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(共29張PPT)
1.3弧度制
北師大版（2019）必修第二冊(cè)
第一章 三角函數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
在弧度制與角度制的互化中，要注意正確使用180°等于π rad的變形
02
通過(guò)學(xué)習(xí)弧度制的概念，掌握弧度制與角度制之間的互化，掌握弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算公式
01
情境導(dǎo)入
在線段長(zhǎng)度的度量中，我們引入一個(gè)單位線段，以它為單位來(lái)度量其他線段或曲線的長(zhǎng)度.
在面積的度量中，我們引入一個(gè)以單位線段為邊長(zhǎng)的單位正方形，以它為單位來(lái)度量其他圖形的面積.
1
2
1
3
2
4
情境導(dǎo)入
在體積的度量中，我們引入一個(gè)以單位線段為棱長(zhǎng)的單位立方體，以它為單位來(lái)度量其他幾何體的體積.
1
3
2
在角的度量中，我們選取一個(gè)周角，把它360等分而得到角的度量單位(單位角度)，以它為單位去度量其他角的大小.
顯然，角的度量單位(單位角度)，與單位線段無(wú)關(guān).
思考：即在幾何圖形的各種度量中，除了角度之外，其他的度量(長(zhǎng)度、
面積、體積等)都是以單位線段為基礎(chǔ)的.
能否用線段的單位長(zhǎng)度來(lái)建立角的度量單位呢，從而把幾何度量都建立在一個(gè)共同的基礎(chǔ)(長(zhǎng)度的度量)上呢？
以角的頂點(diǎn)為圓心畫單位圓（半徑為單位長(zhǎng)度1的圓），用這個(gè)角在此圓上所對(duì)應(yīng)的弧的長(zhǎng)度來(lái)度量這個(gè)角.
問(wèn)題：（1）如圖，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB形成角α．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線OA上的點(diǎn)P(不同于點(diǎn)O)的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對(duì)應(yīng)于圓心角α．設(shè)α＝n°，OP＝r，點(diǎn)P所形成的圓弧 的長(zhǎng)為l．回憶初中所學(xué)知識(shí)，弧長(zhǎng)l如何用圓心角α來(lái)表示？
O
A
B
α
P
P1
弧長(zhǎng)與半徑存在怎樣的關(guān)系？
問(wèn)題：（2）如圖，在射線OA上任取一點(diǎn)Q(不同于點(diǎn)O和P)，OQ＝r1．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)Q所形成的的圓弧 的長(zhǎng)為l1，那么l1與r1的比值是多少？你能得出什么結(jié)論？
O
A
B
α
P
P1
Q1
Q
結(jié)論：圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值，只與α的大小有關(guān).
即這個(gè)比值隨α的確定而唯一確定，因此可以用弧長(zhǎng)和半徑的比值表示圓心角．
定義
（1）1弧度的角：長(zhǎng)度等于1的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角. 單位符號(hào)rad，讀作“弧度”（可以省略）.
特別地，在單位圓中，每一段弧的長(zhǎng)度就是它所對(duì)圓心角的弧度數(shù).
（2）弧度制：用弧度作為單位度量角的制度，叫作弧度制.
O
A
B
1 rad
1
1
如圖，在單位圓中， 的長(zhǎng)等于1，∠AOB就是1rad的角.
思考：如果將半徑為1的圓一條半徑OB，繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OA，若弧AB長(zhǎng)為2，那么∠AOB的大小為多少弧度？
∠AOB＝－2 rad
類比角度制，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定．
弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
（1）正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)；
（2）負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)；
（3）零角的弧度數(shù)是0。
角的集合
實(shí)數(shù)集
思考：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)弧度制與角度制有哪些不同？
第一，弧度制以線段長(zhǎng)度來(lái)度量角，角度制是“以角量角”；
第二，弧度制是十進(jìn)制，角度制是六十進(jìn)制；
第三，1弧度是等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小，而1°的角是周角的
第四，無(wú)論是以“弧度”還是以“度”為單位，角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值．
思考：角可以分別用角度和弧度度量，角度和弧度之間有什么關(guān)系呢？
如圖，以角的頂點(diǎn)為圓心畫單位圓（半徑為單位長(zhǎng)度1的圓），則角(設(shè))與其對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)有什么關(guān)系？
O
B
r =1
A
O
B
r =1
A
①當(dāng)時(shí)，，
即在單位圓中，1個(gè)圓周所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是，
②當(dāng)時(shí)，，
即在單位圓中，的角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是（），
③當(dāng)時(shí)，，
即在單位圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角是(度).
角度制與弧度制的換算：
弧度數(shù) = 角度數(shù)×
角度數(shù) = 弧度數(shù)×
對(duì)于任意角，每一個(gè)角β都可以表示成
而360°角對(duì)應(yīng)2π弧度角，因此只需把角α用弧度角α 表示，就可以得到角β的弧度角β ，即
例1 把下列各角的角度化成弧度：
（1）； （2）。
解：(1)；
(2).
例2 (1)把化成度； (2)把化成度.
解：(1)；
(2).
試一試：運(yùn)用換算公式，填寫下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)：
度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360°
弧度 π
60° 90°
180° 270°
0
2π
對(duì)于之外的特殊角，不難得到它們的弧度數(shù).
例如，420°＝360°＋60°＝(2π＋) rad＝ rad
“皮尺”纏繞法：
如圖，單位圓與數(shù)軸相切于原點(diǎn)，把數(shù)軸看作是一個(gè)“皮尺”，對(duì)于任意一個(gè)正數(shù)，他對(duì)應(yīng)正半軸上的點(diǎn)，線段按逆時(shí)針?lè)较蚶p繞到圓上，點(diǎn)對(duì)應(yīng)單位圓上點(diǎn).
這樣就得到一個(gè)以點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為始邊，經(jīng)過(guò)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)以為終邊的圓心角，該角的弧度數(shù)為正數(shù).
即對(duì)于任意一個(gè)正角，正半軸上有唯一一個(gè)正數(shù)與之對(duì)應(yīng).
同理，對(duì)于任意一個(gè)負(fù)角，負(fù)半軸上也有唯一一個(gè)負(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng).
探究 在半徑為的圓中，設(shè)扇形的圓心角為，
其弧度數(shù)為，則。
（1）如何用扇形的弧度數(shù)表示扇形的弧長(zhǎng)？
（2）如何用扇形的弧度數(shù)表示扇形的面積？
在半徑為的圓中，圓心角為的扇形弧長(zhǎng)
扇形的面積
|
(1)弧長(zhǎng)公式中的角必須使用弧度制，角度制下的弧長(zhǎng)公式為(n為角的角度數(shù))
知識(shí)剖析
(2)用公式求圓心角時(shí)，應(yīng)注意其結(jié)果是圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值，具體應(yīng)用時(shí)，既要注意其大小，又要注意其正負(fù).
弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式
弧度制下的扇形面積公式
拓展
實(shí)際生活中的弧長(zhǎng)與面積問(wèn)題
旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中比比皆是，旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速、半徑、圓心角等都可以與弧長(zhǎng)和面積聯(lián)系起來(lái).對(duì)弧長(zhǎng)和面積公式應(yīng)當(dāng)熟記，要清楚圓心角與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，即，t為旋轉(zhuǎn)時(shí)間.
知道圓心角的大小之后，就能根據(jù)公式求得所對(duì)應(yīng)弧的弧長(zhǎng)與面積.
當(dāng)堂檢測(cè)
D
D
C
AC
AC
感謝您的聆聽(tīng)與指導(dǎo)
General template of fresh teaching
授課人：一一

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