示, 已知△ABC 的三個頂點分別是 A(2,2)、 B(2,0) 、C(0,2). (1)求 BC 邊上的中點 D 的坐標； (2)計算 BC 邊上的中線 AD 的長度. 4. 已知點 A(3a,3b), B(3b,3a) ,求 A、B 兩點間的距離和 線段 AB 的中點坐標. 提問 思考 及時 掌握 學生 掌握 情況 查漏 補缺
巡視 動手 求解 交流
指導
歸納 總結 引導 提問 回憶 反思 培養 學生 總結 學習 過程 能力
布置 1.書面作業： 完成課后習題和學習與訓練； 說明 記錄 繼續
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作業 2.查漏補缺： 根據個人情況對課題學習復習與回顧; 3.拓展作業： 閱讀教材擴展延伸內容. 探究 延伸 學習
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