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1.4.4誘導公式與旋轉
北師大版（2019）必修第二冊
第一章 三角函數
學習目標
能夠借助誘導公式，把任意角的正弦函數、余弦函數的化簡、求值問題轉化為銳角的正弦函數、余弦函數的化簡、求值問題
02
能借助單位圓的旋轉，利用定義推導出正弦函數、余弦函數的誘導公式
01
情境導入
風車最早出現在波斯，起初是立軸翼板式風車，后來又發明了水平軸風車．風車傳入歐洲后，在歐洲得到了廣泛應用．荷蘭、比利時等國為排水建造了功率高達66千瓦的風車．18世紀末期以來，隨著工業技術的發展，風車的結構和性能都有了很大提高，已能采用手控和機械式自控機構改變葉片槳距來調節風輪轉速．
如圖所示的風車是由4個扇葉組成，相鄰兩個扇葉之間的角度為直角，若將風車扇葉的最外側看作一個質點，如果知道其中一個質點的坐標，你能求出其他三個質點的坐標嗎？
知識回顧
公式（1）：
公式（2）：
公式（3）：
公式（4）：
正負號分布
+
+
+
+
-
-
-
-
v=sinα
u=cosα
在平面直角坐標系中，設任意角α和α＋ 的終邊與單位圓的交點分別為P和P′．
sin α，cos α與sin(α＋)，cos(α＋)的關系
1
角是由角逆時針旋轉得到的，
根據初中學習的全等三角形知識，
設點P的坐標為（u，v），
則P′的坐標為（－v，u）.
sin α，cos α與sin(α＋)，cos(α＋)的關系
點的橫坐標與點的縱坐標相等
點的縱坐標與點的橫坐標的絕對值相等且符號相反
即對任意角，有①sin
即對任意角，有②cos －sin α
1
sin α，cos α與sin(α－)，cos(α－)的關系
設任意角α的終邊與單位圓的交點為P，角α與單位圓的交點為P'
角 α是由角 α 順時針旋轉 得到的，由平面幾何知識可知，
若P（u,v），則P'（v，－u,）
點的橫坐標與點的橫坐標的絕對值相等且符號相反
即對任意角，有①
即對任意角，有①sin
點的縱坐標與點的縱坐標相等
sin α，cos α與sin(α－)，cos(α－)的關系
思考：還有其它方法推導角α與 －α的正弦函數、余弦函數關系嗎？
sin α，cos α與sin(－α)，cos(－α)的關系
思考：如圖，角 －α的終邊與角α的終邊有什么關系？你能寫出角α與 －α的終邊與單位圓的交點的坐標嗎？你能得出什么數學結論，把你的發現與同伴交流．
x
O
y
y=x
α
P
P1
點P（cos α，sin α），因為P1與P關于直線y＝x對稱，
角－α的終邊與角α的終邊關于直線y＝x對稱，
P1（cos（－α），sin（－α）），
所以cos（－α）＝sin α，sin（－α）＝cos α．
誘導公式：對于任意角 ，下列公式均成立(其中)：
sin（2kπ＋α）＝sin α（k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cos α（k∈Z）
sin（－α）＝－sin α cos（－α）＝cos α
sin（2π－α）＝－sin α cos（2π－α）＝cos α
sin（π－α）＝sin α cos（π－α）＝－cos α
sin（π＋α）＝－sin α cos（π＋α）＝－cos α
通常稱上述公式為正弦函數、余弦函數的誘導公式.
至此，我們在平面直角坐標系中，對角 α 的終邊經過對稱或旋轉得到了誘導公式.
我們發現， 是這些誘導公式中旋轉的最小角度，而π ，2kπ 又都是 的整數倍；
還有，中心對稱也可以用旋轉 π 表示.
于是，我們試圖用旋轉 的整數倍來分析誘導公式.
1、先分析 α＋，α＋π，α－π和α＋2kπ(k∈Z)
(1)α＋ 可以看作角 α 的終邊逆時針旋轉了
(2)α＋π 可以看作角 α 的終邊逆時針旋轉了 的2倍
(3)α－π 與α＋π 的終邊重合，其三角函數值均相等
(4)α＋2kπ 可以看作角 α 的終邊逆旋轉了 的 4k 倍(k∈Z)
2、再分析 －α，π－α，α－π和α＋2kπ(k∈Z)
(1)顯然，－α也就是－(α－)，α－與α＋ 的終邊重合，其三角函數值均相等，即求α－的三角函數時，可以將α－看作角 α 的終邊逆時針旋轉了 的3倍，或順時針旋轉了 ；
(2)π－α也就是－(α－π)
綜上所述，除了關于－α的誘導公式sin (－α)＝－sin α和cos (－α)＝cos α，
對于其他的誘導公式中的角，都可以看作α＋，其中n＝1，2，3，4k(k∈Z).只需注意，關于 －α 和 π－α 的誘導公式，在做了α＋和 α－π 的公式變化之后，還要借助于－α的誘導公式.
用這樣的觀點看誘導公式，得到如下結論：當 n 取奇數1或3時，公式的等號兩邊一個是正弦函數，另一個是余弦函數；當 n 取偶數2或4k(k∈Z)時，公式的等號兩邊都是正弦函數或都是余弦函數，其符號由角所在象限決定.
誘導公式口訣：
誘導公式中的角都可看成的形式，
于是，對于和，我們可以用如下口訣去化簡：
“奇變偶不變，符號看象限”
口訣中的“奇和偶”，指的是 的奇偶，“變和不變”指的是變不變三角函數名，“符號”指的是化簡后整個值的正負，“看象限”指的是看所在的象限.(運用公式時，默認為銳角)
奇變偶不變，符號看象限
奇變
是的奇數倍
符號看象限
＋＝12+＋
為第四象限角，正弦值為負
(1)在看“”是第幾象限角時，我們把 當成銳角來處理
(2)結果是取正還是取負，一要看象限角，二要看等號左邊的函數，不要看等號右邊的函數.
練一練：運用口訣奇變偶不變計算一下三角函數
例8 求下列函數值：
(1) ； (2)； (3)
解：(1)
(2)
(3)原式＝
＝
＝2
解：由誘導公式，有
例9 化簡：
.
原式
拓展
三角形中的三角函數問題
設A，B，C是△ABC的三個內角，則有A＋B＋C＝π，所以
sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，
cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，
sin ＝sin ＝cos ，
cos ＝cos ＝sin .
當堂檢測
A
B
－3
感謝您的聆聽與指導
General template of fresh teaching
授課人：一一

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