資源簡介

(共30張PPT)
1.1周期變化
北師大版（2019）必修第二冊
第一章 三角函數
學習目標
學習周期函數的概念，運用其來判斷函數是否為周期函數，掌握最小正周期的求法
02
本節的重點在于能熟練地判斷出周期函數的周期，并能利用周期解答相關問題
03
了解周期變化在現實中廣泛存在，并感受周期變化對實際工作的意義
01
四季交替
情境導入
月亮的圓缺變化
單擺運動
情境導入
時針、分針、秒針的運行
我們日常生活和自然界中，還有哪些周期性變化的實例？
實例分析
水車上點 P 到水面的距離為 y ，假設水車勻速轉動，則每經過時間 t ，點 P 又回到原來的位置.
那么 y 隨時間 t 的變化是怎樣的一種變化？
這個例子中的周期變化是函數 y 的周期變化.
y 每經過時間 t 就會取相同的值，因此，y 隨時間 t 的變化是周期性變化.
例1 討論函數f(x) ＝(-1)[x]的圖象和性質．
對于每一個實數x，其函數值y=[x]是不超過x的最大整數，它不是偶數就是奇數．
思考：函數y＝[x]是怎樣的函數？
作出函數f(x) ＝(-1)[x]的圖象
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
1
-1
O
x
y
當[x]為偶數時，函數f(x) ＝(-1)[x]＝1；
當[x]為奇數時，函數f(x) ＝(-1)[x] ＝-1.
思考：根據圖象，討論函數 f(x) =(-1)[x]的性質．
1
x
y
-1
從代數的角度看，對自變量 x 的任意一個值，每增加2，其函數值保持不變.
即 f ( x +2 ) = f ( x )
這種變化是重復進行的，所以函數的變化是周期性的.
例2 討論函數f(x) ＝x－[x]，畫出它的圖象，并觀察其性質.
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
1
-1
從圖中得到函數f(x) =x-[x]的哪些性質
觀察圖像，可以得到，對任意一個實數x，每增加1的整數倍，其函數值保持不變，也就是說，在相同的“間隔”下，這種變化是重復進行的，所以該函數的變化也是一種周期變化．
函數f(x) =x-[x]的意思是一個數減去它的整數部分，只保留其小數部分，清楚這個意思，就很容易畫出它的圖象了．
O
x
y
定義
一般地，對于函數 y＝f(x)，x∈D，如果存在一個非零常數T，使得對任意的 x∈D ，都有 x+T∈D且滿足
f(x+T)＝f (x)，
那么函數 y=f(x) 稱作周期函數，非零常數 T 稱作這個函數的周期.
例1中的函數 f ( x ) ＝ (-1)[x] 滿足 f ( x +2 ) ＝ f ( x ) ，T ＝ 2 .
例2中的函數 f ( x ) ＝ x -[x]滿足 f ( x +1 ) ＝ f ( x ) ， T ＝1 .
問題1：如何理解概念中的“任意”？
周期函數定義中的“f(x+T)＝f(x)”是對定義域中的每一個x值來說的，只有個別的 x 值滿足f(x+T)＝f(x)，不能說T是y＝f(x)的周期．
問題2：為什么規定T非零？（T若為零，則任意函數都是周期函數．）
若為零，則任意函數都是周期函數．
問題3：常數函數 f(x)＝c，x∈R是周期函數嗎？其周期是什么？（是周期函數，其周期是
任意非零實數．）
是周期函數，其周期是任意非零實數．
例1中函數 f ( x ) = (-1)[x] 滿足
f ( x +2 ) = f ( x )， T = 2
思考：對于周期函數，它的周期只有一個嗎？
1
x
y
-1
不止一個
例1中函數 f ( x ) = (-1)[x] 滿足
f ( x +4 ) = f ( x )， T = 4
例1中函數 f ( x ) = (-1)[x] 滿足
f ( x +6 ) = f ( x )， T = 6
例1中函數 f ( x ) = (-1)[x] 滿足
f ( x +2k ) = f ( x )， T = 2k，k∈Z
那么還有哪些數是函數 f ( x )的周期呢 ？
按例1的方法來分析例2，我們發現還有哪些數是函數 f ( x )的周期呢 ？
例2中函數 f ( x ) ＝ x -[x]滿足
f ( x +1 ) = f ( x )， T = 1
1
y
x
-1
例2中函數 f ( x ) ＝ x -[x]滿足
f ( x +k ) ＝ f ( x )， T ＝ k， k∈Z
(1)周期函數的周期不是唯一的，如果T是函數 f(x)的周期，那么nT(n∈Z，n0)也一定是它的周期；
知識剖析
(2)只有個別 x 值或只差個別的 x 值滿足 f(x＋T)＝f(x)時，都不能說T是 f(x)的周期.
思考：既然周期不唯一，如何選取某一個周期作為代表來表征函數的周期呢？
定義
如果在周期函數y＝f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就稱作函數y＝f(x)的最小正周期.
若不加特別說明，本書所指周期均為函數的最小正周期.
例3 討論函數是否為周期函數，如果是，請指出它的周期．
解：當時，函數值分別為8，6，8，6，8，···
顯然函數為周期函數，且周期
證明如下：
對
即，所以2是函數的一個周期.
提示：判斷一個函數是否是周期函數，可以通過函數值先直觀判斷，然后再根據周期函數的定義證明！
拓展
在第一冊我們學過奇函數、偶函數，由此推出函數的對稱性，下面我們探討函數的周期性有什么常用的結論．若存在非零常數 a，使函數 f(x)在定義域上滿足：f(x＋a)＝－f(x)，則 f(x)是周期函數嗎？若是，其周期是什么？
由已知得，f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝－［－f(x)］＝f(x)，
根據周期函數的定義，f(x)是以2a為一個周期的周期函數．
拓展
若存在非零常數a，使函數 f(x)在定義域上滿足：f(x＋a)＝ ，則 f(x)是周期函數嗎？若是，其周期是什么？
根據周期函數的定義，f(x)是以 2a為一個周期的周期函數．
由已知得，f(x＋2a)＝f(x)，
拓展
我們知道若函數y＝f(x)滿足：（1）f(x＋2a)＝f(－x)，函數y＝f(x)關于x＝a對稱；（2）f(x＋2a)＝－f(－x)，函數y＝f(x)關于點(a，0)對稱．
你能根據周期的定義，說出函數的周期性與對稱性的區別嗎？
函數具有周期性滿足 f(x＋2a)＝ ±f(x)，
用語言表示為：“內同表示周期性，內反表示對稱性”．
若 f(x＋2a)＝±f(－x)，函數 f(x)具有對稱性，
拓展
周期函數除常見的定義式 f（x＋T）＝f(x)外，還有如下四種形式：
以上四種形式的函數都是以2a為周期的周期函數．
f（x＋a）＝－f（x）；
f（x－a）＝f（x＋a）．
f（x＋a）＝ ；
f（x－a）＝－ ；
當堂檢測
B
D
BC
感謝您的聆聽與指導
General template of fresh teaching
授課人：一一

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