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1.6.1探究ω對y＝sin ωx 的性質與圖象
北師大版（2019）必修第二冊
第一章 三角函數
學習目標
探究 ω 的變化對y＝sin ωx圖象的影響；
02
結合具體實例，了解y＝Asin (ωx+φ) 的實際意義；
01
掌握由y＝sin x圖象變化到y＝sin ωx圖象的變換方法和步驟；
03
通過學習函數的圖象的伸縮變換，培養由特殊到一般的化歸思想和圖象變換的能力，提升學生的數學抽象素養
04
情境導入
這是南昌的地標性建筑——“南昌之星”摩天輪，高度160米，直徑153米，是目前世界第三,國內第一高的摩天輪，勻速旋轉一圈需時30分鐘.當其在轉動時，你能聯想到我們學過的哪種數學模型
抽 象x
點在單位圓上的運動.
情境導入
問題　以摩天輪的中心為原點建立平面直角坐標系，A′的坐標是什么？如何計算A′到地面的距離？
可以用O到地面的距離加上A′點縱坐標，即
由摩天輪的已知數據可知∠xOA′＝ ，OA′＝OA＝76.5（m），如圖，
x
y
O
A
A'
所以A′的坐標是
情境導入
在物理和工程技術中會遇到一些問題，其中函數關系都是形如：y＝Asin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數，A＞0，ω＞0)的形式.
函數y＝Asin (ωx＋φ)有三個不同參數 A , ω , φ ,我們怎么進行研究？
研究Asin(x+)
關 鍵
研究 A，
Asin(x+)
A=0
sinx
特殊化
Asin(x+)
控制變量法
A=0
sinx
問題　函數y＝sin 2x是周期函數嗎？如果是，請求出周期；如果不是，請說明理由．
1.周期
由于 sin 2x＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π），
根據周期函數的定義，y＝sin 2x 是周期函數，且 π 是 y＝sin 2x 的最小正周期．
問題　我們利用“五點（畫圖）法”畫函數 y＝sin 2x 的簡圖，請問怎樣取五個關鍵點？并說明理由．
2.圖象
x
2x
x
y=sinx
y=sin2x
取函數 y＝sin 2x 的最高點，最低點，以及與 x 軸的交點即可．
由于函數 y＝sin 2x 的最小正周期是 π，于是，先畫出一個周期［0，π］上的圖象，
　由 在R上的圖象 在R上的圖象.
縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的 倍
2.圖象
問題　觀察函數 y＝sin 2x 的圖象，可以得到哪些性質？
3.單調性
在區間 上單調遞減，
在區間 上單調遞增.
問題　觀察函數 y＝sin 2x 的圖象，可以得到哪些性質？
4.最大(小)值和值域
在區間[0, π]上，
當時，函數 y＝sin 2x 取得最大值1；
當時，函數 y＝sin 2x 取得最小值－1
問題　觀察函數 y＝sin 2x 的圖象，可以得到哪些性質？
4.最大(小)值和值域
由函數 y＝sin 2x 的周期性可知，
當，k∈Z時，函數取得最大值1；
當，k∈Z時，函數取得最小值－1.
函數 y＝sin 2x 的圖象夾在兩條平行線y＝1和y＝－1之間，故值域為[－1，1]
y＝1
y＝－1
問題　觀察函數 y＝sin 2x 的圖象，可以得到哪些性質？
5.奇偶性
如圖可知，其圖象關于原點軸對稱，所以函數是奇函數.
6.對稱中心
7.對稱軸
與 性質對比.
函數
周期
值域
最值
單調性
奇偶性
對稱中心
對稱軸
當 , 時，最大值為1，
當 , 時，最小值為 .
在區間 , 上單調遞減
在區間 , 上單調遞增.
奇函數
,
,
當 , 時，最大值為1，
當 , 時，最小值為 .
在區間 , 上單調遞減.
在區間 , 上單調遞增.
奇函數
,
,
例1 求函數y＝sin x的周期，并畫出其圖象
解：由y＝sin x 的周期性可知，sin ＝sin (＋2π)＝sin (x＋6π).
根據周期函數的定義，y＝sin 是周期函數，6π 是它的最小正周期.
0
x 0 3π 6π
y＝sin 0 1 0 1 0
由此得到函數y＝sin 的五個關鍵點：，， ，，
在函數y＝sin x 五個關鍵點的基礎上，列表：
例1 求函數y＝sin x的周期，并畫出其圖象
畫出該函數在一個周期[0，6π]上的圖象.
由函數y＝sin 的周期性，把圖象向左、右延拓，得到y＝sin 在R上的圖象.
從函數y＝sin 的圖象看出，對同一個x值，將函數y＝sin x 圖象上每個點的橫坐標都伸長到原來的3倍，縱坐標不變，就得到函數y＝sin 的圖象.
抽象概括
一般地，對于ω＞0，有 .
根據周期函數的定義， 是函數的最小正周期.
通常稱周期的倒數 為頻率.
橫坐標縮短(當 時)或伸長(當 時)到原來的
縱坐標不變
當堂檢測
9
函數與性質的對比
周期 變換
定義域
值域
最值
周期
單調性
奇偶性
對稱性
R
奇函數
對稱中心：
對稱軸：
當，時，
當，時，
當，時，
當，時，
增區間：，
減區間：，
增區間：，
減區間：，
R
奇函數
對稱中心：
對稱軸：
感謝您的聆聽與指導
General template of fresh teaching
授課人：一一

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