資源簡介

(共30張PPT)
1.4.3誘導公式與對稱
北師大版（2019）必修第二冊
第一章 三角函數
學習目標
掌握三角函數的誘導公式
02
利用單位圓的對稱性推導誘導公式
01
能運用誘導公式化簡簡單的三角函數式及證明簡單的三角恒等式
03
情境導入
南京眼和廣州“圓大廈”均利用完美的對稱展現自己的和諧之美.
而三角函數與單位圓是緊密聯系的，它的基本性質是圓的幾何性質的代數表示，圓有很好的對稱性：既是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形，又是以任意直徑所在直線為對稱軸的軸對稱圖形.
知識回顧
上節課是如何定義角α的正弦函數和余弦函數的？
如圖，給定任意角α，作單位圓，角α的終邊與單位圓的交點為P(u，v)，點P的縱坐標v、橫坐標u都是唯一確定的.在弧度意義下，對于α∈R，稱v＝sin α為任意角α的正弦函數，u＝cos α為任意角α的余弦函數.
x
y
O
A(1，0)
P
α
M
思考：已知角 α 為銳角，那么角 α 的終邊與角－α，α＋π，α－π，π－α終邊的幾何關系分別是什么？如果角α是任意角呢？
你能通過畫圖說明嗎？
x
y
O
α
α－π
x
y
O
α
π－α
關于原點對稱
關于 y 軸對稱
x
y
O
α
α＋π
x
y
O
α
－α
關于 x 軸對稱
思考：若角 α 為任意角，那么角 α 的終邊與角α＋π，α－π，π－α終邊的幾何關系怎么變化呢？
x
y
O
α
α＋π
關于原點對稱
x
y
O
α
α－π
x
y
O
α
π－α
關于y軸對稱
x
y
O
α
－α
關于 x 軸對稱
一、sin α，cos α與sin(－α)，cos(－α)的關系
問題一：
o
x
y
這兩個角的正弦值相反、余弦值相等
因為這兩個角的終邊關于x軸對稱，所以終邊與單位圓交點坐標縱坐標相反、橫坐標相等
思考1： 與 的三角函數值有什么關系？
為什么會出現這樣的關系？
思考2：任意角 α 與角－α都具有類似的結論嗎？
一、sin α，cos α與sin(－α)，cos(－α)的關系
這兩個角的正弦值相反、余弦值相等
因為這兩個角的終邊關于x軸對稱，所以終邊與單位圓交點坐標縱坐標相反、橫坐標相等
思考1： 與 的三角函數值有什么關系？
為什么會出現這樣的關系？
思考2：任意角 α 與角－α都具有類似的結論嗎？
o
x
y
sin α，正弦函數sin α為奇函數；
cos α， 余弦函數cos α為偶函數.
二、sin α，cos α與sin(α±π)，cos(α±π)的關系
o
x
y
這兩個角的正弦值相反、余弦值相反
因為這兩個角的終邊關于原點中心對稱，所以終邊與單位圓交點坐標縱坐標相反、橫坐標相反
問題二：
思考1： 與 的三角函數值有什么關系？
為什么會出現這樣的關系？
思考2：以上結論能否推廣到任意角？
二、sin α，cos α與sin(α±π)，cos(α±π)的關系
點P與點P'關于原點對稱
橫縱坐標互為相反數
若P(u,v)，則P'(－u,－v)
sin (α＋π)＝－sinα，sin (α－π)＝－sinα
cos (α＋π)＝－cosα，cos(α－π)＝－cosα
x
y
O
α
α＋π
1
P(u,v)
P' (－u,－v)
x
y
O
α
α－π
P(u,v)
P' (－u,－v)
1
設任意角 的終邊與單位圓的交點為點，當點沿逆(順)時針方向旋轉 π 弧度至點
這兩個角的正弦值相等、余弦值相反
因為這兩個角的終邊關于y軸對稱，所以終邊與單位圓交點坐標
o
x
y
問題三：
思考1： 與 的三角函數值有什么關系？
為什么會出現這樣的關系？
思考2：以上結論能否推廣到任意角？
三、sin α，cos α與sin(π－α)，cos(π－α)的關系
三、sin α，cos α與sin(π－α)，cos(π－α)的關系
點 P 與點 P' 關于 y 軸對稱
橫坐標互為相反數；縱坐標相等
若P(u,v)，則P'(－u,v)
sin (π－α)＝sin α
cos (π－α)＝－cos α
x
y
O
α
π－α
1
P(u,v)
P' (－u,v)
設任意角 α 的終邊與單位圓的交點為P，角 π－α 與單位圓的交點為 P'
象限角的對稱
o
x
y
1、角的終邊關于x軸對稱
2、角的終邊關于y軸對稱
3、角的終邊關于原點中心對稱
思考：在學習上述公式時，如何體會軸對稱、中心對稱的作用
方法：第一步先從形的角度入手；第二步將形的關系代數化；第三步體會利用數形結合研究誘導公式與對稱的關系.
圓的對稱性
角與角的關系
坐標間的關系
三角函數的關系
x
y
O
α
x
y
O
α
x
y
O
α
第二象限角變為第一象限角
第三象限角變為第一象限角
第四象限角變為第一象限角
任意角的正弦或余弦函數都可以通過對稱化為第一象限的銳角三角函數.
思考：設 α 為任意角，則2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的終邊與α的終邊有怎樣的對應關系？
它們的對應關系如表：
相關角 終邊之間的對應關系
2kπ＋α與α 終邊相同
π＋α與α 關于原點對稱
－α與α 關于x軸對稱
2π－α與α 關于x軸對稱
π－α與α 關于y軸對稱
例5 畫出下列各組中的兩個角的終邊與單位圓的交點，說出它們的對稱關系
(1)與； (2)與； (3)與； (4)與.
解：(1)如圖，與的終邊與單位圓的交點關于原點對稱；
(2) 如圖，與的終邊與單位圓的交點關于 軸對稱；
解：(3)如圖，與的終邊與單位圓的交點關于 軸對稱；
(4) 如圖，與的終邊與單位圓的交點關于 軸對稱；
例5 畫出下列各組中的兩個角的終邊與單位圓的交點，說出它們的對稱關系
(1)與； (2)與； (3)與； (4)與.
例6 求下列三角函數的值：
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1)
任意角的正弦或余弦函數都可以通過對稱化為第一象限的銳角三角函數.
(2)
(3)
(4)
.
利用誘導公式解決給角求值問題的步驟：
負化正
大化小
小化銳
銳求值
用角α與－α關系來轉化
用周期將角化為之間的角
用角π－α將大于90°的角化為銳角
得到銳角的三角函數后求值
當堂檢測
A
B
CD
ACD
C
C
誘導公式與對稱
角α與角α＋π、 α－π
sin（απ）=－sinα，cos（απ）=－cosα.
角α與角π－α
sin（π－α）=sinα，cos（π－α）=－cosα
角α與角－α
sin（－α）=－sinα，cos（－α）=cosα
角的終邊、與單位圓的交點都關于原點對稱
角的終邊、與單位圓的交點都關于y軸對稱
角的終邊、與單位圓的交點都關于x軸對稱
感謝您的聆聽與指導
General template of fresh teaching
授課人：一一

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