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第一章 數與式
第03講 分式
中考考點 考查頻率 新課標要求
分式的相關概念 ★ 了解分式和最簡分式的概念.
分式的基本性質 ★★ 能利用分式的基本性質進行約分與通分.
分式的化簡及求值 ★★★ 能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算.
【考情分析】本考點主要考查分式的化簡和求值，考查形式多樣，其中分式的考查以解答題為主，難度一般. 解分式化簡、求值問題時，一要注意整體思想的應用，二要注意解題技巧（分母為多項式時，先分解因式，進行約分，再計算），三要注意代入的值要使分式有意義.
考點一 分式及其性質
1.分式及其性質
一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式有意義、無意義或值為0的條件
對于分式A/B來說 條件
分式有意義 分母不等于零，即B≠0
分式無意義 分母等于零，即B=0
分式值為0 A=0且B≠0
注意：分式的值是在分式有意義的前提下考慮的.
3.分式的基本性質
分式的基本性質：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.
字母表示：或，其中A，B，C是整式且B C≠0.
分式符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變.
【補充】改變其中一個或三個，分式變為原分式的相反數.
【易錯易混】運用分式的基本性質時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；
②隱含條件：分式的分母不等于0.
4.分式的約分
分式的約分:根據分式的基本性質，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.
最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.
【補充說明】約分是對分子、分母同時進行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等.
5.分式的通分
分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一過程叫做分式的通分.
最簡公分母：通常取各分母系數的最小公倍數與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．在確定幾個分式的最簡公分母時，不要遺漏只在一個分式的分母中出現的字母及其指數.
確定最簡公分母的方法：
1）分母為單項式:①取單項式中所有系數的最小公倍數作為最簡公分母的系數；
②取單項式中每個字母出現的最高次數作為最簡公分母中該字母的次數.
2）分母為多項式:①對每個分母進行因式分解；
②找出每個出現的因式的最高次冪,它們的積為最簡公分母；
③若有系數,求各分母系數的最小公倍數作為最簡公分母的系數.
（2022·湖南懷化·中考真題）
1．代數式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（　?。?br/>A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
（2023·甘肅蘭州·中考真題）
2．計算：（ ）
A． B． C．5 D．a
（2024·四川雅安·中考真題）
3．已知．則（ ）
A． B．1 C．2 D．3
（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）
4．在函數中，自變量的取值范圍是 ．
（2023·四川南充·中考真題）
5．若分式的值為0，則 ．
考點二 分式的運算
1.分式的加減法
1）同分母分式相加減：分母不變，把分子相加減；符號表示為：
2）異分母分式相加減：先通分，變為同分母的分式，再加減；符號表示為：
2.分式的乘除法
1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即.
2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即.
3）分式的乘方運算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，即（n為正整數，b≠0）
3.分式的混合運算
運算順序：分式的混合運算順序與實數類似，即先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，先進行括號內的運算；同級運算，按照從左到右的順序進行.
（2024·四川雅安·中考真題）
6．計算的結果是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
（2024·河北·中考真題）
7．已知A為整式，若計算的結果為，則（ ）
A．x B．y C． D．
（2024·黑龍江大慶·中考真題）
8．已知，則的值是 ．
（2024·北京·中考真題）
9．已知，求代數式的值.
（2024·黑龍江大慶·中考真題）
10．先化簡，再求值：，其中．
命題點一 分式及其性質
題型01 分式有、無意義的條件
對于分式A/B來說 條件
分式有意義 分母不等于零，即B≠0
分式無意義 分母等于零，即B=0
（2023·湖北黃石·中考真題）
11．函數的自變量x的取值范圍是（　　）
A． B． C．且 D．
（2024·安徽·中考真題）
12．若代數式有意義，則實數的取值范圍是 ．
（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）
13．在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
（21-22八年級下·廣東佛山·階段練習）
14．當時，分式無意義；當時分式的值為，則的值是 ．
題型02 分式值為0的條件
對于分式A/B來說 條件
分式值為0 A=0且B≠0
注意：分式的值是在分式有意義的前提下考慮的.
（2023·四川涼山·中考真題）
15．分式的值為0，則的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
（2021·四川雅安·中考真題）
16．若分式的值等于0，則x的值為（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
（2021·江蘇揚州·中考真題）
17．不論x取何值，下列代數式的值不可能為0的是（ ）
A． B． C． D．
（2024·山東濟南·中考真題）
18．若分式的值為0，則的值是 ．
命題點二 分式的運算
題型01 分式的運算
相關公式：1） 2） 3）
4） 5）（n為正整數，b≠0）
混合運算順序：分式的混合運算順序與實數類似，即先乘方，再乘除，最后加減；有括號時，先進行括號內的運算；同級運算，按照從左到右的順序進行.
（2024·河北·中考真題）
19．已知A為整式，若計算的結果為，則（ ）
A．x B．y C． D．
（2024·江蘇揚州·中考真題）
20．（1）計算：；
（2）化簡：．
（2024·四川瀘州·中考真題）
21．化簡：．
（2024·廣東廣州·中考真題）
22．關于的方程有兩個不等的實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)化簡：．
（2023·江西·中考真題）
23．化簡．下面是甲、乙兩同學的部分運算過程：
解：原式 ……
解：原式 ……
(1)甲同學解法的依據是________，乙同學解法的依據是________；（填序號）
①等式的基本性質；②分式的基本性質；③乘法分配律；④乘法交換律．
(2)請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．
題型02 判斷分式運算的錯誤步驟
常見錯誤類型：
1）錯在顛倒運算順序，例如：，錯誤原因：運算順序錯誤，應先算括號里的，再算括號外的.
2）錯在去分母，例如：，錯誤原因：上述解法把分式通分與解方程混淆，要注意分式計算式等式代換，不能去分母.
3）錯在符號變化，例如：
，錯誤原因：去括號時沒有注意前面的符號.
（2024·四川樂山·中考真題）
24．先化簡，再求值：，其中．小樂同學的計算過程如下：
解：…① …② …③ …④ …⑤ 當時，原式．
(1)小樂同學的解答過程中，第______步開始出現了錯誤；
(2)請幫助小樂同學寫出正確的解答過程．
（2024·江蘇連云港·中考真題）
25．下面是某同學計算的解題過程：
解：①
②
③
上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出完整的正確解題過程．
（2023·內蒙古通遼·中考真題）
26．以下是某同學化簡分式的部分運算過程：
解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ……
(1)上面的運算過程中第___________步開始出現了錯誤；
(2)請你寫出完整的解答過程．
（2023·山東臨沂·中考真題）
27．（1）解不等式，并在數軸上表示解集．
（2）下面是某同學計算的解題過程：
解：
①
②
③
④
上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出正確的解題過程．
題型03 分式的化簡求值
1）化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．
2）若題干中明確給出字母的數值，通常選用直接代入法.
3）若題干中未明確給出字母的數值，可考慮使用整體代入法.
（2024·江蘇蘇州·中考真題）
28．先化簡，再求值：．其中．
（2024·湖南·中考真題）
29．先化簡，再求值：，其中．
（2024·四川廣安·中考真題）
30．先化簡，再從，，，中選取一個適合的數代入求值．
（2024·山東淄博·中考真題）
31．化簡分式：，并求值（請從小宇和小麗的對話中確定，的值）

（2024·山東煙臺·中考真題）
32．利用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下：，若是其顯示結果的平方根，先化簡：，再求值．
（2023·山東濱州·中考真題）
33．先化簡，再求值：，其中滿足．
題型04 分式運算的應用
（2024濠江區一模）
34．閱讀材料：運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：．
根據材料和已學知識解決下列問題
(1)因式分解：；
(2)先化簡，再求值：，其中．
（2022·湖北鄂州·一模）
35．若三個實數x，y，z滿足，且，則有：（結論不需要證明）
例如：
根據以上閱讀，請解決下列問題：
【基礎訓練】
(1)求的值；
【能力提升】
(2)設，求S的整數部分．
【拓展升華】
(3)已知，其中，且．當取得最小值時，求x的取值范圍．
（2023·江蘇鹽城·中考真題）
36．課堂上，老師提出了下面的問題：
已知，，，試比較與的大?。?br/>小華：整式的大小比較可采用“作差法”.
老師：比較與的大?。?br/>小華：∵，
∴．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？
…
(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．
(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）
（2024·內蒙古·中考真題）
37．某研究人員對分別種植在兩塊試驗田中的“豐收1號”和“豐收2號”兩種小麥進行研究，兩塊試驗田共產糧，種植“豐收1號”小麥的試驗田產糧量比種植“豐收2號”小麥的試驗田產糧量的1.2倍少，其中“豐收1號”小麥種植在邊長為的正方形去掉一個邊長為的正方形蓄水池后余下的試驗田中，“豐收2號”小麥種植在邊長為的正方形試驗田中．
(1)請分別求出種植“豐收1號”小麥和“豐收2號”小麥兩塊試驗田的產糧量；
(2)哪種小麥的單位面積產量高？高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？
題型05 分式的規律探究
（2023·湖北恩施·一模）
38．對于正數，規定，例如：，，，…利用以上的規律計算： ．
（2022·浙江舟山·中考真題）
39．觀察下面的等式：，，，……
(1)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）
(2)請運用分式的有關知識，推理說明這個結論是正確的．
（2021·安徽合肥·一模）
40．觀察以下等式：
第1個等式：　　　　第2個等式：
第3個等式：　　　　第4個等式：
…
按照以上規律，解決下列問題：
（1）寫出第5個等式：__________________________；
（2）寫出你猜想的第n個等式：______________________（用含n的等式表示），并證明．
（2020·安徽·中考真題）
41．觀察以下等式：
第1個等式：
第個等式：
第3個等式：
第個等式：
第5個等式：
······
按照以上規律．解決下列問題：
寫出第個等式____________；
寫出你猜想的第個等式： (用含的等式表示)，并證明．
（2023·山東青島·模擬預測）
42．閱讀下列相關的兩段材料，根據材料反映的規律完成后面的填空題．
設n是正整數，
材料1：
．．．
問題：（1）用含n的代數式表示=___________________（寫最簡結果）
材料2：
=
問題：（2）用含n的代數式表示=_______（寫最簡結果）．
（3）當n無限增大時，接近于一個常數，這個常數是________．
題型06 與分式運算有關的新定義問題
（2021·黑龍江綏化·中考真題）
43．定義一種新的運算：如果．則有，那么的值是（ ）
A． B．5 C． D．
（2024·內蒙古烏?！ひ荒＃?br/>44．對于任意兩個不相等的正實數定義新運算“”，規定： ，求中的取值范圍是 ．
（2022·甘肅平涼·模擬預測）
45．已知為實數，規定運算：，，，……，．按以上算法計算：當時，的值等于 ．
（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）
46．對于實數a、b，定義運算：①②
例如 ①依此定義方程的解為 ．
（2024·湖南永州·一模）
47．對于任意兩個非零實數a，b，定義新運算“*”如下：，例如：．若，則的值為 ．
（2024青島市模擬）
48．定義，如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”如：，則和都是“和諧分式”．
(1)下列各式中，屬于“和諧分式”的是：___________（填序號）；
①；②③④
(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形為：__________+___________．
(3)應用：先化簡，并求x取什么整數時，該式的值為整數．
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參考答案：
1．B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據此依據逐個判斷即可．
【詳解】分母中含有字母的是，，，
∴分式有3個，
故選：B．
【點睛】本題考查分式的定義，能夠準確判斷代數式是否為分式是解題的關鍵．
2．D
【分析】分子分解因式，再約分得到結果．
【詳解】解：
，
故選：D．
【點睛】本題考查了約分，掌握提公因式法分解因式是解題的關鍵．
3．C
【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得，再整體代入求值即可；
【詳解】解：∵，
∴，
∴
；
故選C
4．且
【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
解得且，
故答案為：且．
5．
【分析】本題主要考查了分式的值為0的條件．根據分式的值為0的條件，可得且，即可求解．
【詳解】解：∵分式的值為0，
∴且，
解得：．
故答案為：
6．C
【分析】本題考查零指數冪，掌握“任何不為零的零次冪等于1”是正確解答的關鍵．
根據零指數冪的運算性質進行計算即可．
【詳解】解：原式．
故選：C．
7．A
【分析】本題考查了分式的加減運算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運算法則是解題的關鍵．
由題意得，對進行通分化簡即可．
【詳解】解：∵的結果為，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
8．3
【分析】根據，通過平方變形可以求得所求式子的值．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：3．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是熟練掌握完全平方公式．
9．3
【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先利用完全平方公式和整式的加法，乘法對分母分子化簡，再對化簡得到，再整體代入求值即可．
【詳解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
10．，
【分析】本題考查了分式的化簡求值．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：
，
當時，原式．
11．C
【分析】本題考查了自變量的取值范圍，根據分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，列式解答即可．
【詳解】解：由題意可得且，
解得：且，
故選：C．
12．
【分析】根據分式有意義的條件，分母不能等于，列不等式求解即可．
【詳解】解：分式有意義的條件是分母不能等于，
．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查分式有意義的條件，解決本題的關鍵是要熟練掌握分式有意義的條件．
13．##
【分析】本題主要考查函數自變量取值范圍，分別根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式求解即可．
【詳解】解：根據題意得，，且，
解得，，
故答案為：．
14．1
【分析】根據分式無意義即分母為，分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為；（2）分母不為進行解答即可．
【詳解】解：分式無意義時，，
分式 為時，，
當，時，，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是分式無意義和分式為的條件，掌握分式無意義即分母為，分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為；（2）分母不為是解題的關鍵．
15．A
【分析】根據分式值為0的條件進行求解即可．
【詳解】解：∵分式的值為0，
∴，
解得，
故選A．
【點睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關鍵．
16．A
【分析】根據分式的值為0的條件即可得出答案．
【詳解】解：根據題意， 1＝0，x 1≠0，
∴x＝ 1，
故選：A．
【點睛】本題考查了分式的值為0的條件，掌握分式的值為0的條件：分子等于0且分母不等于0是解題的關鍵．
17．C
【分析】分別找到各式為0時的x值，即可判斷．
【詳解】解：A、當x=-1時，x+1=0，故不合題意；
B、當x=±1時，x2-1=0，故不合題意；
C、分子是1，而1≠0，則≠0，故符合題意；
D、當x=-1時，，故不合題意；
故選C．
【點睛】本題考查了分式的值為零的條件，代數式的值．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．
18．1
【分析】直接利用分式值為零的條件，則分子為零進而得出答案．
【詳解】∵分式的值為0，
∴x 1＝0，2x≠0
解得：x＝1．
故答案為：1．
【點睛】此題主要考查了分式值為零的條件，正確把握分式的相關性質是解題關鍵．
19．A
【分析】本題考查了分式的加減運算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運算法則是解題的關鍵．
由題意得，對進行通分化簡即可．
【詳解】解：∵的結果為，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
20．（1）；（2）
【分析】本題考查分式的除法運算、零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．
（1）根據零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值可以解答本題；
（2）將除法轉換為乘法，再根據分式的乘法法則化簡即可求解．
【詳解】解：（1）
；
（2）
．
21．
【分析】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
先將括號里的通分，再將除法轉化為乘法，然后根據完全平方公式和平方差公式整理，最后約分即可得出答案．
【詳解】解：
22．(1)
(2)
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運算，掌握相應的基礎知識是解本題的關鍵；
（1）根據一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；
（2）根據（1）的結論化簡絕對值，再計算分式的乘除混合運算即可．
【詳解】（1）解：∵關于的方程有兩個不等的實數根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
23．(1)②，③
(2)見解析
【分析】（1）根據所給的解題過程即可得到答案；
（2）甲同學的解法：先根據分式的基本性質把小括號內的分式先同分，然后根據分式的加法計算法則求解，最后根據分式的乘法計算法則求解即可；
乙同學的解法：根據乘法分配律去括號，然后計算分式的乘法，最后合并同類項即可．
【詳解】（1）解：根據解題過程可知，甲同學解法的依據是分式的基本性質，乙同學解法的依據是乘法分配律，
故答案為：②，③；
（2）解：甲同學的解法：
原式
；
乙同學的解法：
原式
．
【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
24．(1)③
(2)見解析
【分析】本題考查了分式的化簡求值，異分母的分式減法運算，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
（1）第③步分子相減時，去括號變號不徹底；
（2）先通分，再進行分子相減，化為最簡分式后，再代入求值即可．
【詳解】（1）解：∵第③步分子相減時，去括號變號不徹底，
應為：；
（2）解：
當時，原式
25．從第②步開始出現錯誤，正確過程見解析
【分析】本題考查異分母分式的加減運算，先通分，然后分母不變，分子相減，最后將結果化為最簡分式即可．掌握相應的計算法則，是解題的關鍵．
【詳解】解：從第②步開始出現錯誤．
正確的解題過程為：
原式．
26．(1)一
(2)見解析
【分析】（1）根據解答過程逐步分析即可解答；
（2）根據分式混合運算法則進行計算即可．
【詳解】（1）解：
故第一步錯誤．
故答案為：一．
（2）解：
．
【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，靈活運用分式的混合運算法則是解答本題的關鍵．
27．（1）（2）從第①步開始出錯，過程見解析
【分析】（1）根據解不等式的步驟，解不等式即可；
（2）根據分式的運算法則，進行計算即可．
【詳解】解：（1），
去分母，得：，
移項，合并，得：，
系數化1，得：；
（2）從第①步開始出錯，正確的解題過程如下：
．
【點睛】本題考查解一元一次不等式，分式的加減運算．熟練掌握解不等式的步驟，分式的運算法則，是解題的關鍵．
28．，
【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用因式分解和除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：原式
．
當時，原式．
29．，
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵．先計算乘法，再計算加法，然后把代入化簡后的結果，即可求解．
【詳解】解：
，
當時，原式．
30．，時，原式，時，原式.
【分析】本題考查的是分式的化簡求值，先計算括號內分式的加減運算，再計算分式的除法運算，再結合分式有意義的條件代入計算即可.
【詳解】解：
且
∴當時，原式；
當時，原式.
31．；
【分析】本題考查分式的化簡求值，無理數估算；根據對話可求得，的值，將原分式化簡后代入數值計算即可．
【詳解】解：依題意，，且為整數，又，則，
；
當，時，原式．
32．，．
【分析】本題考查了分式的化簡求值，先利用分式的性質和運算法則對分式化簡，然后根據題意求出的值，把的值代入到化簡后的結果中計算即可求解，正確化簡分式和求出的值是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴的平方根為，
∵，
∴，
又∵為的平方根，
∴，
∴原式．
33．；
【分析】先根據分式的加減計算括號內的，然后將除法轉化為乘法，再根據分式的性質化簡，根據負整數指數冪，特殊角的三角函數值，求得的值，最后將代入化簡結果即可求解．
【詳解】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【點睛】本題考查了分式化簡求值，解題關鍵是熟練運用分式運算法則以及負整數指數冪，特殊角的三角函數值進行求解．
34．(1)
(2)，5
【分析】（1）根據材料給出的立方差公式，分解因式即可；
（2）根據材料給出的立方差公式，先對分式進行因式分解，化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【詳解】（1））原式
（2）原式
=
．
當時，原式．
【點睛】本題考查了公式法分解因式、分式化簡求值，掌握立方差公式的應用，讀懂材料是解題關鍵．
35．(1)
(2)S的整數部分2019
(3)代數式取得最小值時，x的取值范圍是
【分析】（1）根據范例中提供的計算方法進行計算即可；
（2））利用題目的僅能式將其進行化簡，再確定整數部分；
（3）將原式化簡為，再根據||取最小值時，確定x的取值范圍．
【詳解】（1）
（2）
，
∴S的整數部分2019；
（3）由已知得：，且，
，
∵，
∴原式，
當時，
；
當時，
；
∴當，即時，取得最小值為2，
∴代數式取得最小值時，x的取值范圍是：．
【點睛】本題考查無理數的大小比較，分式的加減法以及找規律等知識，理解題意和推廣應用是本題的亮點．
36．(1)
(2)
【分析】（1）根據作差法求的值即可得出答案；
（2）根據作差法求的值即可得出答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查分式運算的應用，解題關鍵是理解材料，通過作差法求解，掌握分式運算的方法．
37．(1)種植“豐收1號”小麥試驗田的產糧量為，種植“豐收2號”小麥試驗田的產糧量為
(2)“豐收2號”小麥試驗田的單位面積產量高；倍
【分析】本題考查了一元一次方程的應用、不等式的性質、分式除法的應用，正確建立方程和熟練掌握分式除法的應用是解題關鍵．
（1）設種植“豐收1號”小麥試驗田的產糧量為，則種植“豐收2號”小麥試驗田的產糧量為，根據題意建立一元一次方程，解方程即可得；
（2）先分別求出兩塊試驗田的面積，再求出單位面積產量，然后根據不等式的性質和分式的除法求解即可得．
【詳解】（1）解：設種植“豐收1號”小麥試驗田的產糧量為，則種植“豐收2號”小麥試驗田的產糧量為，
由題意得：，
解得，
則，
答：種植“豐收1號”小麥試驗田的產糧量為，種植“豐收2號”小麥試驗田的產糧量為．
（2）解：由題意得：“豐收1號”小麥試驗田的面積為，“豐收2號”小麥試驗田的面積為，
則“豐收1號”小麥試驗田的單位面積產量為，“豐收2號”小麥試驗田的單位面積產量為，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以“豐收2號”小麥試驗田的單位面積產量高．
，
所以高的單位面積產量是低的單位面積產量的倍．
38．
【分析】根據，得到，即可得到答案；
【詳解】解：∵，
∴，，
∴
，
故答案為：；
【點睛】本題考查分式化簡求值及規律，解題的關鍵是得到．
39．(1)
(2)見解析
【分析】（1）根據所給式子發現規律，第一個式子的左邊分母為2，第二個式子的左邊分母為3，第三個式子的左邊分母為4，…；右邊第一個分數的分母為3，4，5，…，另一個分數的分母為前面兩個分母的乘積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個式子為．
（2）由（1）的規律發現第（n+1）個式子為，用分式的加法計算式子右邊即可證明．
【詳解】（1）解：∵第一個式子，
第二個式子，
第三個式子，
……
∴第（n+1）個式子；
（2）解：∵右邊==左邊，
∴．
【點睛】此題考查數字的變化規律，分式加法運算，解題關鍵是通過觀察，分析、歸納發現其中各分母的變化規律．
40．（1）；（2），證明見解析
【分析】（1）根據題意規律，結合有理數混合運算的性質計算，即可得到答案；
（2）結合題意，根據數字規律、整式混合運算的性質分析，即可得到答案．
【詳解】（1）根據題意，得：
故答案為：；
（2）∵第1個等式：　　　　
第2個等式：
第3個等式：　　　　
第4個等式：
…
∴第n個等式：
∵，
∴等式成立；
故答案為：，證明見解析．
【點睛】本題考查了數字規律、有理數混合運算、整式混合運算,分式的運算等知識；解題的關鍵是熟練掌握數字規律的性質，從而完成求解．
41．（1）；（2），證明見解析．
【分析】（1）根據前五個個式子的規律寫出第六個式子即可；
（2）觀察各個式子之間的規律，然后作出總結，再根據等式兩邊相等作出證明即可．
【詳解】（1）由前五個式子可推出第6個等式為：；
（2），
證明：∵左邊==右邊，
∴等式成立．
【點睛】本題是規律探究題，解答過程中，要注意各式中相同位置數字的變化規律，并將其用代數式表示出來．
42．（1）；（2）；（3）2．
【分析】本題考查了代數式的運算過程中的規律問題，
（1）根據表達式中分母上兩個乘數和前面的下標數之間的關系，可得出的表達式．
（2）根據所給示例，找出規律（括號中的數，消完后，就只剩下首和尾），進而得出結果．
（3）對（2）中求出的代數式，進行變形處理，便可得出這個常數．
【詳解】解：（1）由題知，．
即．
故答案為：；
（2）由題知，
．
故答案為：；
（3）由（2）知：，
將變形得：．
則當無限大時，無限接近于0．
所以無限接近于2，即這個常數是2．
43．B
【分析】根據題意列出算式，求解即可
【詳解】
．
故選B．
【點睛】本題考查了新定義運算、負指數冪的運算，絕對值的計算，解決本題的關鍵是牢記公式與定義，本題雖屬于基礎題，但其計算中容易出現符號錯誤，因此應加強符號運算意識，提高運算能力與技巧等．
44．
【分析】本題考查了定義下的實數運算，二次根式的意義，分式的意義，根據新定義，由，得到且即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴且，
∴且，
故答案為：且．
45．
【分析】化簡前幾個數，得到an以三個數為一組，不斷循環，因為2022÷3=674，所以a2021=a3，再代數求值即可．
【詳解】解：a1=a1，
，
，
，
∴an以三個數為一組，不斷循環，
∵2022÷3=674，
∴a2021=，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式的加減法，探索規律，通過計算找到規律是解題的關鍵．
46．
【分析】本題考查了新定義，解一元二次方程，熟練掌握知識點，正確理解題意是解題的關鍵．
先根據題意列出方程，再去分母，轉化為解一元二次方程，最后需要注意分母不為0．
【詳解】解：由題意得，，
，
，
解得：或，
當時，，不符合題意，
∴原方程的解為：，
故答案為：．
47．1012
【分析】根據定義新運算可得，從而可得，然后代入式子中進行計算即可解答．本題考查了分式的化簡求值，理解定義的新運算是解題的關鍵．
【詳解】解：，
，（不為0）
，
∴
故答案為：1012．
48．(1)①③④
(2)，
(3)，
【分析】本題考查了分式的混合運算及和新定義“和諧分式”，
（1）把給出的各式進行處理，根據和諧分式的定義判斷；
（2）把分式先變形為，再寫成整式與分式分子為常數的形式；
（3）先算除法，把分式轉化成和諧分式，再確定x的值；
解決本題的關鍵是理解定義的內容并能運用．
【詳解】（1）①，是和諧分式；②是整式，③，是和諧分式，
④，是和諧分式．
故答案為：①③④；
（2）
，
故答案為：，；
（3）
，
當時，是整數；
即當時，是整數；
∵分母不能為0，
∴，
故只有當時，分式的值為整數，
∴當時，分式運算的結果是整數．

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