資源簡介

(共34張PPT)
1.2任意角
北師大版（2019）必修第二冊
第一章 三角函數
學習目標
會建立平面直角坐標系來討論任意角，理解象限角的定義，掌握終邊相同的角的表示方法
02
通過對角的概念推廣的學習，理解任意角的概念
01
知識回顧
初中我們學過了角，角的概念是什么？角的范圍是多大？
射線
射線
角
有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.
公共端點叫角的頂點.
兩條射線叫角的兩條邊.
——角的靜態定義
邊
邊
頂點
B
O
A
范圍：
0°～360°
知識回顧
角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形．
——角的動態定義
O
A
B
射線
始邊
終邊
頂點
角
知識回顧
（B）
（B）
OB和OA重合時，又形成什么角？
O
A
如圖，射線OA繞點O旋轉.
平角（180°）
周角（360°）
OB和OA成一條直線時，形成什么角？
實例分析
(1)跳水運動員身體在空中旋轉的周數如何用數學語言描述？
(1) 跳水中有前空翻轉體540°，后空翻轉體720°，這些角的度數都大于360°，而且方向不相同；
實例分析
(2)如果你的手表快了5分鐘，該如何校準？校準完成后，分針、秒針各轉了多少度？
(2)通過校準手表我們發現時針和分針都進行了逆時針旋轉，旋轉的度數也不同，分針按逆時針方向旋轉了30°，秒針按逆時針方向旋轉了5圈．
實例分析
(3)工人師傅在擰緊或擰松螺絲時，扳手如何轉動？轉動的角度如何用數學語言描述？
(3)擰緊螺絲時，需要將扳手順時針方向旋轉，如順時針轉2圈，即順時針旋轉720°．擰松螺絲時，需要將扳手逆時針方向旋轉，如逆時針轉2圈，即逆時針旋轉720°．
思考：我們如何表示那些大于360°的角，和朝兩個相反方向旋轉的角呢？
角的概念
平面內一條射線OA繞著端點O按照箭頭所示方向旋轉到終止位置OB，形成角α．其中，點O是角α的頂點，射線OA是角α的始邊，射線OB是角α的終邊．
O
A
B
頂點
始邊
終邊
α
角的概念被推廣后，角度的范圍不再局限于[0°，360°)，它可以是任意角.
思考：我們如何表示那些大于360°的角，和朝兩個相反方向旋轉的角呢？
角的分類：按一條射線繞其端點的旋轉方向，角可以分為三類：
正角：按逆時針方向旋轉形成的角，如圖∠α；
負角：按順時針方向旋轉形成的角，如圖∠β；
零角：沒有做任何旋轉形成的角.
O
A
B
α
正角
O1
A1
B1
β
負角
注意1：用圖像表示角時，箭頭的方向體現角的正負，因此箭頭不能少.
注意2：正負僅表示方向，不表示大小；角度絕對值可以比較大小
練一練：學習了任意角的概念，同學們能畫出下列各角嗎？
正角α＝210°，負角β＝－150°，負角γ＝－660°．
正角α＝210°即角的始邊逆時針旋轉210°
負角β＝－150°即角的始邊順時針旋轉－150°
負角γ＝－660°即角的始邊順時針旋轉－660°
α＝210°
β＝－150°
γ＝－660°
思考：將角放在一個平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，始邊在 x 軸的非負半軸，旋轉該角，則其終邊（除端點外）可能落在什么位置？
x
y
O
以角的終邊（除端點外）在平面直角坐標系的位置對角分類：使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角.
如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限．
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
象限角：將角放在一個平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸上.以角的終邊(除端點外)在平面直角坐標系的位置對角分類：角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，這個角就不屬于任何象限，可稱這個角是軸線角.
(1)如果角的頂點不與坐標原點重合，或者角的始邊不與x軸的非負軸重合，那么就不能把它稱為象限角.
知識剖析
(2)一個角是第幾象限角，與旋轉的圈數和方向無關，只與角的終邊所在的位置有關
(3)象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小
練一練：指出它們分別是第幾象限角？
405°，－200°，－510°，－50°，310°
O
x
y
－200°
O
x
y
405°
第一象限角
O
x
y
－510°
O
x
y
－50°
310°
第二象限角
第三象限角
第四象限角
想一想：銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角么？
銳角一定是第一象限角．
第一象限角不一定是銳角．
例如：405°是第一象限角，但卻不是銳角．
O
x
y
405°
第一象限角
思考：在同一平面直角坐標系內作出30°，390°，－690°，觀察它們的終邊有什么關系，這些角有什么樣的數量關系？
解：圖像如圖所示，
觀察圖像可知：390°和－690°的角與30°的角終邊相同.
390°＝30°＋360°，－690°＝30°＋(－2)×360°.
思考：設集合S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}，那么390°，－690°角是集合S中的元素嗎？30°角是集合中的元素嗎？集合S的任一元素與30°角終邊相同嗎？
解：390°，－690°角是集合S中的元素，30°角是集合中的元素
容易看出：所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內，都是集合S的元素.
反之，集合S的任一元素的終邊顯然與30°角終邊相同.
定義
一般地，給定一個角，所有與角 終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合，
即任何一個與角終邊相同的角都可以表示成角與周角的整數倍的和．
(1)當角的始邊相同時，若角相等，則其終邊一定相同.始邊相同，終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍.
知識剖析
(2)終邊相同的角的表示方式不唯一.對于集合A＝{x|x＝30°＋k·360°，k∈Z}和集合B＝{x|x＝－330°＋k·360°，k∈Z}，它們是兩個相等的集合，由此可以說明，終邊相同的角的表示方式不唯一.
軸線角的集合
角終邊的位置 角的集合表示
在軸的非負半軸上
在軸的非正半軸上
在軸的非負半軸上
在軸的非正半軸上
在軸上
在軸上
在坐標軸上
例1 判斷下列各角是第幾象限角．
（1）－60°； （2）945°； （3）－950°12′．
解：（1）因為－60°角的終邊在第四象限，所以它是第四象限角；
（2）因為945°＝225°＋2×360°，所以945°與225°角的終邊相同，而225°角的終邊在第三象限，所以945°角是第三象限角；
（3）因為－950°12′＝129°48′＋（－3）×360°，所以－950°12′與129°48′角的終邊相同，而129°48′角的終邊在第二象限，所以－950°12′角是第二象限角．
例2 寫出終邊在平面直角坐標系y軸上的角的集合．
O
x
y
90°
270°
解：在0～360內，終邊在y軸上的角有兩個，即90，270，
因此，與90角終邊相同的角構成集合S1＝{β|β＝90＋k 360，k∈Z }．
與270角終邊相同的角構成集合S2＝{β|β＝270＋k 360，k∈Z}．
于是，終邊在y軸上的角的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝90＋k 360，k∈Z }∪{β|β＝90＋180＋k 360，k∈Z }
＝{β|β＝90＋2k 180，k∈Z }∪{β|β＝90＋（2k＋1）180，k∈Z }
＝{β|β＝90＋k 180，k∈Z }
例3 寫出與60角終邊相同的角的集合S，并把S中適合－360≤β＜720的元素β寫出來．
解：S＝{β | β ＝60＋k 360，k∈Z}．
S中適合－360≤β＜720的元素應滿足－360≤60＋k 360＜720；
解得： ，又k∈Z，所以k＝－1，0，1；
所求元素分別為：60＋（－1）360＝－300，
60＋0360＝60，
60＋1360＝420 ．
思考：已知角α為銳角，那么角α的終邊與角α＋180°，α－180°，180°－α終邊的幾何關系分別是什么？如果角α是任意角呢？請畫圖說明.
x
y
O
α
α＋180°
x
y
O
α
α－180°
x
y
O
α
180°－α
關于原點對稱
關于y軸對稱
思考：已知角α為銳角，那么角α的終邊與角α＋180°，α－180°，180°－α終邊的幾何關系分別是什么？如果角α是任意角呢？請畫圖說明.
x
y
O
α
α＋180°
關于原點對稱
x
y
O
α
α－180°
x
y
O
α
180°－α
關于y軸對稱
拓展
已知角α的終邊所在的象限，要確定的終邊所在象限的常用方法有以下兩種：
一是分類討論.先利用已知條件寫出 α 的范圍(用k表示)，由此確定 的范圍，然后對k進行分類討論，從而確定 所在的象限.
二是幾何法.先把各象限分為n等分，再從 x 軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區域標上一、二、三、四，一、二、三、四·····則 α 原來是第幾象限角，對應的標號所在的區域即為 終邊所在的區域.
當堂檢測
D
D
BD
BCD
感謝您的聆聽與指導
General template of fresh teaching
授課人：一一

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