資源簡介

(共38張PPT)
1.5.2余弦函數的圖象與性質再認識
北師大版（2019）必修第二冊
第一章 三角函數
學習目標
利用余弦函數的圖象再認識其性質（定義域、周期性、單調性、最值、值域、奇偶性、圖象與x軸的交點等性質）；
02
用描點法畫出y＝cos x的圖象，進一步理解余弦函數的性質
01
通過對余弦函數圖象研究的過程，深化對一般函數研究方法的再認識，通過從單位圓和圖象兩個不同的角度去觀察和認識三角函數的變化規律，提高學生直觀想象素養．
03
知識回顧
函數 y=sin x
性質 定義域 R
值域 [－1，1]
周期性 是周期函數，周期為2kπ(k∈Z)，最小正周期為
最值 當，時，取得最大值1
當時，取得最小值-1
單調性 增區間 ，
減區間 ，
奇偶性 奇函數
對稱性 對稱軸為 對稱中心為點
思考：我們用描點法和單位圓作出正弦函數的圖像，如何用描點法和單位圓作出余弦函數的圖象？x的取值與正弦函數的x取值一致嗎？
利用列表、描點、連線的方法描余弦函數的圖像，
x的取值與正弦函數的x取值一致．
怎樣畫余弦函數y＝cos x在R上的圖像？
由于余弦函數y＝是以為周期，我們只需要畫出區間內余弦函數的圖象，再利用周期性將其延拓到整個定義域上．
在區間上取一系列的值（的值取得越多，圖象越精確，曲線越光滑），例如0，，，，，，列表，描點做出圖象：
0
1 0 1
表格中的數據，也有一些無理數，怎樣在平面直角坐標系中比較準確地畫出這些無理數？
類比正弦函數圖像的畫法，借助單位圓畫出這些無理數．
思考：將函數y＝cos x，x∈［0，2π］的圖像怎樣平移可以得到余弦函數在整個定義域上的圖象？這條曲線叫什么曲線？
由周期性，函數y＝在區間上與在區間上的函數圖象形狀完全相同，將函數y＝，的圖象向左、右平移（每次平移個單位長度），就可以得到余弦函數y＝，的圖象（如圖）．余弦函數的圖象叫做余弦曲線．
思考：觀察余弦函數y＝cos x，x∈［0，2π］的圖象，你認為哪些點起著關鍵性的作用，理由是什么？
你還能舉出一些這樣的例子嗎？
-
-
-
-1
1
-
-1
在函數 的圖象上，起關鍵作用的點有：
最高點：
最低點：
與x軸的交點：
思考：觀察余弦函數y＝cos x，x∈［0，2π］的圖象，你認為哪些點起著關鍵性的作用，理由是什么？
根據余弦曲線的基本性質，描出(0，1)， (，0) ， (π，－1)， (，0)， (2π，1)這五個關鍵點后，函數y＝，]的圖象形狀就基本確定了．
在精度要求不太高時，我們常常先找出這五個關鍵點，然后用光滑曲線將它們連接起來，就得到余弦函數的簡圖．這種作余弦曲線的方法稱為“五點（畫圖）法”．
思考：除了描點作圖，我們還可以用其他方法畫出y＝cos x的圖象嗎？
即余弦函數y＝cos x的圖像可以通過正弦函數y＝sin x向左平移 個單位長度得到．
由誘導公式cos x＝ 　　　 可知，y＝cos x的圖像就是函數y＝ 的圖像，
x
y
O
2π
π
1
y=sin x
-1
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

余弦函數的圖象
正弦函數的圖象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y＝cos x＝sin(x+ ), x R
余弦曲線
(0,1)
( ,0)
( ,-1)
( ,0)
( 2 ,1)
正弦曲線
形狀完全一樣只是位置不同
例4 畫出函數y＝cos(x－π)在一個周期上的圖象.
解：按五個關鍵點列表
π 0
π 2π 3π
1 0 0 1
于是得到函數y＝cos(x－π)在區間[π，3π]上的五個關鍵點：，， ，，
描點，并用光滑曲線將它們順次連接起來，就畫出函數在一個周期上的圖象(如圖).
同樣的，我們也可以根據誘導公式y =，畫出y =的圖象．
問題：觀察余弦函數圖象，你能從中看到哪些性質，并將看到的性質用數學語言描述．
一、定義域
余弦函數的定義域是R
二、最大(小)值和值域
當α＝2kπ，k∈Z時，余弦函數 y＝cos x 取得最大值1；
當α＝(2k+1) π， k∈Z時，余弦函數取得最小值－1.
從余弦函數的圖象可以看出，余弦曲線夾在兩條平行線y＝1和y＝－1之間，所以余弦函數的值域為[－1，1].
問題：觀察余弦函數圖象，你能從中看到哪些性質，并將看到的性質用數學語言描述．
三、周期性
由于余弦函數y＝cos x 的圖象是由正弦曲線 y＝sin x 向左平移 個單位長度得到的，可以證明，余弦函數是周期函數，它的最小正周期是2π.
因此，為了研究問題方便，通常選取區間[0, 2π]討論其性質，然后延拓到定義域R上.
問題：觀察余弦函數圖象，你能從中看到哪些性質，并將看到的性質用數學語言描述．
四、單調性
如圖，在余弦函數 y＝cos x 的圖象中，選取區間[0, 2π]，可以看出，
當 x 由 0 增加到 π 時，cos x 的值由 1 減小到1；
當 x 由 π 增加到 2π 時，cos x 的值由1 增加到1.
因此，余弦函數在區間[0, π]上單調遞減，在區間[π, 2π]上單調遞增.
問題：觀察余弦函數圖象，你能從中看到哪些性質，并將看到的性質用數學語言描述．
四、單調性
由余弦函數的周期性可知，正弦函數
在每一個區間上都單調遞增
在每一個區間上都單調遞減
也可寫成
在每一個區間上都單調遞增
在每一個區間上都單調遞減
問題：觀察余弦函數圖象，你能從中看到哪些性質，并將看到的性質用數學語言描述．
五、奇偶性
由余弦曲線(如圖所示)可知，其圖象關于軸對稱，
由誘導公式可知，，
所以余弦函數是偶函數.
思考交流：我們知道正函數圖像的對稱性．請問余弦函數有對稱軸嗎？有對稱中心嗎？如果有，請寫出它的對稱軸方程和對稱中心的坐標；如果沒有，請說明理由．
余弦函數有對稱軸，對稱軸是x＝kπ，k∈Z，
也有對稱中心，
也是曲線與x軸的交點，即 ，k∈Z．
余弦函數性質可總結為下表：
圖像
定義域 R
值域 [－1，1]
最大值，最小值 當x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；
當x＝2kπ＋π（k∈Z）時，ymin＝－1
周期性 周期函數，T＝2π
單調性 在［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）上是增加的；
在［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）上是減少的
奇偶性 偶函數，圖像關于y軸對稱
對稱性 圖像關于y軸對稱，對稱中心（kπ＋ ，0），k∈Z；對稱軸x＝kπ，k∈Z
(1)若函數的定義域不是R，則一定要在給定區間內結合單調性求其值域與最值.
知識剖析
(2)利用函數y＝cos x的值域和最值，可以求出復合函數的值域和最值.
(3)余弦曲線的對稱軸一定過余弦曲線的最高點或最低點，即此時的余弦值取最大或最小值.
(4)正余弦曲線的對稱中心一定是余弦曲線與 x 軸的交點，即此時的余弦值為0.
(5)判斷余弦型函數的奇偶性，關鍵是判斷 f(x) 與 f(－x) 的關系，但前提是其定義域必須關于原點對稱.
例5 畫出y＝1在一個周期上的圖象，并根據圖象討論函數的性質．
解：函數y＝的最小正周期是，按五個關鍵點列表
利用內五個關鍵點確定y=1的圖象．
0
y= 1 0 0 1
y=1 0 2 1 0
于是得到函數y＝cos x－1在區間[0，2π]上的五個關鍵點：
，， ，，
描點，并用光滑曲線將它們順次連接起來，就畫出函數y＝cos x－1在區間[0，2π]上的圖象(如圖).
由函數y＝cos x－1的圖象得到它的主要性質如下表：
函數 y=1
定義域 R
值域
奇偶性 偶函數
周期性 周期函數，周期是2
單調性 在每一個閉區間，單調遞增；
在每一個閉區間，單調遞減
最大值與最小值 當=時，最大值為0；
當=時，最小值為2
思考交流：如何借助余弦函數的圖像解不等式cos x≥ ？
如圖，
過 點作 x 軸的平行線，
從圖像中看出：在［－π，π］區間與余弦曲線交于 　　　　　　 　點，
在［－π，π］區間內，cos x≥ 時，x的集合為
所以不等式的解集為
當堂檢測
A
A
B
AC
2
0
感謝您的聆聽與指導
General template of fresh teaching
授課人：一一

展開更多......

收起↑